Wellentorsion
Berechnen Sie die maximale Schubspannung und den Verdrehwinkel einer Voll- oder Hohlwelle mit rundem Querschnitt. Geben Sie Drehmoment, Abmessungen, Länge und Schubmodul ein und prüfen Sie Ihre Wellenauslegung in Sekunden.
Schubspannung und Verdrehwinkel einer Kreiswelle prüfen
Formeln zur Wellentorsion
Dabei bedeuten:
- \(T\) — aufgebrachtes Drehmoment (N·m)
- \(D\) — Außendurchmesser der Welle (m)
- \(d\) — Innendurchmesser (Bohrungsdurchmesser) einer Hohlwelle (m)
- \(c\) — Abstand von der Achse bis zur Außenoberfläche (m)
- \(J\) — polares Flächenträgheitsmoment des Querschnitts (m⁴)
- \(G\) — Schubmodul des Materials (Pa)
- \(L\) — Wellenlänge zwischen dem Angriffspunkt des Drehmoments und der Einspannung (m)
- \(\tau_{max}\) — maximale Schubspannung an der Außenoberfläche (Pa)
- \(\varphi\) — Verdrehwinkel über die Länge \(L\) (rad)
Die ersten beiden Formeln beschreiben die Torsion einer runden Welle: Die Schubspannung steigt linear von null in der Achse bis zum Maximalwert an der Außenoberfläche, und die Welle verdrillt sich um einen Winkel, der proportional zum Drehmoment und zur Länge sowie umgekehrt proportional zur Torsionssteifigkeit \(JG\) ist.
Wellentorsion – Rechenbeispiel
Beispiel: Eine Vollwelle aus Stahl mit dem Durchmesser \(D = 40\) mm und der Länge \(L = 1\) m überträgt ein konstantes Drehmoment von \(T = 1000\) N·m. Der Schubmodul von Stahl beträgt \(G = 80\) GPa.
\[ J = \frac{\pi (0.04)^4}{32} = 2.513 \times 10^{-7}\ \text{m}^4 \]
\[ \tau_{max} = \frac{1000 \times 0.02}{2.513 \times 10^{-7}} = 79.6 \times 10^6\ \text{Pa} \approx 79.6\ \text{MPa} \]
\[ \varphi = \frac{1000 \times 1}{2.513 \times 10^{-7} \times 80 \times 10^9} = 0.04974\ \text{rad} \approx 2.85^\circ \]
Ergebnis: Die maximale Schubspannung beträgt an der Außenoberfläche rund 79,6 MPa (≈ 11.5 ksi), und die Welle verdrillt sich über ihre Länge von 1 m um etwa 2,85° (0,0497 rad) — also rund 2,85° pro Meter.
So verwenden Sie den Wellentorsions-Rechner
- Geben Sie das aufgebrachte Drehmoment (T) ein und wählen Sie die Einheit — N·m, kN·m, lb·ft oder lb·in.
- Wählen Sie den Wellentyp: runde Vollwelle oder runde Hohlwelle (Rohr). Bei einer Hohlwelle geben Sie zusätzlich den Innendurchmesser (d) ein, der kleiner als der Außendurchmesser sein muss.
- Geben Sie den Außendurchmesser (D) und die Wellenlänge (L) mit den zugehörigen Einheiten ein (mm, cm, m, in oder ft).
- Geben Sie den Schubmodul (G) des Materials ein — Stahl ≈ 80 GPa, Aluminium ≈ 27 GPa, Kupfer ≈ 45 GPa — und wählen Sie die Einheit (GPa, MPa, psi oder ksi).
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die maximale Schubspannung (τmax) in MPa, ksi und psi sowie den Verdrehwinkel (φ) in Grad, Radiant, Grad pro Meter und Grad pro Fuß.
Was ist Wellentorsion?
Wird ein Drehmoment um die Wellenachse aufgebracht — wie es in jeder Getriebewelle, Antriebswelle, Gelenkwelle, Bohrgestänge oder Propellerwelle der Fall ist —, wird das Material verdrillt. Jeder Querschnitt dreht sich relativ zum benachbarten, und dieser Drehung wirken Schubspannungen entgegen, die über den Querschnitt verteilt sind. Bei runden Wellen (als Vollwelle oder mit konzentrischer Bohrung) ist die Berechnung exakt und einfach: Die Schubspannung verläuft linear von null in der Achse bis zum Maximum an der Außenoberfläche — deshalb versagen Wellen und Rohre zuerst an ihrer Außenseite.
Für die Torsionsprüfung sind zwei Größen entscheidend. Das erste ist die maximale Schubspannung, \(\tau_{max} = Tc/J\): Sie muss unterhalb der zulässigen Schubspannung des Materials bleiben. Bei zähen Stählen liegt die Schubfließgrenze etwa beim 0,5- bis 0,6-Fachen der Zugfließgrenze, worauf zusätzlich ein angemessener Sicherheitsfaktor geschlagen wird. Das zweite ist der Verdrehwinkel, \(\varphi = TL/JG\): Selbst eine ausreichend starke Welle kann sich zu stark verdrillen, was Fluchtungsfehler, Schwingungen, Nachgiebigkeit in Regelungssystemen oder Positionsfehler in Präzisionsantrieben verursachen kann.
Der Geometrieterm \(J\), das polare Flächenträgheitsmoment, wächst mit der vierten Potenz des Durchmessers. Verdoppelt man den Durchmesser einer Vollwelle, sinken Spannung und Verdrillung auf ein Sechzehntel. Deshalb sind Hohlwellen so wirksam: Das wenig beanspruchte Material nahe der Achse zu entfernen, kostet kaum Steifigkeit, spart aber viel Gewicht — weshalb Antriebswellen, Walzenwellen und viele Bauteile der Luftfahrt als Rohre ausgeführt sind.
Bei der Interpretation des Ergebnisses vergleichen Sie \(\tau_{max}\) mit der zulässigen Schubspannung des Materials und \(\varphi\) mit Ihrem Grenzwert für die Verdrillung. Als traditionelle Faustregel gilt für Maschinenwellen eine Verdrillung von etwa 1° über eine Länge von 20 Durchmessern; bei Präzisions- und Langwellen sind oft deutlich strengere Grenzwerte erforderlich.
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Nur runde Querschnitte. Die Formeln gelten exakt für Voll- oder Hohlwellen mit rundem Querschnitt und konzentrischer Bohrung. Nicht-runde Querschnitte (Rechteckstäbe, Passfedernuten, Keilwellen) verdrillen sich ganz anders und erfordern eigene Verfahren.
- Einheitliche Welle, konstantes Drehmoment. Die Berechnung setzt einen konstanten Querschnitt, ein einheitliches Material und ein über die Länge unverändertes Drehmoment voraus. Bei abgesetzten Wellen oder mehreren Drehmomenten berechnen Sie jedes Wellenstück separat und addieren die Verdrehwinkel.
- Linear-elastisches Verhalten. Die Spannungen müssen unterhalb der Elastizitätsgrenze bleiben; das Ergebnis sagt nichts über Fließen oder plastisches Versagen aus.
- Passfedernuten, Bohrungen und Wellenabsätze wirken als Spannungskonzentrationsstellen. Eine reale Welle mit Nut oder Absatz kann örtlich 1,5- bis 3-fache Nennspannungen erfahren; kalkulieren Sie bei kritischen Auslegungen daher Kerbwirkungszahlen ein.
- Beide Kriterien prüfen. Eine kurze, kräftige Welle wird meist durch die Spannung begrenzt, eine lange, schlanke oft durch die Verdrillung. Denken Sie zudem daran, dass eine lange Welle durch Knicken oderkritische Drehzahlen versagen kann — ein passendes Werkzeug dafür ist unser Rechner für die Euler-Knicklast.
- Bei Wellen, die zusätzlich auf Biegung beansprucht werden (Zahnräder, Riemen, Rollen), überlagern Sie die Biegespannungen aus einer Balkenberechnung — siehe dazu die Rechner für den beidseitig gelagerten Balken mit Einzellast in der Mitte und den beidseitig gelagerten Balken mit Gleichlast.
Häufig gestellte Fragen
Wie rechne ich den Verdrehwinkel zwischen Radiant und Grad um?
Multiplizieren Sie Radiant mit \( 180/\pi \approx 57.2958 \), um Grad zu erhalten; für die Rückrechnung dividieren Sie Grad durch diesen Faktor. Der Rechner gibt beide Werte aus, zusätzlich Grad pro Meter und pro Fuß. Ein traditioneller Grenzwert für Transmissionen liegt bei etwa 1° Verdrillung über eine Länge von 20 Durchmessern; für eine 40-mm-Welle entspricht das rund 0,75°/m — Präzisionsantriebe erfordern oft deutlich strengere Grenzwerte.