Калькулятор теореми Піфагора
Введіть будь-які дві сторони прямокутного трикутника (катети a і b або гіпотенузу c) — і калькулятор одразу знайде невідому сторону, а також площу та периметр.
Знайдіть невідому сторону прямокутного трикутника
Формула теореми Піфагора
Де:
- \(a\) — перший катет прямокутного трикутника (одна з двох сторін, що утворюють прямий кут)
- \(b\) — другий катет прямокутного трикутника
- \(c\) — гіпотенуза, сторона, що лежить проти прямого кута і завжди є найдовшою
Перше рівняння — це сама теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох катетів. Інші три рівняння — це просто перетворення, за допомогою яких знаходять ту сторону, якої бракує.
Теорема Піфагора — приклад обчислення
Приклад: прямокутний трикутник має катет \(a = 3\) см і катет \(b = 4\) см. Знайдемо гіпотенузу.
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Результат: гіпотенуза дорівнює \(c = 5\) см. Калькулятор також визначає площу \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\) см² і периметр \(3 + 4 + 5 = 12\) см.
Як користуватися калькулятором
- Введіть відомі сторони у поля Катет a, Катет b і Гіпотенуза c. Рівно одне з трьох полів залиште порожнім — саме цю сторону й обчислить калькулятор.
- Виберіть одиницю вимірювання (см, м, дюйми або фути), яка застосовується до всіх сторін і результатів.
- Зчитайте значення невідомої сторони, а також площу трикутника, периметр і покроковий розв’язок.
Якщо задати два катети, калькулятор знайде гіпотенузу. Якщо задати гіпотенузу і один катет — обчислить другий катет та перевірить, чи гіпотенуза справді довша за введений катет.
Що таке теорема Піфагора?
Теорема Піфагора стверджує, що в прямокутному трикутнику — трикутнику з одним кутом 90° — квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох катетів. Це один із найдавніших і найчастіше застосовуваних результатів геометрії; його пов’язують із давньогрецьким математиком Піфагором (близько 500 р. до н. е.), хоча подібні співвідношення були відомі ще раніше у Вавилоні та Єгипті.
Теорема справджується лише для прямокутних трикутників, причому гіпотенуза завжди лежить проти прямого кута. Це дає швидкий спосіб перевірити, чи є трикутник прямокутним: якщо три його сторони задовольняють рівність \(a^2 + b^2 = c^2\), то кут між катетами \(a\) і \(b\) обов’язково дорівнює 90°. Саме цю перевірку використовують столяри та будівельники, найчастіше з трикутником 3-4-5, щоб розмічати прямі кути.
Поза геометрією теорема є основою формули відстані в координатній геометрії: відстань між двома точками — це гіпотенуза прямокутного трикутника, катетами якого є різниці їхніх координат. Та сама ідея — поєднання величин через піднесення до квадрата, додавання та добування квадратного кореня — застосовується у середньому квадратичному (корінь із середнього квадратів), саме так обчислюють діючу напругу та інші усереднені величини.
Поширенні піфагорові трійки
Піфагорова трійка — це набір із трьох цілих чисел, який задовольняє теорему. Оскільки всі сторони цілі, такі трикутники зручні для швидких перевірок і розмічання на будівництві.
| Катет a | Катет b | Гіпотенуза c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
Будь-яке кратне трійки також є трійкою: 6-8-10 і 9-12-15 — це просто збільшений трикутник 3-4-5.
Обмеження та поради
- Лише прямокутні трикутники. Формула не працює для тупокутних чи гострокутних трикутників; для них потрібна теорема косинусів.
- Гіпотенуза має бути найдовшою стороною. Якщо введена гіпотенуза коротша за заданий катет або дорівнює йому, калькулятор видасть помилку, адже прямокутного трикутника з такими сторонами не існує.
- Використовуйте одну одиницю для всіх сторін. Перед введенням переведіть усі значення в одну одиницю (ту, яку вибрано в полі Одиниця).
- Результати округлюються до трьох знаків після коми. Невідома сторона часто містить квадратний корінь; якщо вам потрібен безпосередньо корінь із конкретного числа, скористайтеся калькулятором кореня n-го степеня.
- Перевіряйте введені дані. Гіпотенуза завжди має бути більшою за кожен із катетів, але меншою за їхню суму — інакше з цих відрізків трикутник узагалі не побудувати.
Часті запитання
Як обчислити гіпотенузу вручну, без калькулятора?
Піднесіть обидва катети до квадрата, додайте результати та добудьте квадратний корінь. Для катетів 5 і 12: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\), а \(\sqrt{169} = 13\). Якщо число під коренем не є повним квадратом, наближено оцініть корінь або залиште відповідь у вигляді радикала, наприклад \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Калькулятор робить це миттєво та округлює до трьох знаків після коми.
Чи можна за теоремою Піфагора знайти невідомий катет?
Так. Якщо відомі гіпотенуза \(c\) і один катет \(a\), другий катет дорівнює \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\): від квадрата гіпотенузи відніміть квадрат відомого катета та добудьте квадратний корінь. Пам’ятайте, що гіпотенуза має бути найдовшою стороною — якщо \(c\) не довша за \(a\), прямокутного трикутника з такими сторонами не існує.
Чи працює теорема, якщо ввести сторони в іншому порядку?
Два катети взаємозамінні, тому обмін \(a\) і \(b\) місцями нічого не змінює. Інакша річ — гіпотенуза: її завжди слід вводити в поле «Гіпотенуза c», адже у формулі вона відіграє особливу роль. Типова помилка — ввести найдовшу сторону як катет, через що гіпотенуза виходить неправильною (завеликою) або результат стає некоректним.
Які типові помилки під час користування формулою Піфагора?
Найчастіші помилки — змішування одиниць (одна сторона в дюймах, інша в футах), застосування теореми до непрямокутного трикутника та введення гіпотенузи в поле катета. Під час розв’язування вручну стежте також за порядком дій: \(c^2 - a^2\) означає спочатку піднести до квадрата, а потім відняти — а не \((c - a)^2\). Завжди перевіряйте, чи гіпотенуза вийшла довшою за обидва катети.
Як перевести результат між см, м, дюймами та футами?
Калькулятор працює в одній одиниці, яку ви обрали, тож за потреби переведіть значення перед введенням. Корисні співвідношення: 1 м = 100 см, 1 фут = 12 дюймів, 1 дюйм = 2,54 см, 1 фут = 30,48 см. Зауважте: перевести один результат простіше, ніж усі вхідні дані — наприклад, гіпотенуза 5 дюймів дорівнює \(5 \times 2.54 = 12.7\) см.
Чи може цей калькулятор перевірити, чи трикутник прямокутний?
Опосередковано — так. Якщо всі три сторони є цілими числами або відомими значеннями, перевірте, чи \(a^2 + b^2\) дорівнює \(c^2\), де \(c\) — найдовша сторона. Якщо обидві частини збігаються, то кут між двома коротшими сторонами дорівнює 90°. Це та сама перевірка, яку будівельники виконують із трикутником 3-4-5 для контролю прямих кутів — якщо числа сходяться, кут прямий.
Чи існує формула для трикутників без прямого кута?
Так — теорема косинусів, \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\), справджується для будь-якого трикутника. Коли кут \(C\) між двома відомими сторонами дорівнює 90°, \(\cos(90°) = 0\), і теорема косинусів перетворюється точно на теорему Піфагора. Отже, якщо ваш трикутник тупокутний або гострокутний, використовуйте теорему косинусів; формула Піфагора для нього дасть хибний результат.