Negative Binomialverteilung – Rechner
Berechnen Sie exakte und kumulierte Wahrscheinlichkeiten der negativen Binomialverteilung: Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit, die angestrebte Anzahl von Erfolgen und Ihre Zählweise (Gesamtversuche oder Fehlschläge) ein. Erhalten Sie P(X = x), kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und Varianz.
Negative Binomialverteilung berechnen
Formel der negativen Binomialverteilung
Dabei bedeuten:
- \(p\) — Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs (\(0 < p \le 1\))
- \(r\) — angestrebte Anzahl von Erfolgen
- \(n\) — Gesamtzahl der Versuche bis einschließlich des \(r\)-ten Erfolgs
- \(k\) — Anzahl der Fehlschläge vor dem \(r\)-ten Erfolg, also \(k = n - r\)
- \(\binom{a}{b}\) — Binomialkoeffizient, „a über b“
Die Formel gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der \(r\)-te Erfolg genau im Versuch \(n\) eintritt – das heißt, dass genau \(k\) Fehlschläge auf die ersten \(n-1\) Versuche verteilt sind und der letzte Versuch ein Erfolg ist. Beide Formen sind gleichwertig; verwenden Sie diejenige, die zu Ihrer Zählweise passt.
Negative Binomialverteilung – Rechenbeispiel
Beispiel: Eine Basketballspielerin trifft 50 % ihrer Freiwürfe. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihr 3. Treffer genau beim 5. Versuch fällt?
Hier sind \(p = 0.5\), \(r = 3\), \(n = 5\), also \(k = n - r = 2\) Fehlschläge:
\[ P(N = 5) = \binom{4}{2} \cdot 0.5^{3} \cdot 0.5^{2} = 6 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.1875 \]
Die kumulierte Wahrscheinlichkeit, den 3. Erfolg spätestens beim 5. Versuch zu erzielen:
\[ P(N \le 5) = \sum_{j=0}^{2} \binom{j+2}{j} 0.5^{3} = (1 + 3 + 6) \cdot 0.125 = 0.8125 \]
Ergebnis: Die exakte Wahrscheinlichkeit beträgt \(0.1875\), also 18,75 %. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(N \le 5)\) beträgt 81,25 %, die mittlere Anzahl benötigter Versuche ist \(r/p = 6\) und die Varianz ist \(r(1-p)/p^{2} = 6\).
So benutzen Sie den Rechner
- Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) ein – einen Wert zwischen 0 (ausschließlich) und 1. Geben Sie z. B. 0.5 für eine faire Münze ein.
- Geben Sie die Angestrebten Erfolge \(r\) ein – die Anzahl von Erfolgen, die Sie erreichen möchten (eine ganze Zahl von mindestens 1).
- Wählen Sie unter Zählen nach Ihre Zählweise: „Gesamtversuche (n)“, wenn Sie wissen, auf welchem Versuch der \(r\)-te Erfolg liegen soll, oder „Fehlschläge vor dem r-ten Erfolg (k)“, wenn Sie stattdessen Fehlschläge zählen. Der Rechner zeigt nur das jeweils passende Eingabefeld an.
- Geben Sie die Anzahl der Versuche \(n\) oder die Anzahl der Fehlschläge \(k\) ein. Bei der Option „Versuche“ muss \(n\) mindestens \(r\) sein.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die exakte Wahrscheinlichkeit, vier kumulierte Wahrscheinlichkeiten (\(\le\), \(<\), \(\ge\), \(>\)), Erwartungswert und Varianz, die Formel mit Ihren eingesetzten Werten sowie eine leicht verständliche Interpretation.
Was ist die negative Binomialverteilung?
Die negative Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der benötigten Versuche – beziehungsweise die Anzahl der auftretenden Fehlschläge –, um eine feste Anzahl von Erfolgen \(r\) in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Versuche mit jeweils gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) zu erreichen. Sie beantwortet Fragen wie: „Wie viele Freiwürfe bis zum 3. Treffer?“ oder „Wie viele Kunden bedienen wir, bevor der 5. kauft?“
Sie ist das Spiegelbild der Binomialverteilung: Die Binomialverteilung legt die Anzahl der Versuche fest und zählt die Erfolge, während die negative Binomialverteilung die Anzahl der Erfolge festlegt und die Versuche zählt. Die beiden Verteilungen stimmen überein, wenn \(r = 1\); in diesem Fall geht die negative Binomialverteilung in die geometrische Verteilung über.
Die Ausgabe unterscheidet zwischen den beiden Zählweisen. Zählt man die Gesamtversuche \(N\), so ist der Erwartungswert \(r/p\) und die Varianz \(r(1-p)/p^2\). Zählt man die Fehlschläge \(K\), sinkt der Erwartungswert auf \(r(1-p)/p\), während die Varianz gleich bleibt. Die kumulierten Wahrscheinlichkeiten zeigen, wie wahrscheinlich ein früher oder späterer Abschluss ist: \(P(X \le x)\) ist die Chance, den \(r\)-ten Erfolg bis zu diesem Punkt zu erreichen, und \(P(X > x)\) die Chance, dass es noch länger dauert.
Annahmen, Grenzen und Tipps
- Unabhängige Versuche: Das Modell setzt voraus, dass jeder Versuch unabhängig ist und \(p\) konstant bleibt. Es ist nicht anwendbar, wenn sich die Wahrscheinlichkeit ändert (z. B. Lerneffekte, Ziehen ohne Zurücklegen).
- Stopp beim r-ten Erfolg: Dies ist die Standard-Annahme der negativen Binomialverteilung. Führen Sie stattdessen eine feste Anzahl von Versuchen durch und zählen die Erfolge, verwenden Sie die Binomialverteilung.
- Validierung: \(p\) muss in \((0, 1]\) liegen, \(r\) eine positive ganze Zahl sein, \(n \ge r\) und \(k \ge 0\). Der Rechner kennzeichnet ungültige Kombinationen, anstatt ein falsches Ergebnis auszugeben.
- Die Ränder richtig ablesen: \(P(X \le x) = 1 - P(X > x)\). Nutzen Sie dies als schnelle Plausibilitätskontrolle.
- Verwandte Rechner: Bei sehr kleinem \(p\) und großem \(r\) kann die negative Binomialverteilung durch eine Poisson-Verteilung angenähert werden; bei großem \(r\) funktioniert auch eine Normalverteilungs-Approximation gut. Zum Berechnen der Binomialkoeffizienten von Hand siehe den Rechner für Permutationen und Kombinationen.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich eine negative Binomialverteilung von Hand?
Entscheiden Sie zuerst, was Sie zählen. Für die Gesamtversuche \(n\) berechnen Sie \( P(N=n)=\binom{n-1}{r-1}\,p^{r}\,(1-p)^{n-r} \). Für die Fehlschläge \(k\) verwenden Sie \( P(K=k)=\binom{k+r-1}{k}\,p^{r}\,(1-p)^{k} \). Bei kleinen Zahlen können Sie den Binomialkoeffizienten von Hand auswerten, z. B. \(\binom{4}{2}=6\); bei größeren verwenden Sie Fakultäten oder einen Kombinationsrechner. Der Rechner setzt Ihre Werte in die Formel ein, sodass Sie jeden Schritt nachprüfen können.
Was ist der Unterschied zwischen der negativen Binomialverteilung und der Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung legt die Anzahl der Versuche fest und fragt, wie viele Erfolge eintreten. Die negative Binomialverteilung legt die Anzahl der Erfolge \(r\) fest und fragt, wie viele Versuche (oder Fehlschläge) dafür nötig sind. Ein häufiger Fehler ist, die Binomialformel zu verwenden, wenn das Experiment beim \(r\)-ten Erfolg stoppt – dieses Szenario ist negativ binomialverteilt. Wenn \(r=1\), geht die negative Binomialverteilung in die geometrische Verteilung über.
Wie rechne ich zwischen den Zählweisen „Versuche“ und „Fehlschläge“ um?
Die beiden Zählungen sind durch die einfache Beziehung \(n = k + r\) verknüpft: Gesamtversuche gleich Fehlschläge plus Erfolge. Wenn Sie wissen, dass der 3. Erfolg auf Versuch 7 fällt, bedeutet das, dass unterwegs \(k = 7 - 3 = 4\) Fehlschläge auftraten. Sie können die Option „Zählen nach“ im Rechner wechseln und den umgerechneten Wert eingeben; beide Formen liefern stets identische Wahrscheinlichkeiten.
Warum ist die mittlere Anzahl der Versuche r/p und nicht kleiner?
Jeder Versuch ist mit Wahrscheinlichkeit \(p\) erfolgreich, daher braucht man im Durchschnitt \(1/p\) Versuche pro Erfolg – zum Beispiel 2 Versuche pro Treffer bei \(p=0.5\). Für \(r\) Erfolge sind also durchschnittlich \(r \cdot 1/p = r/p\) Versuche nötig. Das folgt aus der Linearität des Erwartungswerts und gilt, obwohl die Versuche nicht in festen Blöcken durchgeführt werden. Zählt man nur die Fehlschläge, sinkt der Erwartungswert auf \(r(1-p)/p\).
Kann ich p als Prozentzahl wie 70 statt 0.7 eingeben?
Nein – die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) muss als Dezimalzahl zwischen 0 (ausschließlich) und 1 eingegeben werden. Geben Sie 0.7 für 70 % ein, 0.05 für 5 % und so weiter. Die Eingabe von 70 würde als ungültig abgewiesen, weil das Modell \(0 < p \le 1\) verlangt. Die Ergebnisse werden sowohl als Dezimalzahlen als auch als Prozentsätze angezeigt, sodass Sie auf der Ausgabeseite nichts umrechnen müssen.
Welche typischen Anwendungen hat die negative Binomialverteilung in der Praxis?
Sie passt immer dann, wenn man auf eine feste Anzahl von Erfolgen wartet: Wie viele Verkaufsgespräche bis zum 3. Abschluss, wie viele behandelte Patienten, bis 5 auf ein Medikament ansprechen, oder wie viele Freiwürfe bis zum nächsten Treffer. Zudem wird sie häufig als Modell für überdispersen Zähldaten (Zählwerte mit einer Varianz größer als der Erwartungswert) verwendet, etwa bei Unfallzahlen oder Schadensmeldungen in der Versicherung, wo die Poisson-Verteilung schlecht passt.
Gibt es eine Abkürzung, statt für das kumulierte Ergebnis viele Wahrscheinlichkeiten zu summieren?
Ja. Eine nützliche Identität verknüpft die beiden Verteilungen: \( P(N \le n) = P(Y \ge r) \), wobei \(Y\) binomialverteilt ist mit demselben \(p\) und \(n\) Versuchen. Die Chance, spätestens bei Versuch \(n\) fertig zu sein, ist also gleich der Chance auf mindestens \(r\) Erfolge in \(n\) Versuchen – das können Sie mit einem Binomialverteilungsrechner prüfen. Bei großem \(r\) funktioniert auch eine Normalapproximation mit Erwartungswert \(r/p\) und Varianz \(r(1-p)/p^2\) gut.