Calculadora da Distribuição Binomial Negativa

Q: Como converto entre as formas de contagem por 'ensaios' e por 'falhas'?

As duas contagens estão ligadas pela identidade simples n = k + r: o total de ensaios é igual a falhas mais sucessos. Se você sabe que o 3º sucesso cai no ensaio 7, isso significa que k = 7 - 3 = 4 falhas aconteceram pelo caminho. Você pode alternar a opção "Contar por" na calculadora e inserir o valor convertido; as duas formas sempre dão probabilidades idênticas.

Q: Por que o número médio de ensaios é r/p e não algo menor?

Cada ensaio tem sucesso com probabilidade p, então em média são necessários 1/p ensaios por sucesso — por exemplo, 2 tentativas por cesta quando p=0.5. Alcançar r sucessos, portanto, leva em média r · 1/p = r/p ensaios. Isso decorre da linearidade da expectativa e vale mesmo que os ensaios não sejam realizados em blocos fixos. Contando apenas as falhas, a média cai para r(1-p)/p.

Q: Posso inserir p como uma porcentagem, como 70 em vez de 0,7?

Não — a probabilidade de sucesso p deve ser inserida como um decimal entre 0 (excluso) e 1. Digite 0,7 para 70%, 0,05 para 5%, e assim por diante. Inserir 70 seria rejeitado como inválido porque o modelo exige 0 < p ≤ 1. Os resultados são mostrados tanto em decimais quanto em porcentagens, então nenhuma conversão manual é necessária na saída.

Q: Quais são os usos típicos da distribuição binomial negativa no mundo real?

Ela se aplica sempre que você espera por um número fixo de sucessos: quantas ligações de vendas até a 3ª venda, quantos pacientes tratados até 5 responderem a um medicamento, ou quantos lances livres até a próxima cesta. Ela também é amplamente usada como modelo para dados de contagem superdispersos (contagens com variância maior que a média), como números de acidentes ou sinistros de seguro, onde a distribuição de Poisson se ajusta mal.

Q: Existe um atalho em vez de somar muitas probabilidades para o resultado acumulado?

Sim. Uma identidade útil liga as duas distribuições: P(N ≤ n) = P(Y ≥ r) , onde Y é binomial com o mesmo p e n ensaios. Portanto, a chance de terminar até o ensaio n é igual à chance de pelo menos r sucessos em n ensaios, o que você pode verificar com uma calculadora binomial. Para r grande, uma aproximação normal com média r/p e variância r(1-p)/p^2 também funciona bem.

Atualizado: 4 outubro 2026

Calcule probabilidades exatas e acumuladas da distribuição binomial negativa: insira a probabilidade de sucesso, o número de sucessos desejado e se você conta o total de ensaios ou as falhas. Obtenha P(X = x), caudas acumuladas, média e variância.

Calcule Probabilidades Binomiais Negativas

Fórmula da Distribuição Binomial Negativa

Fórmula

\[ P(N = n) = \binom{n-1}{r-1}\, p^{r}\,(1-p)^{\,n-r} \quad \text{ou} \quad P(K = k) = \binom{k+r-1}{k}\, p^{r}\,(1-p)^{\,k} \\[6pt] E(N) = \frac{r}{p}, \quad \mathrm{Var}(N) = \frac{r(1-p)}{p^{2}}, \quad E(K) = \frac{r(1-p)}{p}, \quad \mathrm{Var}(K) = \frac{r(1-p)}{p^{2}} \\[6pt] \text{com } n = k + r \\[2pt]

Onde:

\(p\) — probabilidade de sucesso em um único ensaio (\(0 < p \le 1\))
\(r\) — número de sucessos desejado
\(n\) — número total de ensaios até o \(r\)-ésimo sucesso, incluindo-o
\(k\) — número de falhas antes do \(r\)-ésimo sucesso, de modo que \(k = n - r\)
\(\binom{a}{b}\) — coeficiente binomial, "a escolhe b"

A fórmula dá a probabilidade de o \(r\)-ésimo sucesso ocorrer exatamente no ensaio \(n\), o que significa que exatamente \(k\) falhas estão distribuídas entre os primeiros \(n-1\) ensaios e o ensaio final é um sucesso. As duas formas são equivalentes; use a que corresponde à sua forma de contagem.

Distribuição Binomial Negativa – Exemplo de Cálculo

Exemplo: uma jogadora de basquete acerta 50% de seus lances livres. Qual é a probabilidade de o 3º acerto acontecer exatamente na 5ª tentativa?

Aqui \(p = 0.5\), \(r = 3\), \(n = 5\), então \(k = n - r = 2\) falhas:

\[ P(N = 5) = \binom{4}{2} \cdot 0.5^{3} \cdot 0.5^{2} = 6 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.1875 \]

A probabilidade acumulada de obter o 3º sucesso na tentativa 5 ou antes:

\[ P(N \le 5) = \sum_{j=0}^{2} \binom{j+2}{j} 0.5^{3} = (1 + 3 + 6) \cdot 0.125 = 0.8125 \]

Resultado: a probabilidade exata é \(0.1875\), ou seja, 18,75%. A probabilidade acumulada \(P(N \le 5)\) é 81,25%, o número médio de ensaios necessários é \(r/p = 6\) e a variância é \(r(1-p)/p^{2} = 6\).

Como usar a calculadora

Insira a Probabilidade de sucesso \(p\) — um valor entre 0 (excluso) e 1. Por exemplo, insira 0,5 para uma moeda justa.
Insira os Sucessos desejados \(r\) — o número de sucessos que você quer alcançar (um número inteiro de pelo menos 1).
Escolha como você conta em Contar por: "Total de ensaios (n)" se você sabe o número do ensaio em que o \(r\)-ésimo sucesso deve cair, ou "Falhas antes do r-ésimo sucesso (k)" se você conta as falhas. A calculadora mostra apenas o campo de entrada relevante.
Insira o Número de ensaios \(n\) ou o Número de falhas \(k\). Com a opção de ensaios, \(n\) deve ser pelo menos \(r\).
Leia os resultados: a probabilidade exata, quatro probabilidades acumuladas (\(\le\), \(\)), a média e a variância, a fórmula com seus valores substituídos e uma interpretação em linguagem simples.

O que é a distribuição binomial negativa?

A distribuição binomial negativa descreve o número de ensaios necessários — ou o número de falhas encontradas — para alcançar um número fixo de sucessos \(r\) em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes, cada um com a mesma probabilidade de sucesso \(p\). Ela responde a perguntas como "Quantos lances livres até a 3ª cesta?" ou "Quantos clientes atendemos até o 5º comprar?"

Ela é a imagem espelhada da distribuição binomial: a binomial fixa o número de ensaios e conta os sucessos, enquanto a binomial negativa fixa o número de sucessos e conta os ensaios. As duas distribuições coincidem quando \(r = 1\), caso em que a binomial negativa se reduz à distribuição geométrica.

O resultado distingue as duas formas de contagem. Contando o total de ensaios \(N\), a média é \(r/p\) e a variância é \(r(1-p)/p^2\). Contando as falhas \(K\), a média cai para \(r(1-p)/p\), enquanto a variância permanece a mesma. As probabilidades acumuladas indicam a chance de terminar cedo ou tarde: \(P(X \le x)\) é a chance de alcançar o \(r\)-ésimo sucesso até aquele ponto, e \(P(X > x)\) é a chance de demorar ainda mais.

Premissas, limitações e dicas

Ensaios independentes: o modelo assume que cada ensaio é independente e que \(p\) permanece constante. Ele não se aplica quando a probabilidade muda (por exemplo, efeitos de aprendizado, sorteio sem reposição).
A amostragem para no r-ésimo sucesso: esta é a configuração padrão da binomial negativa. Se em vez disso você realiza um número fixo de ensaios e conta os sucessos, use a distribuição binomial.
Validação: \(p\) deve estar em \((0, 1]\), \(r\) deve ser um inteiro positivo, \(n \ge r\) e \(k \ge 0\). A calculadora sinaliza combinações inválidas em vez de retornar uma resposta errada.
Interpretando as caudas: \(P(X x)\). Use isso como uma verificação rápida de coerência.
Ferramentas relacionadas: para \(p\) muito pequeno e \(r\) grande, a binomial negativa pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson; para \(r\) grande, uma aproximação pela distribuição normal funciona bem. Para calcular os coeficientes binomiais à mão, veja a calculadora de permutações e combinações.

Perguntas frequentes

Como calculo uma probabilidade binomial negativa à mão?

Primeiro decida o que você está contando. Para o total de ensaios \(n\), calcule \( P(N=n)=\binom{n-1}{r-1}\,p^{r}\,(1-p)^{n-r} \). Para as falhas \(k\), use \( P(K=k)=\binom{k+r-1}{k}\,p^{r}\,(1-p)^{k} \). Para números pequenos, você pode avaliar o coeficiente binomial à mão, por exemplo \(\binom{4}{2}=6\); para números maiores, use fatoriais ou uma calculadora de combinações. A calculadora substitui seus valores para que você possa conferir cada etapa.

Qual é a diferença entre a distribuição binomial negativa e a binomial?

A distribuição binomial fixa o número de ensaios e pergunta quantos sucessos ocorrem. A binomial negativa fixa o número de sucessos \(r\) e pergunta quantos ensaios (ou falhas) são necessários para chegarmos lá. Um erro comum é usar a fórmula binomial quando o experimento para no \(r\)-ésimo sucesso — esse cenário é binomial negativo. Quando \(r=1\), a binomial negativa se reduz à distribuição geométrica.

Como converto entre as formas de contagem por 'ensaios' e por 'falhas'?

As duas contagens estão ligadas pela identidade simples \(n = k + r\): o total de ensaios é igual a falhas mais sucessos. Se você sabe que o 3º sucesso cai no ensaio 7, isso significa que \(k = 7 - 3 = 4\) falhas aconteceram pelo caminho. Você pode alternar a opção "Contar por" na calculadora e inserir o valor convertido; as duas formas sempre dão probabilidades idênticas.

Por que o número médio de ensaios é r/p e não algo menor?

Cada ensaio tem sucesso com probabilidade \(p\), então em média são necessários \(1/p\) ensaios por sucesso — por exemplo, 2 tentativas por cesta quando \(p=0.5\). Alcançar \(r\) sucessos, portanto, leva em média \(r \cdot 1/p = r/p\) ensaios. Isso decorre da linearidade da expectativa e vale mesmo que os ensaios não sejam realizados em blocos fixos. Contando apenas as falhas, a média cai para \(r(1-p)/p\).

Posso inserir p como uma porcentagem, como 70 em vez de 0,7?

Não — a probabilidade de sucesso \(p\) deve ser inserida como um decimal entre 0 (excluso) e 1. Digite 0,7 para 70%, 0,05 para 5%, e assim por diante. Inserir 70 seria rejeitado como inválido porque o modelo exige \(0 < p \le 1\). Os resultados são mostrados tanto em decimais quanto em porcentagens, então nenhuma conversão manual é necessária na saída.

Quais são os usos típicos da distribuição binomial negativa no mundo real?

Ela se aplica sempre que você espera por um número fixo de sucessos: quantas ligações de vendas até a 3ª venda, quantos pacientes tratados até 5 responderem a um medicamento, ou quantos lances livres até a próxima cesta. Ela também é amplamente usada como modelo para dados de contagem superdispersos (contagens com variância maior que a média), como números de acidentes ou sinistros de seguro, onde a distribuição de Poisson se ajusta mal.

Existe um atalho em vez de somar muitas probabilidades para o resultado acumulado?

Sim. Uma identidade útil liga as duas distribuições: \( P(N \le n) = P(Y \ge r) \), onde \(Y\) é binomial com o mesmo \(p\) e \(n\) ensaios. Portanto, a chance de terminar até o ensaio \(n\) é igual à chance de pelo menos \(r\) sucessos em \(n\) ensaios, o que você pode verificar com uma calculadora binomial. Para \(r\) grande, uma aproximação normal com média \(r/p\) e variância \(r(1-p)/p^2\) também funciona bem.