Калькулятор отрицательного биномиального распределения
Вычисляйте точные и накопленные вероятности отрицательного биномиального распределения: введите вероятность успеха, целевое число успехов и укажите, считаете ли вы общее число испытаний или число неудач. Получите P(X = x), накопленные вероятности, математическое ожидание и дисперсию.
Вычисление вероятностей отрицательного биномиального распределения
Формула отрицательного биномиального распределения
Обозначения:
- \(p\) — вероятность успеха в одном испытании (\(0 < p \le 1\))
- \(r\) — целевое число успехов
- \(n\) — общее число испытаний вплоть до \(r\)-го успеха включительно
- \(k\) — число неудач до \(r\)-го успеха, то есть \(k = n - r\)
- \(\binom{a}{b}\) — биномиальный коэффициент, число сочетаний из \(a\) по \(b\)
Формула даёт вероятность того, что \(r\)-й успех произойдёт ровно на испытании \(n\); это значит, что ровно \(k\) неудач распределены среди первых \(n-1\) испытаний, а последнее испытание — успех. Обе формы эквивалентны; используйте ту, которая соответствует вашему способу подсчёта.
Отрицательное биномиальное распределение — пример расчёта
Пример: баскетболистка реализует 50% штрафных бросков. Какова вероятность, что её 3-й точный бросок случится ровно на 5-й попытке?
Здесь \(p = 0.5\), \(r = 3\), \(n = 5\), значит \(k = n - r = 2\) неудачи:
\[ P(N = 5) = \binom{4}{2} \cdot 0.5^{3} \cdot 0.5^{2} = 6 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.1875 \]
Накопленная вероятность того, что 3-й успех случится на 5-й попытке или раньше:
\[ P(N \le 5) = \sum_{j=0}^{2} \binom{j+2}{j} 0.5^{3} = (1 + 3 + 6) \cdot 0.125 = 0.8125 \]
Результат: точная вероятность равна \(0.1875\), то есть 18,75%. Накопленная вероятность \(P(N \le 5)\) равна 81,25%, среднее число необходимых испытаний равно \(r/p = 6\), а дисперсия равна \(r(1-p)/p^{2} = 6\).
Как пользоваться калькулятором
- Введите Вероятность успеха \(p\) — значение от 0 (не включая) до 1. Например, введите 0.5 для честной монеты.
- Введите Целевое число успехов \(r\) — сколько успехов вы хотите достичь (целое число не меньше 1).
- Выберите способ подсчёта в поле Считать по: «Общее число испытаний (n)», если вы знаете номер испытания, на который должен прийтись \(r\)-й успех, или «Неудачи до r-го успеха (k)», если вы считаете неудачи. Калькулятор показывает только нужное поле ввода.
- Введите Число испытаний \(n\) или Число неудач \(k\). При варианте с испытаниями \(n\) должно быть не меньше \(r\).
- Читайте результаты: точную вероятность, четыре накопленные вероятности («не более», «менее», «не менее», «более»), математическое ожидание и дисперсию, формулу с подставленными значениями и интерпретацию простыми словами.
Что такое отрицательное биномиальное распределение?
Отрицательное биномиальное распределение описывает число необходимых испытаний — или число неудач по пути — до достижения фиксированного числа успехов \(r\) в последовательности независимых испытаний Бернулли, каждое из которых проходит с одинаковой вероятностью успеха \(p\). Оно отвечает на вопросы вроде «Сколько штрафных бросков нужно до 3-го попадания?» или «Сколько клиентов мы обслужим, прежде чем 5-й что-то купит?»
Это зеркальное отражение биномиального распределения: биномиальное фиксирует число испытаний и считает успехи, а отрицательное биномиальное фиксирует число успехов и считает испытания. При \(r = 1\) оба распределения совпадают, и отрицательное биномиальное сводится к геометрическому распределению.
Результат различает два способа подсчёта. Если считать общее число испытаний \(N\), математическое ожидание равно \(r/p\), а дисперсия — \(r(1-p)/p^2\). Если считать неудачи \(K\), среднее уменьшается до \(r(1-p)/p\), а дисперсия остаётся прежней. Накопленные вероятности показывают, насколько вероятно закончить раньше или позже: \(P(X \le x)\) — вероятность достичь \(r\)-го успеха к этому моменту, а \(P(X > x)\) — вероятность, что потребуется ещё больше испытаний.
Допущения, ограничения и советы
- Независимые испытания: модель предполагает, что каждое испытание независимо и \(p\) остаётся постоянной. Она неприменима, когда вероятность меняется (например, эффект обучения, выбор без возвращения).
- Остановка на r-м успехе: это стандартная постановка отрицательного биномиального распределения. Если вместо этого вы проводите фиксированное число испытаний и считаете успехи, используйте биномиальное распределение.
- Проверка данных: \(p\) должна лежать в \((0, 1]\), \(r\) — положительное целое число, \(n \ge r\) и \(k \ge 0\). Калькулятор сообщает о недопустимых комбинациях, а не выдаёт неверный ответ.
- Чтение хвостов: \(P(X \le x) + P(X > x) = 1\). Используйте это для быстрой проверки результата.
- Связанные инструменты: при очень малых \(p\) и больших \(r\) отрицательное биномиальное распределение можно аппроксимировать распределением Пуассона; при больших \(r\) хорошо работает аппроксимация нормальным распределением. Чтобы вычислить биномиальные коэффициенты вручную, см. калькулятор перестановок и сочетаний.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить вероятность отрицательного биномиального распределения вручную?
Сначала решите, что именно вы считаете. Для общего числа испытаний \(n\) вычислите \( P(N=n)=\binom{n-1}{r-1}\,p^{r}\,(1-p)^{n-r} \). Для числа неудач \(k\) используйте \( P(K=k)=\binom{k+r-1}{k}\,p^{r}\,(1-p)^{k} \). При небольших числах биномиальный коэффициент можно вычислить вручную, например \(\binom{4}{2}=6\); при больших используйте факториалы или калькулятор сочетаний. Калькулятор подставляет ваши значения, так что вы можете проверить каждый шаг.
Чем отрицательное биномиальное распределение отличается от биномиального?
Биномиальное распределение фиксирует число испытаний и спрашивает, сколько будет успехов. Отрицательное биномиальное фиксирует число успехов \(r\) и спрашивает, сколько испытаний (или неудач) потребуется для их достижения. Частая ошибка — применять биномиальную формулу, когда эксперимент останавливается на \(r\)-м успехе: этот сценарий описывается отрицательным биномиальным распределением. При \(r=1\) отрицательное биномиальное распределение сводится к геометрическому.
Как перейти от подсчёта «по испытаниям» к подсчёту «по неудачам»?
Эти два способа связаны простым тождеством \(n = k + r\): общее число испытаний равно сумме неудач и успехов. Если вы знаете, что 3-й успех происходит на 7-м испытании, значит, по пути было \(k = 7 - 3 = 4\) неудачи. В калькуляторе можно переключить опцию «Считать по» и ввести преобразованное значение; обе формы всегда дают одинаковые вероятности.
Почему среднее число испытаний равно r/p, а не меньше?
Каждое испытание завершается успехом с вероятностью \(p\), поэтому в среднем на один успех требуется \(1/p\) испытаний — например, 2 попытки на одно попадание при \(p=0.5\). Значит, для достижения \(r\) успехов в среднем нужно \(r \cdot 1/p = r/p\) испытаний. Это следует из линейности математического ожидания и выполняется, даже если испытания не проводятся фиксированными блоками. Если считать только неудачи, среднее уменьшается до \(r(1-p)/p\).
Можно ли ввести p в процентах, например 70 вместо 0.7?
Нет — вероятность успеха \(p\) нужно вводить в виде десятичной дроби от 0 (не включая) до 1. Вводите 0.7 для 70%, 0.05 для 5% и так далее. Значение 70 будет отклонено как недопустимое, поскольку модель требует \(0 < p \le 1\). Результаты выводятся и в виде десятичных дробей, и в процентах, так что вручную ничего переводить не нужно.
Где на практике применяется отрицательное биномиальное распределение?
Оно применимо всегда, когда вы ждёте фиксированное число успехов: сколько звонков до 3-й продажи, сколько пациентов нужно лечить, пока 5 не отреагируют на препарат, сколько штрафных бросков до следующего попадания. Оно также широко используется как модель счётных данных с избыточной дисперсией (когда дисперсия больше среднего), например числа аварий или страховых случаев, где распределение Пуассона подходит плохо.
Есть ли способ не суммировать множество вероятностей для накопленного результата?
Да. Полезное тождество связывает эти два распределения: \( P(N \le n) = P(Y \ge r) \), где \(Y\) — биномиальная случайная величина с тем же \(p\) и \(n\) испытаниями. То есть вероятность закончить к испытанию \(n\) равна вероятности получить не менее \(r\) успехов за \(n\) испытаний — это можно проверить биномиальным калькулятором. При больших \(r\) также хорошо работает нормальная аппроксимация со средним \(r/p\) и дисперсией \(r(1-p)/p^2\).