Widerstandsmoment eines Balkenquerschnitts

Berechnen Sie zuerst das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse – für ein Rechteck \( I = bh^3/12 \), für einen Vollkreis \( I = \pi d^4/64 \). Teilen Sie anschließend durch den Abstand von der neutralen Faser zur äußersten Randfaser: \( S = I/c \), wobei \( c = h/2 \) oder \( d/2 \) gilt. Für ein Rechteck vereinfacht sich das zu \( S = bh^2/6 \). Messen Sie die Höhe stets in Biegerichtung und halten Sie alle Abmessungen in einem einheitlichen Einheitensystem.

Rechnen Sie die Biegeformel rückwärts: Das erforderliche Widerstandsmoment ist \( S \geq M / \sigma_{zul} \), wobei \( M \) das maximale Biegemoment und \( \sigma_{zul} \) die zulässige Biegespannung des Materials ist (zum Beispiel rund 10–15 MPa bei üblichen Nadelholz-Güten oder 165–275 MPa bei Baustahl, je nach Norm). Liegt Ihr berechnetes \( S_{xx} \) über dem erforderlichen Wert, ist der Biegenachweis erbracht – Abscheren, Durchbiegung und Knicken sind aber weiterhin gesondert nachzuweisen.

Das Widerstandsmoment hat die Einheit einer Länge hoch drei, daher fallen die Umrechnungen einfach aus: \( 1 \ \text{cm}^3 = 1000 \ \text{mm}^3 \) und \( 1 \ \text{in}^3 = 25.4^3 \approx 16{,}387 \ \text{mm}^3 \). Beim Flächenträgheitsmoment gilt die vierte Potenz: \( 1 \ \text{cm}^4 = 10{,}000 \ \text{mm}^4 \) und \( 1 \ \text{in}^4 \approx 416{,}231 \ \text{mm}^4 \). Ein häufiger Fehler ist die Anwendung eines linearen oder quadratischen Umrechnungsfaktors – verwenden Sie immer die dritte bzw. vierte Potenz des Längenverhältnisses.

Das elastische Widerstandsmoment \( S \) setzt eine lineare Spannungsverteilung voraus, bei der das Fließen an der Randfaser beginnt; es gehört zur Bemessungsmethode mit zulässigen Spannungen. Das plastische Widerstandsmoment \( Z \) setzt voraus, dass der gesamte Querschnitt die Streckgrenze erreicht, und liefert eine höhere Tragfähigkeit; für ein Rechteck gilt \( Z = bh^2/4 \), genau das Doppelte des elastischen Werts. Dieser Rechner liefert den elastischen Wert, der für Gebrauchstauglichkeitsnachweise, spröde Werkstoffe und die ältere Spannungsbemessung im Stahlbau geeignet ist. Moderne Stahlnormen nach dem Grenzzustandskonzept verwenden \( Z \) plus Formbeiwerte und Sicherheitsbeiwerte.

Nein – Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind rein geometrische Eigenschaften der Querschnittsform. Ein Rechteck mit 100 × 200 mm hat dasselbe \( S_{xx} \), ob es aus Stahl, Aluminium, Holz oder Beton besteht. Das Material kommt erst beim Übergang zu Spannungen ins Spiel: Teilen Sie das einwirkende Moment durch \( S_{xx} \) und vergleichen Sie die resultierende Spannung \( \sigma \) mit der Streck- bzw. zulässigen Spannung des Materials. Steifigkeitskennwerte wie \( E I \) enthalten dagegen sehr wohl den Elastizitätsmodul \( E \) des Materials.

Nicht direkt. Diese Formen sind nur einfach symmetrisch, die neutrale Faser liegt also nicht auf halber Höhe, und die Randfaserabstände ober- und unterhalb davon sind unterschiedlich – man erhält zwei verschiedene Widerstandsmomente. Sie müssten zunächst den Schwerpunkt bestimmen, dann \( I \) bezüglich dieses Punkts berechnen und durch die jeweiligen Randfaserabstände teilen. Behelfsweise lässt sich ein unsymmetrisches I-Profil manchmal durch Überlagerung von Rechtecken annähern; bei echten T-, L- und U-Profilen ist es aber sicherer, tabellierte Katalogwerte oder ein Werkzeug für beliebige Formen zu verwenden.

Die Klassiker sind: bei Kreisquerschnitten den Durchmesser einzugeben, wo der Radius gefragt ist (oder umgekehrt); die Abmessungen der schwachen Achse zu verwenden, was bei einem flach verlegten Rechteck \( S \) um 75 % verringert; Einheiten zu mischen – etwa Millimeter einzugeben und das Moment in kN·m zu belassen, ohne umzurechnen; und zu übersehen, dass \( \sigma = M/S \) das Moment \( M \) in N·mm verlangt, wenn \( S \) in mm³ vorliegt (1 kN·m = 10⁶ N·mm). Denken Sie außerdem daran, dass der Innendurchmesser eines Rohrs eindeutig kleiner sein muss als der Außendurchmesser, sonst liefern die Formeln sinnlose Ergebnisse.