Gleichverteilungs-Rechner
Berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten, Dichte, Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung für eine stetige Gleichverteilung X ~ U(a, b). Geben Sie die Grenzen, einen Punkt x und ein Intervall [c, d] ein.
Gleichverteilungswahrscheinlichkeiten berechnen
Formel der Gleichverteilung
Dabei ist:
- \(a\) — untere Grenze des Trägers (kleinstmöglicher Wert)
- \(b\) — obere Grenze des Trägers (größtmöglicher Wert)
- \(x\) — Punkt, an dem die Dichte und die Verteilungsfunktion ausgewertet werden
- \(c, d\) — Grenzen des Intervalls für die Wahrscheinlichkeitsberechnung
- \(f(x)\) — Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte)
- \(F(x)\) — Verteilungsfunktion (kumulierte Verteilungsfunktion)
- \(\mu, \sigma^2, \sigma\) — Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Die Gleichverteilung (auch Rechteckverteilung) beschreibt eine Zufallsvariable, bei der jeder Wert im Intervall \([a, b]\) gleich wahrscheinlich ist. Die Dichte ist auf dem Träger konstant \(1/(b-a)\) und außerhalb null, sodass sich jede Wahrscheinlichkeit auf ein Verhältnis von Intervalllängen reduziert.
Gleichverteilung – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Bus kommt an einer Haltestelle zu einem gleichverteilten zufälligen Zeitpunkt zwischen 0 und 10 Minuten nach der vollen Stunde an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwischen der 3. und 7. Minute ankommt, und wie groß ist die Verteilungsfunktion bei genau 4 Minuten? Hier sind \(a = 0\), \(b = 10\), \(x = 4\), \(c = 3\), \(d = 7\).
\[ f(x) = \frac{1}{b - a} = \frac{1}{10 - 0} = 0.1 \quad \text{für } 0 \le x \le 10 \]
\[ P(3 \le X \le 7) = \frac{\min(7, 10) - \max(3, 0)}{10 - 0} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = 0.4 \]
\[ F(4) = P(X \le 4) = \frac{4 - 0}{10 - 0} = 0.4 \]
\[ \mu = \frac{0 + 10}{2} = 5, \qquad \sigma^2 = \frac{(10 - 0)^2}{12} \approx 8.333333, \qquad \sigma \approx 2.886751 \]
Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, zwischen der 3. und 7. Minute anzukommen, beträgt 0,4 (40 %); die Verteilungsfunktion bei 4 Minuten beträgt 0,4. Der mittlere Zeitpunkt liegt bei 5 Minuten, mit einer Varianz von ≈ 8,333333 und einer Standardabweichung von ≈ 2,886751 Minuten.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie die Untere Grenze (a) ein — den kleinsten Wert, den die Variable annehmen kann.
- Geben Sie die Obere Grenze (b) ein — den größtmöglichen Wert. Er muss größer als a sein.
- Geben Sie den Wert (x) ein, an dem die Dichte \(f(x)\) und die Verteilungsfunktion \(F(x)\) ausgewertet werden sollen.
- Geben Sie die Untere Grenze (c) und Obere Grenze (d) des Intervalls ein, dessen Wahrscheinlichkeit Sie benötigen. Wenn Sie nur ein Ergebnis für einen Punkt brauchen, können Sie c = d = x setzen.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: Intervallwahrscheinlichkeit \(P(c \le X \le d)\), Dichte \(f(x)\), Verteilungsfunktion \(F(x)\), Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung sowie eine vollständige Interpretation mit allen Formeln, in die Ihre Werte eingesetzt wurden.
Was ist die Gleichverteilung?
Die stetige Gleichverteilung, geschrieben \(X \sim U(a, b)\), ist die einfachste aller stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie modelliert Situationen, in denen ein Ergebnis überall innerhalb eines Intervalls gleich wahrscheinlich ist: ein zufällig auf einer Strecke gewählter Punkt, ein Kreisel, der in einem zufälligen Winkel stehen bleibt, ein computergestützter Zufallszahlengenerator, der einen Wert zwischen 0 und 1 erzeugt, oder ein Ereignis, dessen Zeitpunkt innerhalb eines bekannten Zeitfensters völlig unvorhersehbar ist.
Weil die Dichte flach ist — auf dem Träger eine Konstante \(1/(b-a)\) —, wird die Wahrscheinlichkeitsberechnung eine Frage von Längen. Die Wahrscheinlichkeit, dass X in ein Intervall \([c, d]\) fällt, ist einfach die Länge der Überlappung zwischen \([c, d]\) und \([a, b]\), dividiert durch die Gesamtbreite \(b - a\). Deshalb wird die Verteilung auch Rechteckverteilung genannt: Ihr Dichtediagramm ist ein Rechteck, und die Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche eines Streifens dieses Rechtecks.
Die Verteilungsfunktion \(F(x) = P(X \le x)\) wächst linear von 0 bei \(x = a\) bis 1 bei \(x = b\). In unserem Beispiel bedeutet \(F(4) = 0.4\), dass die Chance 40 % beträgt, dass der Wert 4 oder kleiner ist. Beachten Sie, dass bei einer stetigen Verteilung die Wahrscheinlichkeit, genau einen bestimmten Wert zu treffen, immer null ist — \(P(X = 4) = 0\) — weshalb wir mit Intervallen statt mit Punkten arbeiten.
Die Kennzahlen haben eine natürliche Interpretation: Der Erwartungswert \((a+b)/2\) ist einfach die Mitte des Intervalls, und die Standardabweichung \((b-a)/\sqrt{12} \approx 0.289 \cdot (b-a)\) misst die typische Streuung der Werte um diese Mitte. Gleichverteilungen mit breiteren Trägern streuen proportional stärker.
Annahmen, Grenzen und Tipps
- Nur stetig. Dieser Rechner behandelt die stetige Gleichverteilung. Ein diskretes Modell mit gleich wahrscheinlichen einzelnen Ergebnissen (wie ein fairer Würfel) erfordert eine andere Berechnung.
- Beschneiden erfolgt automatisch. Wenn Ihr Intervall \([c, d]\) über den Träger \([a, b]\) hinausreicht, beschneidet der Rechner es: Die Teile außerhalb von \([a, b]\) tragen keine Wahrscheinlichkeit bei. Liegt das Intervall vollständig außerhalb des Trägers, ist die Wahrscheinlichkeit 0.
- Punktwahrscheinlichkeiten sind null. Für jeden exakten Wert \(x\) gilt \(P(X = x) = 0\). Nur Intervalle tragen Wahrscheinlichkeit; die Dichte \(f(x)\) ist eine Höhe, keine Wahrscheinlichkeit.
- Einheiten. Erwartungswert und Standardabweichung tragen dieselben Einheiten wie die Variable; die Dichte trägt die reziproke Einheit (1 pro Einheit).
- Gleichmäßigkeit muss begründet sein. Echte Daten sind selten perfekt gleichverteilt. Prüfen Sie vor der Verwendung dieses Modells, ob die Annahme gleicher Wahrscheinlichkeit über das gesamte Intervall hinweg plausibel ist — zum Beispiel mit einem Histogramm oder durch den Vergleich mit einer Normalverteilung.
Verwandte Werkzeuge: Um die Streuung tatsächlicher Datenstichproben zu berechnen, nutzen Sie den Varianz-Rechner und den Standardabweichungs-Rechner; für andere gängige Wahrscheinlichkeitsmodelle probieren Sie den Binomialverteilungs-Rechner und den Poissonverteilungs-Rechner aus.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich eine Wahrscheinlichkeit der Gleichverteilung von Hand?
Teilen Sie die Länge des Intervalls, das für Sie von Interesse ist, durch die Gesamtbreite des Trägers: \(P(c \le X \le d) = \frac{d - c}{b - a}\), nachdem Sie \([c, d]\) zuvor so beschnitten haben, dass es innerhalb von \([a, b]\) bleibt. Ist beispielsweise \(X \sim U(0, 10)\), so beträgt die Chance, zwischen 2 und 5 zu landen, \((5-2)/10 = 0{,}3\). Weder Tabellen noch Integrale sind nötig — es ist einfach ein Verhältnis von Längen.
Warum ist die Varianz (b − a)² / 12?
Der Faktor 12 ergibt sich aus der Integration von \((x - \mu)^2\) über eine konstante Dichte: \(\sigma^2 = \int_a^b (x - \mu)^2 \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{(b-a)^2}{12}\). Es ist ein festes Ergebnis der rechteckigen Form, keine Näherung. Eine schnelle Plausibilitätsprüfung: Die Standardabweichung beträgt immer etwa 29 % der Intervallbreite, da \(1/\sqrt{12} \approx 0.289\).
Ist die Gleichverteilung dasselbe wie die Normalverteilung?
Nein. Eine Gleichverteilung hat eine flache Dichte — jeder Wert in \([a, b]\) ist gleich wahrscheinlich —, während eine Normalverteilung glockenförmig ist, mit Werten, die sich um den Erwartungswert scharen, und unendlich auslaufenden Rändern. Die Gleichverteilung hat keine Ränder und harte Grenzen bei \(a\) und \(b\). Verwenden Sie die Gleichverteilung, wenn Ergebnisse in einem Bereich gleich wahrscheinlich sind; die Normalverteilung, wenn sich viele kleine unabhängige Effekte aufsummieren.
Kann ich diesen Rechner für einen fairen Würfel oder Münzwürfe verwenden?
Nein — das sind diskrete Gleichverteilungen, bei denen einzelne Ergebnisse jeweils die Wahrscheinlichkeit \(1/n\) haben. Dieser Rechner behandelt den stetigen Fall, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen exakten Werts null ist. Für einen fairen sechsseitigen Würfel gilt \(P(X = 3) = 1/6\), aber für eine stetige \(U(0, 6)\)-Variable gilt \(P(X = 3) = 0\) — nur Intervalle wie \(P(2.9 \le X \le 3.1)\) haben eine Wahrscheinlichkeit ungleich null.
Wie finde ich den Wert x für eine gegebene kumulierte Wahrscheinlichkeit?
Invertieren Sie die Verteilungsfunktion: \(x = a + p \cdot (b - a)\), wobei \(p\) die gewünschte Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 ist. Wenn beispielsweise \(X \sim U(0, 10)\) gilt und Sie den Wert suchen, der nur zu 25 % überschritten wird, lösen Sie \(F(x) = 0.75\): \(x = 0 + 0.75 \cdot 10 = 7.5\). Diese lineare Umkehrung ist einer der Gründe, warum die Gleichverteilung so angenehm zu handhaben ist.
Was passiert, wenn mein Intervall [c, d] über den Träger [a, b] hinausgeht?
Die Teile außerhalb von \([a, b]\) tragen keine Wahrscheinlichkeit bei, daher wird das Intervall auf die Überlappung beschnitten. Nur der Bereich von \(\max(c, a)\) bis \(\min(d, b)\) zählt. Liegt \([c, d]\) vollständig außerhalb des Trägers, ist die Wahrscheinlichkeit exakt 0. So ist beispielsweise für \(U(0, 10)\) \(P(8 \le X \le 15) = (10 - 8)/10 = 0.2\), nicht \((15-8)/10\).
Was ist ein häufiger Fehler beim Ablesen der Dichte f(x)?
Die Dichte als Wahrscheinlichkeit aufzufassen. Der Wert \(f(x) = 1/(b-a)\) ist eine Höhe, keine Chance, und kann bei schmalen Intervallen sogar größer als 1 sein (z. B. hat \(U(0, 0.5)\) die Dichte 2). Nur Flächen unter der Dichte ergeben Wahrscheinlichkeiten. Ein weiterer häufiger Fehler ist es, zu vergessen, dass der Erwartungswert die Mitte \((a+b)/2\) ist, unabhängig davon, wo sich Werte konzentrieren — in einer Gleichverteilung gibt es keine Konzentration.