Calculateur de loi uniforme
Calculez les probabilités, la densité, la probabilité cumulée, l'espérance, la variance et l'écart-type d'une loi uniforme continue X ~ U(a, b). Saisissez les bornes, un point x et un intervalle [c, d].
Calculer des probabilités de la loi uniforme
Formule de la loi uniforme
Où :
- \(a\) — borne inférieure du support (plus petite valeur possible)
- \(b\) — borne supérieure du support (plus grande valeur possible)
- \(x\) — point auquel la densité et la probabilité cumulée sont évaluées
- \(c, d\) — bornes de l'intervalle pour le calcul de la probabilité
- \(f(x)\) — fonction de densité de probabilité
- \(F(x)\) — fonction de répartition
- \(\mu, \sigma^2, \sigma\) — espérance, variance et écart-type
La loi uniforme (rectangulaire) décrit une variable aléatoire pour laquelle chaque valeur de l'intervalle \([a, b]\) est équiprobable. La densité est constante, égale à \(1/(b-a)\) sur le support et nulle en dehors, si bien que toute probabilité se ramène à un rapport de longueurs d'intervalles.
Loi uniforme – Exemple de calcul
Exemple : un bus arrive à un arrêt à un instant aléatoire, uniformément réparti entre 0 et 10 minutes après l'heure pleine. Quelle est la probabilité qu'il arrive entre la 3e et la 7e minute, et quelle est la probabilité cumulée à exactement 4 minutes ? Ici \(a = 0\), \(b = 10\), \(x = 4\), \(c = 3\), \(d = 7\).
\[ f(x) = \frac{1}{b - a} = \frac{1}{10 - 0} = 0.1 \quad \text{pour } 0 \le x \le 10 \]
\[ P(3 \le X \le 7) = \frac{\min(7, 10) - \max(3, 0)}{10 - 0} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = 0.4 \]
\[ F(4) = P(X \le 4) = \frac{4 - 0}{10 - 0} = 0.4 \]
\[ \mu = \frac{0 + 10}{2} = 5, \qquad \sigma^2 = \frac{(10 - 0)^2}{12} \approx 8.333333, \qquad \sigma \approx 2.886751 \]
Résultat : la probabilité d'arriver entre la 3e et la 7e minute est de 0,4 (40 %) ; la probabilité cumulée à 4 minutes est de 0,4. L'instant moyen d'arrivée est de 5 minutes, avec une variance d'environ 8,333333 et un écart-type d'environ 2,886751 minutes.
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez la Borne inférieure (a) — la plus petite valeur que la variable peut prendre.
- Saisissez la Borne supérieure (b) — la plus grande valeur possible. Elle doit être supérieure à a.
- Saisissez la Valeur (x) à laquelle vous souhaitez évaluer la densité \(f(x)\) et la probabilité cumulée \(F(x)\).
- Saisissez la Borne inférieure (c) et la Borne supérieure (d) de l'intervalle dont vous cherchez la probabilité. Si vous n'avez besoin que d'un résultat ponctuel, vous pouvez poser c = d = x.
- Lisez les résultats : probabilité de l'intervalle \(P(c \le X \le d)\), densité \(f(x)\), probabilité cumulée \(F(x)\), espérance, variance, écart-type, plus une interprétation complète avec toutes les formules dans lesquelles vos valeurs ont été substituées.
Qu'est-ce que la loi uniforme ?
La loi uniforme continue, notée \(X \sim U(a, b)\), est la plus simple de toutes les lois de probabilité continues. Elle modélise des situations où un résultat est également susceptible de se trouver n'importe où dans un intervalle : un point choisi au hasard sur un segment, une roue qui s'arrête à un angle aléatoire, un générateur de nombres aléatoires d'ordinateur produisant une valeur entre 0 et 1, ou un événement dont le moment est totalement imprévisible dans une fenêtre connue.
Comme la densité est plate — une constante \(1/(b-a)\) sur tout le support — les probabilités se réduisent à des questions de longueurs. La probabilité que X tombe dans un intervalle \([c, d]\) est simplement la longueur du recouvrement entre \([c, d]\) et \([a, b]\), divisée par la largeur totale \(b - a\). C'est pourquoi cette loi est aussi appelée loi rectangulaire : son graphe de densité est un rectangle, et la probabilité correspond à l'aire d'une tranche de ce rectangle.
La probabilité cumulée \(F(x) = P(X \le x)\) croît linéairement de 0 en \(x = a\) à 1 en \(x = b\). Dans notre exemple, \(F(4) = 0.4\) signifie qu'il y a 40 % de chances que la valeur soit inférieure ou égale à 4. Notez que pour une loi continue, la probabilité d'obtenir une valeur exacte donnée est toujours nulle — \(P(X = 4) = 0\) — c'est pourquoi l'on travaille avec des intervalles plutôt qu'avec des points.
Les statistiques de synthèse ont une interprétation naturelle : l'espérance \((a+b)/2\) est simplement le milieu de l'intervalle, et l'écart-type \((b-a)/\sqrt{12} \approx 0.289 \cdot (b-a)\) mesure la dispersion typique des valeurs autour de ce milieu. Les lois uniformes dont le support est plus large sont proportionnellement plus dispersées.
Hypothèses, limites et conseils
- Continue uniquement. Ce calculateur traite de la loi uniforme continue. Un modèle discret avec des résultats séparés équiprobables (comme un dé équilibré) nécessite un calcul différent.
- La troncature est automatique. Si votre intervalle \([c, d]\) dépasse le support \([a, b]\), le calculateur le tronque : les parties situées en dehors de \([a, b]\) apportent une probabilité nulle. Si l'intervalle se trouve entièrement en dehors du support, la probabilité est 0.
- Les probabilités ponctuelles sont nulles. Pour toute valeur exacte \(x\), \(P(X = x) = 0\). Seuls les intervalles portent une probabilité ; la densité \(f(x)\) est une hauteur, pas une probabilité.
- Unités. L'espérance et l'écart-type s'expriment dans les mêmes unités que la variable ; la densité s'exprime en unités inverses (1 par unité).
- L'uniformité doit être justifiée. Les données réelles sont rarement parfaitement uniformes. Avant d'utiliser ce modèle, vérifiez que l'hypothèse d'équiprobabilité sur tout l'intervalle est raisonnable — par exemple avec un histogramme ou en comparant avec une loi normale.
Outils associés : pour calculer la dispersion d'échantillons de données réelles, voir le calculateur de variance et le calculateur d'écart-type ; pour d'autres modèles de probabilité courants, essayez le calculateur de loi binomiale et le calculateur de loi de Poisson.
Questions fréquentes
Comment calculer une probabilité de loi uniforme à la main ?
Divisez la longueur de l'intervalle qui vous intéresse par la largeur totale du support : \(P(c \le X \le d) = \frac{d - c}{b - a}\), après avoir ramené \([c, d]\) à l'intérieur de \([a, b]\). Par exemple, avec \(X \sim U(0, 10)\), la chance de tomber entre 2 et 5 est \((5-2)/10 = 0.3\). Aucune table ni intégrale n'est nécessaire — c'est simplement un rapport de longueurs.
Pourquoi la variance vaut-elle (b − a)² / 12 ?
Le facteur 12 vient de l'intégration de \((x - \mu)^2\) sur une densité constante : \(\sigma^2 = \int_a^b (x - \mu)^2 \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{(b-a)^2}{12}\). C'est un résultat exact lié à la forme rectangulaire, pas une approximation. Vérification rapide : l'écart-type vaut toujours environ 29 % de la largeur de l'intervalle, puisque \(1/\sqrt{12} \approx 0.289\).
La loi uniforme est-elle la même que la loi normale ?
Non. Une loi uniforme a une densité plate — chaque valeur de \([a, b]\) est équiprobable — alors qu'une loi normale est en forme de cloche, avec des valeurs concentrées autour de la moyenne et des queues s'étendant à l'infini. La loi uniforme n'a pas de queues et présente des coupures nettes en \(a\) et \(b\). Utilisez la loi uniforme lorsque les résultats sont équiprobables sur un intervalle ; utilisez la loi normale lorsque de nombreux petits effets indépendants s'additionnent.
Puis-je utiliser ce calculateur pour un dé équilibré ou des lancers de pièce ?
Non — ce sont des lois uniformes discrètes, où des résultats séparés ont chacun une probabilité égale \(1/n\). Ce calculateur traite le cas continu, où la probabilité de toute valeur exacte isolée est nulle. Pour un dé équilibré à six faces, \(P(X = 3) = 1/6\), mais pour une variable continue \(U(0, 6)\), \(P(X = 3) = 0\) — seuls les intervalles comme \(P(2.9 \le X \le 3.1)\) ont une probabilité non nulle.
Comment trouver la valeur x pour une probabilité cumulée donnée ?
Inversez la fonction de répartition : \(x = a + p \cdot (b - a)\), où \(p\) est la probabilité souhaitée, entre 0 et 1. Par exemple, si \(X \sim U(0, 10)\) et que vous cherchez la valeur dépassée seulement 25 % du temps, résolvez \(F(x) = 0.75\) : \(x = 0 + 0.75 \cdot 10 = 7.5\). Cette inversion linéaire est l'une des raisons pour lesquelles la loi uniforme est facile à manipuler.
Que se passe-t-il si mon intervalle [c, d] dépasse le support [a, b] ?
Les parties situées en dehors de \([a, b]\) apportent une probabilité nulle, donc l'intervalle est tronqué au recouvrement. Seul l'intervalle allant de \(\max(c, a)\) à \(\min(d, b)\) compte. Si \([c, d]\) se trouve entièrement en dehors du support, la probabilité est exactement 0. Par exemple, pour \(U(0, 10)\), \(P(8 \le X \le 15) = (10 - 8)/10 = 0.2\), et non \((15-8)/10\).
Quelle est l'erreur courante lors de la lecture de la densité f(x) ?
Considérer la densité comme une probabilité. La valeur \(f(x) = 1/(b-a)\) est une hauteur, pas une chance, et elle peut même dépasser 1 pour des intervalles étroits (par exemple, \(U(0, 0.5)\) a une densité de 2). Seules les aires sous la densité donnent des probabilités. Une autre erreur fréquente consiste à oublier que l'espérance est le milieu \((a+b)/2\), quel que soit l'endroit où les valeurs se concentrent — or il n'y a aucune concentration dans une loi uniforme.