Калькулятор рівномірного розподілу
Обчислюйте ймовірності, густину, функцію розподілу, математичне очікування, дисперсію та стандартне відхилення для неперервного рівномірного розподілу X ~ U(a, b). Введіть межі, точку x та інтервал [c, d].
Обчислення ймовірностей рівномірного розподілу
Формула рівномірного розподілу
Де:
- \(a\) — нижня межа носія (найменше можливе значення)
- \(b\) — верхня межа носія (найбільше можливе значення)
- \(x\) — точка, в якій обчислюються густина та накопичена ймовірність
- \(c, d\) — межі інтервалу для обчислення ймовірності
- \(f(x)\) — функція густини ймовірності
- \(F(x)\) — функція розподілу (накопичена ймовірність)
- \(\mu, \sigma^2, \sigma\) — математичне очікування, дисперсія та стандартне відхилення
Рівномірний (прямокутний) розподіл описує випадкову величину, для якої всі значення в інтервалі \([a, b]\) однаково ймовірні. Густина є сталою \(1/(b-a)\) на носії та нульовою поза ним, тож будь-яка ймовірність зводиться до відношення довжин інтервалів.
Рівномірний розподіл — приклад обчислення
Приклад: автобус прибуває на зупинку у випадковий момент, рівномірно розподілений між 0-ю та 10-ю хвилиною години. Яка ймовірність, що він прибуде між 3-ю та 7-ю хвилиною, і яка накопичена ймовірність саме на 4-й хвилині? Тут \(a = 0\), \(b = 10\), \(x = 4\), \(c = 3\), \(d = 7\).
\[ f(x) = \frac{1}{b - a} = \frac{1}{10 - 0} = 0.1 \quad \text{для } 0 \le x \le 10 \]
\[ P(3 \le X \le 7) = \frac{\min(7, 10) - \max(3, 0)}{10 - 0} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = 0.4 \]
\[ F(4) = P(X \le 4) = \frac{4 - 0}{10 - 0} = 0.4 \]
\[ \mu = \frac{0 + 10}{2} = 5, \qquad \sigma^2 = \frac{(10 - 0)^2}{12} \approx 8.333333, \qquad \sigma \approx 2.886751 \]
Результат: ймовірність прибуття між 3-ю та 7-ю хвилиною становить 0,4 (40 %); накопичена ймовірність на 4-й хвилині дорівнює 0,4. Очікуване значення (середина інтервалу) — 5 хвилин, дисперсія ≈ 8,333333, стандартне відхилення ≈ 2,886751 хвилини.
Як користуватися калькулятором
- Введіть Нижню межу (a) — найменше значення, яке може набувати величина.
- Введіть Верхню межу (b) — найбільше можливе значення. Вона має бути більшою за a.
- Введіть Значення (x), у якому потрібно обчислити густину \(f(x)\) та накопичену ймовірність \(F(x)\).
- Введіть Нижню межу (c) та Верхню межу (d) інтервалу, ймовірність якого вам потрібна. Якщо потрібен лише результат у точці, можна задати c = d = x.
- Зчитайте результати: ймовірність інтервалу \(P(c \le X \le d)\), густина \(f(x)\), накопичена ймовірність \(F(x)\), математичне очікування, дисперсія, стандартне відхилення, а також повна інтерпретація з усіма формулами, у які підставлено ваші значення.
Що таке рівномірний розподіл?
Неперервний рівномірний розподіл, який записують \(X \sim U(a, b)\), — найпростіший серед усіх неперервних розподілів імовірностей. Він моделює ситуації, коли результат однаково ймовірно може опинитися в будь-якій точці інтервалу: випадкова точка, вибрана на відрізку; обертовий вказівник, що зупиняється на випадковому куті; комп’ютерний генератор випадкових чисел, що видає значення між 0 і 1; або подія, час якої повністю непередбачуваний у межах відомого вікна.
Оскільки густина є пласкою — сталою \(1/(b-a)\) на всьому носії — ймовірності зводяться до довжин. Ймовірність, що X потрапить у деякий інтервал \([c, d]\), — це просто довжина перетину \([c, d]\) з \([a, b]\), поділена на повну ширину \(b - a\). Саме тому розподіл також називають прямокутним: його графік густини має вигляд прямокутника, а ймовірність відповідає площі частини цього прямокутника.
Накопичена ймовірність \(F(x) = P(X \le x)\) зростає лінійно від 0 при \(x = a\) до 1 при \(x = b\). У нашому прикладі \(F(4) = 0.4\) означає, що існує 40 % шансів, що значення не перевищить 4. Зверніть увагу: для неперервного розподілу ймовірність влучити точно в одне значення завжди дорівнює нулю — \(P(X = 4) = 0\) — тому працюють з інтервалами, а не з точками.
Підсумкові показники мають природну інтерпретацію: математичне очікування \((a+b)/2\) — це просто середина інтервалу, а стандартне відхилення \((b-a)/\sqrt{12} \approx 0.289 \cdot (b-a)\) вимірює типовий розкид значень навколо цієї середини. Рівномірні розподіли з ширшими носіями мають пропорційно більший розкид.
Припущення, обмеження та поради
- Лише неперервний випадок. Цей калькулятор призначений для неперервного рівномірного розподілу. Дискретна модель з однаково ймовірними окремими результатами (як справедливий кубик) потребує інших обчислень.
- Обрізання виконується автоматично. Якщо ваш інтервал \([c, d]\) виходить за межі носія \([a, b]\), калькулятор обрізає його: частини поза \([a, b]\) дають нульову ймовірність. Якщо інтервал повністю лежить поза носієм, ймовірність дорівнює 0.
- Ймовірності у точках нульові. Для будь-якого точного значення \(x\), \(P(X = x) = 0\). Ймовірність мають лише інтервали; густина \(f(x)\) — це висота, а не ймовірність.
- Одиниці вимірювання. Математичне очікування та стандартне відхилення мають ті самі одиниці, що й величина; густина — обернені одиниці (1 на одиницю).
- Рівномірність треба обґрунтувати. Реальні дані рідко бувають ідеально рівномірними. Перш ніж використовувати цю модель, перевірте, чи припущення про однакову ймовірність на всьому інтервалі є розумним — наприклад, за допомогою гістограми або порівняння з нормальним розподілом.
Схожі інструменти: щоб обчислити розкид реальних вибірок даних, дивіться калькулятор дисперсії та калькулятор стандартного відхилення; для інших поширених моделей імовірностей спробуйте калькулятор біномного розподілу і калькулятор розподілу Пуассона.
Часті запитання
Як обчислити ймовірність рівномірного розподілу вручну?
Поділіть довжину потрібного вам інтервалу на повну ширину носія: \(P(c \le X \le d) = \frac{d - c}{b - a}\), попередньо обрізавши \([c, d]\) так, щоб він залишався всередині \([a, b]\). Наприклад, для \(X \sim U(0, 10)\) шанс потрапити між 2 і 5 дорівнює \((5-2)/10 = 0.3\). Не потрібні ані таблиці, ані інтеграли — це просто відношення довжин.
Чому дисперсія дорівнює (b − a)² / 12?
Множник 12 з’являється в результаті інтегрування \((x - \mu)^2\) при сталій густині: \(\sigma^2 = \int_a^b (x - \mu)^2 \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{(b-a)^2}{12}\). Це точний наслідок прямокутної форми, а не наближення. Швидка перевірка: стандартне відхилення завжди становить близько 29 % ширини інтервалу, оскільки \(1/\sqrt{12} \approx 0.289\).
Чи рівномірний розподіл — це те саме, що нормальний розподіл?
Ні. Рівномірний розподіл має пласку густину — всі значення в \([a, b]\) однаково ймовірні, — тоді як нормальний розподіл має дзвоноподібну форму зі згущенням значень навколо середнього та нескінченними хвостами. У рівномірного розподілу немає хвостів, а на \(a\) та \(b\) густина різко обрізається. Використовуйте рівномірний розподіл, коли результати однаково ймовірні в певному діапазоні; нормальний — коли сумуються багато малих незалежних чинників.
Чи можна використовувати цей калькулятор для справедливого кубика чи підкидання монети?
Ні — це дискретні рівномірні розподіли, в яких кожен окремий результат має однакову ймовірність \(1/n\). Цей калькулятор призначений для неперервного випадку, де ймовірність будь-якого окремого точного значення дорівнює нулю. Для справедливого шестигранного кубика \(P(X = 3) = 1/6\), але для неперервної величини \(U(0, 6)\) \(P(X = 3) = 0\) — ненульову ймовірність мають лише інтервали, як-от \(P(2.9 \le X \le 3.1)\).
Як знайти значення x за заданою накопиченою ймовірністю?
Оберніть функцію розподілу: \(x = a + p \cdot (b - a)\), де \(p\) — задана ймовірність від 0 до 1. Наприклад, якщо \(X \sim U(0, 10)\) і вам потрібне значення, що перевищується лише в 25 % випадків, розв’яжіть \(F(x) = 0.75\): \(x = 0 + 0.75 \cdot 10 = 7.5\). Таке лінійне обернення — одна з причин, чому з рівномірним розподілом легко працювати.
Що станеться, якщо мій інтервал [c, d] виходить за межі носія [a, b]?
Частини поза \([a, b]\) дають нульову ймовірність, тож інтервал обрізається до перетину. Враховується лише відрізок від \(\max(c, a)\) до \(\min(d, b)\). Якщо \([c, d]\) повністю лежить поза носієм, ймовірність точно дорівнює 0. Наприклад, для \(U(0, 10)\), \(P(8 \le X \le 15) = (10 - 8)/10 = 0.2\), а не \((15-8)/10\).
Яка типова помилка при читанні густини f(x)?
Сприймати густину як ймовірність. Значення \(f(x) = 1/(b-a)\) — це висота, а не шанс, і воно навіть може перевищувати 1 для вузьких інтервалів (наприклад, \(U(0, 0.5)\) має густину 2). Ймовірності дають лише площі під графіком густини. Ще одна поширена помилка — забути, що середнє є серединою інтервалу \((a+b)/2\), незалежно від того, де зосереджені значення, — адже в рівномірному розподілі зосередження немає взагалі.