Calculadora da Distribuição de Poisson

Q: Como calcular uma probabilidade de Poisson manualmente, sem calculadora?

Calcule P(X = k) = e^-λλ^k / k! passo a passo: encontre e^-λ, eleve λ à potência k, multiplique-os e divida por k!. Por exemplo, com λ = 2 e k = 3: e^-2 ≈ 0.1353, 2^3 = 8, 3! = 6, logo P(X = 3) = 0.1353 × 8 / 6 ≈ 0.1804. Para probabilidades acumuladas, some os termos individuais de 0 até k.

Q: λ pode ser um número decimal ou fracionário?

Sim, λ pode ser qualquer número positivo, incluindo decimais — apenas k precisa ser um número inteiro. Por exemplo, se um erro raro ocorre em média 0,7 vezes por relatório, λ = 0.7 é perfeitamente válido. Um λ fracionário simplesmente significa que os eventos são incomuns no intervalo escolhido. As únicas restrições são λ > 0 e que k seja um inteiro maior ou igual a 0.

Q: Qual é a probabilidade de zero eventos, P(X = 0)?

Como 0! = 1 e λ^0 = 1, a fórmula simplifica-se para P(X = 0) = e^-λ. Com λ = 3, isso dá e^-3 ≈ 0.0498, ou cerca de 5% de chance de nenhum evento. Esse valor é útil em trabalhos de confiabilidade — por exemplo, para estimar a chance de não ocorrer nenhuma falha de máquina durante um turno.

Q: Por que meu cálculo manual dá 0 ou um número errado gigantesco para k grande?

Para k grande, tanto λ^k quanto k! se tornam astronomicamente grandes e podem estourar a capacidade de uma calculadora ou planilha, embora sua razão seja pequena. A solução é trabalhar com logaritmos: ln P = -λ + klnλ - ln(k!), e depois exponenciar no final. Outro erro comum é digitar k como não inteiro ou esquecer que e^-λ deve ser multiplicado, e não somado.

Q: Qual é o número mais provável de eventos (a moda)?

O resultado mais provável é k = lfloorλrfloor — o maior número inteiro que não excede λ. Se λ for ele próprio um número inteiro, então tanto k = λ quanto k = λ - 1 são igualmente prováveis. Por exemplo, com λ = 4, tanto 3 quanto 4 eventos têm a maior probabilidade; com λ = 4.5, a contagem isolada mais provável é 4.

Atualizado: 4 outubro 2026

Calcule probabilidades de Poisson a partir da taxa média λ: a chance de exatamente k eventos, um intervalo ou probabilidades acumuladas de “no máximo” / “no mínimo”, além da média e da variância.

Calcular Probabilidades de Poisson

Fórmula da Distribuição de Poisson

Fórmula

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!} \\ \[ P(X \le k) = \sum_{j=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^j}{j!} \\ \[ P(X \ge k) = 1 - \sum_{j=0}^{k-1} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^j}{j!} \]

Onde:

\(\lambda\) — o número médio (valor esperado) de eventos por intervalo; deve ser positivo
\(k\) — o número de eventos; um número inteiro maior ou igual a 0
\(e \approx 2.71828\) — o número de Euler
\(k!\) — o fatorial de \(k\)

A primeira fórmula dá a probabilidade de observar exatamente \(k\) eventos; as duas somas dão as probabilidades acumuladas \(P(X \le k)\) e \(P(X \ge k)\).

Distribuição de Poisson – Exemplo de Cálculo

Exemplo: um call center recebe em média \(\lambda = 3\) chamadas por hora. Qual é a probabilidade de receber exatamente \(k = 5\) chamadas na próxima hora?

\[ P(X = 5) = \frac{e^{-3} \cdot 3^5}{5!} = \frac{0.0497871 \cdot 243}{120} = \frac{12.0981}{120} \approx 0.100819 \]

Resultado: \(P(X = 5) \approx 0.1008\), ou cerca de 10,08%. Com \(\lambda = 3\), a média e a variância são ambas iguais a 3 e o desvio padrão é \(\sqrt{3} \approx 1.732\).

Como usar a calculadora

Selecione o Tipo de probabilidade: exatamente k eventos, um intervalo entre duas contagens, no máximo k eventos ou no mínimo k eventos.
Digite a Taxa média (λ) — o número médio de eventos por intervalo (por hora, por página, por lote etc.). Deve ser maior que 0.
Digite o Número de eventos (k) — um número inteiro maior ou igual a 0. No modo de intervalo, esse valor funciona como o limite inferior k₁.
Se você escolheu o modo de intervalo, preencha também a Contagem superior de eventos (k₂), que deve ser maior ou igual a k.
Leia a Probabilidade solicitada no topo dos resultados e, em seguida, verifique \(P(X = k)\), a acumulada \(P(X \le k)\), a média e a variância logo abaixo.

O que é a distribuição de Poisson?

A distribuição de Poisson modela o número de vezes que um evento aleatório ocorre dentro de um intervalo fixo de tempo, espaço ou volume, quando os eventos acontecem de forma independente, a uma taxa média constante. Ela recebe o nome do matemático francês Siméon Denis Poisson e é uma das distribuições de probabilidade discretas mais utilizadas na estatística.

Um único parâmetro, \(\lambda\), descreve completamente a distribuição: ele é ao mesmo tempo a média e a variância, ou seja, \(\mu = \sigma^2 = \lambda\). Aplicações clássicas incluem o número de chegadas de clientes por hora, erros de digitação por página, decaimentos radioativos por segundo, visitas a um site por minuto ou sinistros de seguro por mês. Se você conhece a contagem média histórica para o intervalo, a fórmula de Poisson permite estimar a probabilidade de qualquer resultado específico.

O resultado mais provável fica próximo do próprio \(\lambda\), e as probabilidades diminuem gradualmente para os dois lados. Por exemplo, com \(\lambda = 3\), obter 2, 3 ou 4 eventos é bastante provável, enquanto 0 ou 8 eventos é incomum, mas não impossível. A tabela de probabilidades vizinhas da calculadora mostra essa dispersão em torno do k escolhido, o que ajuda a julgar se uma contagem observada é típica ou incomum. Respostas acumuladas (no máximo / no mínimo) costumam ser mais úteis do que probabilidades exatas: elas indicam a chance de ultrapassar um limiar, como “mais de 10 chegadas” ou “no máximo 1 defeito”.

Premissas, limitações e dicas

Independência: um evento não deve influenciar a probabilidade de outro. Chegadas disparadas pela mesma causa (por exemplo, uma postagem viral aumentando as visitas) violam essa premissa.
Taxa constante: \(\lambda\) deve permanecer o mesmo ao longo do intervalo. Se a taxa varia por hora ou por estação do ano, calcule cada período separadamente ou use outro modelo.
Apenas dados de contagem: k conta eventos inteiros em um intervalo fixo. A distribuição de Poisson não descreve grandezas contínuas como durações ou distâncias.
Escala de λ: se você dobrar o intervalo, dobre \(\lambda\). Uma taxa de 3 chamadas por hora torna-se \(\lambda = 6\) para uma janela de duas horas, ou \(\lambda = 0.05\) por minuto.
λ grande: à medida que \(\lambda\) cresce (acima de aproximadamente 20), a distribuição de Poisson torna-se quase simétrica e aproxima-se muito de uma distribuição normal com média \(\lambda\) e variância \(\lambda\).
Complementares: lembre-se de que \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). A resposta “no mínimo” já leva isso em conta, portanto \(P(X \ge 0)\) é sempre 100%.

Perguntas frequentes

Como calcular uma probabilidade de Poisson manualmente, sem calculadora?

Calcule \(P(X = k) = e^{-\lambda}\lambda^k / k!\) passo a passo: encontre \(e^{-\lambda}\), eleve \(\lambda\) à potência \(k\), multiplique-os e divida por \(k!\). Por exemplo, com \(\lambda = 2\) e \(k = 3\): \(e^{-2} \approx 0.1353\), \(2^3 = 8\), \(3! = 6\), logo \(P(X = 3) = 0.1353 \times 8 / 6 \approx 0.1804\). Para probabilidades acumuladas, some os termos individuais de 0 até \(k\).

Quando devo usar a distribuição de Poisson em vez da distribuição binomial?

Use Poisson quando você conta eventos em um intervalo contínuo (tempo, área, volume) e conhece apenas a taxa média. Use a binomial quando você tem um número fixo de provas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso. A Poisson é, na verdade, o limite da binomial quando o número de provas é muito grande e a probabilidade de sucesso é muito pequena — uma regra prática comum é que a Poisson funciona bem como aproximação quando \(n \ge 50\) e \(p \le 0.1\).

λ pode ser um número decimal ou fracionário?

Sim, \(\lambda\) pode ser qualquer número positivo, incluindo decimais — apenas \(k\) precisa ser um número inteiro. Por exemplo, se um erro raro ocorre em média 0,7 vezes por relatório, \(\lambda = 0.7\) é perfeitamente válido. Um \(\lambda\) fracionário simplesmente significa que os eventos são incomuns no intervalo escolhido. As únicas restrições são \(\lambda > 0\) e que \(k\) seja um inteiro maior ou igual a 0.

Qual é a probabilidade de zero eventos, P(X = 0)?

Como \(0! = 1\) e \(\lambda^0 = 1\), a fórmula simplifica-se para \(P(X = 0) = e^{-\lambda}\). Com \(\lambda = 3\), isso dá \(e^{-3} \approx 0.0498\), ou cerca de 5% de chance de nenhum evento. Esse valor é útil em trabalhos de confiabilidade — por exemplo, para estimar a chance de não ocorrer nenhuma falha de máquina durante um turno.

Como estimar λ a partir de dados históricos?

Divida o número total de eventos observados pelo número de intervalos. Se uma loja atendeu 150 clientes em 30 períodos de uma hora, então \(\lambda = 150 / 30 = 5\) clientes por hora. Quanto maior a janela de observação, mais estável se torna essa estimativa. Lembre-se de que um \(\lambda\) estimado a partir de dados limitados carrega incerteza, portanto, trate as probabilidades resultantes como aproximações, e não como valores exatos.

Por que meu cálculo manual dá 0 ou um número errado gigantesco para k grande?

Para \(k\) grande, tanto \(\lambda^k\) quanto \(k!\) se tornam astronomicamente grandes e podem estourar a capacidade de uma calculadora ou planilha, embora sua razão seja pequena. A solução é trabalhar com logaritmos: \(\ln P = -\lambda + k\ln\lambda - \ln(k!)\), e depois exponenciar no final. Outro erro comum é digitar \(k\) como não inteiro ou esquecer que \(e^{-\lambda}\) deve ser multiplicado, e não somado.

Qual é o número mais provável de eventos (a moda)?

O resultado mais provável é \(k = \lfloor\lambda\rfloor\) — o maior número inteiro que não excede \(\lambda\). Se \(\lambda\) for ele próprio um número inteiro, então tanto \(k = \lambda\) quanto \(k = \lambda - 1\) são igualmente prováveis. Por exemplo, com \(\lambda = 4\), tanto 3 quanto 4 eventos têm a maior probabilidade; com \(\lambda = 4.5\), a contagem isolada mais provável é 4.