Calculadora de la prueba de Friedman
Introduce una línea por sujeto con un valor para cada condición y esta calculadora de la prueba de Friedman devuelve el estadístico chi-cuadrado corregido por empates, los grados de libertad, el valor p, la W de Kendall y una decisión en el nivel de significación que elijas.
Compara tres o más condiciones relacionadas a partir de sus rangos
Prueba de Friedman
Donde:
- \(n\) — número de sujetos (bloques)
- \(k\) — número de condiciones relacionadas (\(k \ge 3\))
- \(R_j\) — suma de rangos de la condición \(j\); los valores de cada sujeto se ordenan de 1 (el menor) a \(k\), y los valores empatados reciben el rango promedio
- \(t\) — tamaño de cada grupo de valores empatados dentro de un sujeto
- \(W\) — coeficiente de concordancia de Kendall, el tamaño del efecto
El estadístico compara las sumas de rangos observadas con el valor esperado cuando todas las condiciones son iguales, \(nk(k+1)/4\cdot 2\); desviaciones grandes producen valores grandes de \(\chi^2\). La corrección por empates infla el estadístico cuando hay empates, y el valor p se obtiene de la distribución \(\chi^2\) con \(k-1\) grados de libertad.
Prueba de Friedman – Ejemplo de cálculo
Ejemplo: ocho sujetos puntúan tres productos en una escala (los datos que aparecen por defecto en la calculadora). Dentro de cada sujeto, las tres puntuaciones se ordenan de 1 a 3; las sumas de rangos resultan \(R_1 = 21.5\), \(R_2 = 14.5\), \(R_3 = 12\).
\[ \chi_F^2 = \frac{12}{8 \cdot 3 \cdot 4}\left(21.5^2 + 14.5^2 + 12^2\right) - 3 \cdot 8 \cdot 4 = 6.0625 \]
Un sujeto dio dos puntuaciones iguales, de modo que un grupo de empate de tamaño \(t=2\) aporta \(t^3 - t = 6\) a la corrección:
\[ C = 1 - \frac{6}{8(27 - 4 + -3)} = 1 - \frac{6}{192} = 0.96875, \qquad \chi^2 = \frac{6.0625}{0.96875} = 6.2581 \]
Con \(df = k - 1 = 2\), la aproximación \(\chi^2\) da \(p = 0.0438\), y la \(W\) de Kendall es \(W = 6.2581 / (8 \cdot 2) = 0.3911\).
Resultado: \(\chi^2 = 6.2581\), \(df = 2\), \(p = 0.0438\). Con \(\alpha = 0.05\) se rechaza \(H_0\): los tres productos difieren significativamente en localización, con una concordancia moderada entre los sujetos (\(W \approx 0.39\)).
Cómo usar la calculadora
- Pega o escribe tus datos en Mediciones (un sujeto por línea). Cada línea debe contener los valores de un sujeto, uno por condición, separados por espacios o punto y coma; por ejemplo,
7 6 5o7; 6; 5. Todas las líneas deben tener el mismo número de valores, como mínimo tres. - Si tus números usan coma decimal (p. ej.,
7,5), puedes escribirlos tal cual: la calculadora los convierte automáticamente. - Elige un Nivel de significación (0,10, 0,05, 0,025, 0,01 o 0,001): es el umbral \(\alpha\) que se usa para decidir si se rechaza o no la hipótesis nula.
- Lee los resultados: el estadístico de Friedman corregido por empates \(\chi^2\), los grados de libertad, el valor p, la \(W\) de Kendall, la decisión al nivel \(\alpha\), una tabla de sumas de rangos por condición y una breve explicación escrita.
Qué es la prueba de Friedman
La prueba de Friedman es una alternativa no paramétrica al ANOVA de medidas repetidas de un factor. Compara tres o más condiciones relacionadas — normalmente los mismos sujetos medidos en cada condición, o un diseño de bloques aleatorizados en el que cada bloque recibe todos los tratamientos — para comprobar si las condiciones difieren en localización (si las puntuaciones tienden a ser sistemáticamente más altas en unas condiciones que en otras).
La prueba trabaja únicamente con rangos. Los valores de cada sujeto se ordenan dentro de ese sujeto, lo que elimina todas las diferencias entre sujetos: un sujeto que puntúa todo alto aporta el mismo patrón de rangos que otro que puntúa todo bajo. Si las condiciones son idénticas, los rangos de cada condición son una permutación aleatoria de \(1, \dots, k\), de modo que la suma de rangos esperada de cada condición es \(n \cdot k(k+1)/2\). El estadístico de Friedman mide cuánto se apartan las sumas de rangos observadas de esa expectativa: si una condición se sitúa sistemáticamente en los rangos más altos, su suma de rangos es grande, la de otra es pequeña y \(\chi^2\) crece.
El valor p se obtiene comparando el estadístico con la distribución \(\chi^2_{k-1}\). Si \(p \le \alpha\), se rechaza la hipótesis nula y se concluye que al menos una condición tiende a ordenarse por encima o por debajo de las demás, aunque no se sabe cuál. La \(W\) de Kendall, \(W = \chi^2 / (n(k-1))\), cuantifica la consistencia de los ordenamientos de los sujetos: 0 significa ausencia de concordancia, 1 que todos los sujetos ordenan las condiciones exactamente igual, y valores en torno a 0,3–0,5 suelen describirse como concordancia moderada.
Un resultado significativo es solo el primer paso. Para saber cuáles condiciones difieren, continúa con comparaciones por pares: la prueba de Nemenyi (una diferencia crítica de \(q_\alpha\sqrt{k(k+1)/(6n)}\) sobre los rangos medios) o pruebas de Wilcoxon de rangos con signo con un nivel de significación ajustado por Bonferroni. Si tus grupos son independientes en lugar de emparejados, la prueba de Friedman no es la herramienta adecuada: usa mejor la prueba de Kruskal–Wallis.
Supuestos y consejos prácticos
- Datos emparejados: cada sujeto (bloque) debe tener un valor en cada condición. Los valores faltantes no se pueden manejar: elimina el sujeto o imputa el valor antes de introducir los datos.
- Sujetos independientes: los sujetos o bloques no deben influirse entre sí, mientras que las mediciones repetidas dentro de un sujeto están, por supuesto, relacionadas: de eso trata precisamente la prueba.
- Escala ordinal o superior: los valores solo tienen que poder ordenarse dentro de cada sujeto, así que las escalas tipo Likert, los rangos y las puntuaciones valen.
- El valor p es una aproximación. La distribución de referencia \(\chi^2\) se vuelve precisa cuando \(nk\) es grande, pero tiende a ser algo liberal (valores p demasiado pequeños) con muestras pequeñas; por ejemplo, con menos de unos 13 sujetos y \(k = 3\). En esos casos, compara el estadístico con los valores críticos exactos de Friedman antes de fiarte de una decisión ajustada.
- Los empates se manejan, pero muchos empates restan potencia. La calculadora aplica la corrección estándar por empates \(C\); si cada sujeto da valores idénticos en todas las condiciones, el estadístico es cero por construcción y no puede detectarse ninguna diferencia.
- Interpreta la W junto con la p. Con muchos sujetos, incluso una diferencia minúscula y prácticamente irrelevante en las sumas de rangos puede resultar estadísticamente significativa; la \(W\) de Kendall te dice si la concordancia que hay detrás del resultado es realmente sustancial. Para otra perspectiva de la concordancia en rangos entre evaluadores, consulta la calculadora de la tau de Kendall y la calculadora de correlación de rangos de Spearman.
La dirección del efecto se lee en la tabla de sumas de rangos: la condición con el rango medio más alto tiende a obtener las puntuaciones más altas, y la de rango medio más bajo, las más bajas. Comparar el rango medio de cada condición con el valor esperado bajo la hipótesis nula, \(k(k+1)/2\), muestra qué condiciones arrastran el resultado.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la prueba de Friedman a mano?
Ordena los valores de cada sujeto dentro de ese sujeto de 1 (el menor) a \(k\) (promediando los rangos de los empates), suma los rangos de cada condición para obtener \(R_j\) y calcula \(\chi_F^2 = \frac{12}{nk(k+1)}\sum R_j^2 - 3n(k+1)\). Si hay empates, divide por la corrección \(C = 1 - \sum(t^3-t)/(n(k^3-k))\). Compara el resultado con la distribución \(\chi^2\) usando \(df = k-1\) para obtener el valor p.
¿Qué es un buen valor para la W de Kendall?
La W de Kendall va de 0 (los sujetos no muestran un ordenamiento consistente de las condiciones) a 1 (todos los sujetos ordenan las condiciones igual). Como regla general, se suele hablar de valores en torno a 0,1 como concordancia débil, de 0,3–0,5 como moderada y de valores por encima de 0,7 como fuerte. Una prueba de Friedman estadísticamente significativa con una W pequeña indica que la diferencia es real, pero que los sujetos discrepan bastante en el ordenamiento, así que valora su importancia práctica con cautela.
¿Cuándo debo usar la prueba de Friedman en lugar del ANOVA o de Kruskal–Wallis?
Usa la prueba de Friedman cuando los mismos sujetos (o bloques emparejados) se miden en tres o más condiciones y tus datos son ordinales o no siguen una distribución normal. Usa un ANOVA de medidas repetidas cuando los datos cumplan los supuestos paramétricos y necesites modelar interacciones. Usa la prueba de Kruskal–Wallis cuando los grupos estén formados por sujetos distintos e independientes: eso es un diseño intersujetos, y la prueba de Friedman no sería válida.
¿Puedo aplicar la prueba de Friedman con solo dos condiciones?
No: la prueba exige al menos tres condiciones. Con dos condiciones relacionadas, la prueba no paramétrica adecuada es la de Wilcoxon de rangos con signo, a la que la prueba de Friedman se reduce cuando \(k = 2\). La calculadora rechazará entradas con menos de tres valores por línea. Además, con dos condiciones la aproximación chi-cuadrado tampoco es fiable, así que el enfoque de los rangos con signo da un mejor valor p.
¿Es exacto el valor p de esta calculadora?
No, es una aproximación asintótica basada en la distribución \(\chi^2\) con \(k-1\) grados de libertad. Se vuelve precisa a medida que aumenta el número de sujetos, pero con muestras pequeñas — por ejemplo, con menos de 13 sujetos, aproximadamente, y tres condiciones — tiende a dar valores p ligeramente más pequeños de lo debido. Si tu decisión es ajustada y la muestra es pequeña, consulta tablas de valores críticos exactos de Friedman o usa un software estadístico que ofrezca una versión exacta o por permutaciones.
¿Cómo debo comunicar los resultados de la prueba de Friedman?
Un informe típico en estilo APA incluye el estadístico, los grados de libertad, el valor p y el tamaño del efecto; por ejemplo: \(\chi^2(2) = 6.26, p = .044, W = .39\). Indica si se rechazó la hipótesis nula al nivel de significación elegido y ten en cuenta que la prueba solo demuestra que las condiciones difieren: continúa con comparaciones de Nemenyi o de Wilcoxon corregidas por Bonferroni para identificar qué condiciones concretas difieren, y comunica también esos resultados.
¿Qué ocurre si algunos sujetos tienen valores faltantes o empates?
Los empates se manejan automáticamente: los valores empatados reciben rangos promedio y el estadístico se corrige con el factor \(C\), lo que aumenta ligeramente \(\chi^2\). Los valores faltantes, en cambio, no se pueden manejar: la prueba necesita una matriz completa con todos los sujetos en todas las condiciones. Elimina cualquier sujeto con una medición faltante o imputa el valor de antemano, y menciona qué enfoque utilizaste al comunicar los resultados.