Калькулятор критерію Фрідмана
Введіть по одному рядку на кожного досліджуваного зі значенням для кожної умови — і цей калькулятор критерію Фрідмана поверне статистику хі-квадрат із поправкою на зв’язки, число ступенів вільності, p-значення, W Кендалла та рішення на обраному вами рівні значущості.
Порівняння трьох і більше пов’язаних умов за їхніми рангами
Критерій Фрідмана
Де:
- \(n\) — кількість досліджуваних (блоків);
- \(k\) — кількість пов’язаних умов (\(k \ge 3\));
- \(R_j\) — сума рангів умови \(j\); значення кожного досліджуваного ранжуються від 1 (найменше) до \(k\), а однаковим значенням присвоюється середній ранг;
- \(t\) — розмір кожної групи однакових (зв’язаних) значень в одного досліджуваного;
- \(W\) — коефіцієнт конкордації Кендалла, розмір ефекту.
Статистика порівнює спостережувані суми рангів зі значенням, очікуваним, коли всі умови рівні, \(nk(k+1)/4\cdot 2\); великі відхилення дають велику \(\chi^2\). Поправка на зв’язки за їхньої наявності збільшує статистику, а p-значення отримують із розподілу \(\chi^2\) з \(k-1\) ступенями вільності.
Критерій Фрідмана — приклад обчислення
Приклад: вісім досліджуваних оцінюють три продукти за шкалою (типові дані, задані в калькуляторі). У межах кожного досліджуваного три оцінки ранжуються від 1 до 3; суми рангів становлять \(R_1 = 21.5\), \(R_2 = 14.5\), \(R_3 = 12\).
\[ \chi_F^2 = \frac{12}{8 \cdot 3 \cdot 4}\left(21.5^2 + 14.5^2 + 12^2\right) - 3 \cdot 8 \cdot 4 = 6.0625 \]
Один досліджуваний поставив дві однакові оцінки, тож одна група зв’язаних значень розміру \(t=2\) додає \(t^3 - t = 6\) до поправки:
\[ C = 1 - \frac{6}{8(27 - 4 + -3)} = 1 - \frac{6}{192} = 0.96875, \qquad \chi^2 = \frac{6.0625}{0.96875} = 6.2581 \]
За \(df = k - 1 = 2\) апроксимація \(\chi^2\) дає \(p = 0.0438\), а W Кендалла становить \(W = 6.2581 / (8 \cdot 2) = 0.3911\).
Результат: \(\chi^2 = 6.2581\), \(df = 2\), \(p = 0.0438\). За \(\alpha = 0.05\) відхиляємо \(H_0\): три продукти значуще відрізняються за розташуванням, узгодженість між досліджуваними помірна (\(W \approx 0.39\)).
Як користуватися калькулятором
- Вставте або введіть дані в поле Вимірювання (один досліджуваний на рядок). Кожен рядок має містити значення одного досліджуваного — по одному на кожну умову, розділені пробілами або крапками з комою — наприклад,
7 6 5або7; 6; 5. У кожному рядку має бути однакова кількість значень, щонайменше три. - Якщо ваші числа записані з десятковою комою (наприклад,
7,5), вводьте їх як є; калькулятор конвертує їх автоматично. - Оберіть Рівень значущості (0,10, 0,05, 0,025, 0,01 або 0,001) — це поріг \(\alpha\), за яким ухвалюється рішення відхилити гіпотезу чи не відхиляти її.
- Зчитайте результати: статистику Фрідмана з поправкою на зв’язки \(\chi^2\), ступені вільності, p-значення, W Кендалла, рішення на рівні \(\alpha\), таблицю сум рангів за кожною умовою та коротке текстове пояснення.
Що таке критерій Фрідмана
Критерій Фрідмана — непараметрична альтернатива однофакторному дисперсійному аналізу з повторними вимірюваннями. Він порівнює три або більше пов’язаних умов — зазвичай одні й ті самі досліджувані, виміряні за кожної умови, або план з рандомізованими блоками, де кожен блок отримує всі варіанти впливу — щоб перевірити, чи відрізняються умови за розташуванням (чи є оцінки за одних умов систематично вищими, ніж за інших).
Критерій працює виключно з рангами. Значення кожного досліджуваного ранжуються в його межах, що усуває всі відмінності між досліджуваними: той, хто оцінює все високо, дає такий самий шаблон рангів, як і той, хто оцінює все низько. Якщо умови однакові, ранги кожної умови є випадковою перестановкою \(1, \dots, k\), тож очікувана сума рангів кожної умови дорівнює \(n \cdot k(k+1)/2\). Статистика Фрідмана вимірює, наскільки спостережувані суми рангів відхиляються від цього очікування: якщо одну умову послідовно рангують найвищою, її сума рангів велика, а якоїсь іншої — мала, і \(\chi^2\) зростає.
p-значення отримують, порівнюючи статистику з розподілом \(\chi^2_{k-1}\). Якщо \(p \le \alpha\), нульову гіпотезу відхиляють і роблять висновок, що принаймні одну умову рангують вище або нижче за інші — але не кажуть, яку саме. W Кендалла \(W = \chi^2 / (n(k-1))\) кількісно описує, наскільки узгоджені упорядкування досліджуваних: 0 означає повну відсутність узгодженості, 1 — що всі досліджувані рангують умови в точно такому самому порядку, а значення близько 0,3–0,5 зазвичай трактують як помірну узгодженість.
Значущий результат — лише перший крок. Щоб з’ясувати, які саме умови відрізняються, виконайте парні порівняння: критерій Неменьї (критична різниця \(q_\alpha\sqrt{k(k+1)/(6n)}\) для середніх рангів) або знаково-рангові критерії Вілкоксона з рівнем значущості, скоригованим за Бонферроні. Якщо ваші групи незалежні, а не пов’язані, критерій Фрідмана тут не підходить — використайте критерій Краскела–Волліса.
Припущення та практичні поради
- Пов’язані дані: у кожного досліджуваного (блоку) має бути значення за кожної умови. Пропущені значення не підтримуються — або вилучіть такого досліджуваного, або відновіть значення до введення даних.
- Незалежні досліджувані: досліджувані/блоки не повинні впливати один на одного, тоді як повторні вимірювання в межах одного досліджуваного, звісно, пов’язані — у цьому й полягає суть критерію.
- Порядкова шкала або вища: значення мають лише піддаватися ранжуванню в межах кожного досліджуваного, тож підходять оцінки за шкалою Лайкерта, ранги та бали.
- p-значення — це апроксимація. Опорний розподіл \(\chi^2\) стає точним за більших \(nk\), але для малих вибірок має тенденцію бути дещо «ліберальним» (p-значення надто малі) — наприклад, коли досліджуваних менше ніж близько 13 за \(k = 3\). У таких випадках, перш ніж довіряти межовому рішенню, звірте статистику з точними критичними значеннями Фрідмана.
- Зв’язки обробляються, але їх надлишок знижує потужність. Калькулятор застосовує стандартну поправку на зв’язки \(C\); якщо кожен досліджуваний дає однакові значення за всіх умов, статистика за побудовою дорівнює нулю, і жодної різниці виявити не можна.
- Трактуйте W разом із p. За великої кількості досліджуваних статистично значущою може бути навіть крихітна, практично несуттєва різниця в сумах рангів; W Кендалла показує, чи узгодженість, що стоїть за результатом, насправді є суттєвою. Ще один погляд на рангову узгодженість між оцінювачами дають калькулятор τ Кендалла і калькулятор рангової кореляції Спірмена.
Напрямок ефекту читають у таблиці сум рангів: умова з найбільшим середнім рангом зазвичай отримує найвищі оцінки, а з найменшим — найнижчі. Порівняння середнього рангу кожної умови з очікуваним за нульовою гіпотезою значенням \(k(k+1)/2\) показує, які умови визначають результат.
Часті запитання
Як обчислити критерій Фрідмана вручну?
Ранжуйте значення кожного досліджуваного в його межах від 1 (найменше) до \(k\) (для зв’язків — середні ранги), підсумуйте ранги за кожною умовою, отримавши \(R_j\), потім обчисліть \(\chi_F^2 = \frac{12}{nk(k+1)}\sum R_j^2 - 3n(k+1)\). За наявності зв’язків поділіть результат на поправку \(C = 1 - \sum(t^3-t)/(n(k^3-k))\). Порівняйте його з розподілом \(\chi^2\) за \(df = k-1\), щоб отримати p-значення.
Яке значення W Кендалла вважати добрим?
W Кендалла змінюється від 0 (досліджувані не виявляють узгодженого упорядкування умов) до 1 (усі досліджувані рангують умови однаково). За поширеними орієнтирами близько 0,1 — слабка узгодженість, 0,3–0,5 — помірна, понад 0,7 — сильна. Статистично значущий критерій Фрідмана з малим W означає, що різниця реальна, але досліджувані помітно розходяться в упорядкуванні, тож до практичної значущості результату ставтеся обережно.
Коли застосовувати критерій Фрідмана замість дисперсійного аналізу чи критерію Краскела–Волліса?
Використовуйте критерій Фрідмана, коли одних і тих самих досліджуваних (або пов’язані блоки) вимірюють за трьома й більше умов, а дані є порядковими або не розподілені нормально. Дисперсійний аналіз з повторними вимірюваннями застосуйте, коли дані відповідають параметричним припущенням і потрібно моделювати взаємодії. Критерій Краскела–Волліса підходить, коли групи складаються з різних, незалежних досліджуваних — це міжгруповий план, і критерій Фрідмана для нього непридатний.
Чи можна застосувати критерій Фрідмана лише з двома умовами?
Ні — критерій потребує щонайменше трьох умов. Для двох пов’язаних умов відповідним непараметричним критерієм є знаково-ранговий критерій Вілкоксона, до якого критерій Фрідмана зводиться при \(k = 2\). Калькулятор не прийме дані з менш ніж трьома значеннями в рядку. До того ж за двох умов апроксимація хі-квадрат ненадійна, тож знаково-ранговий підхід дає краще p-значення.
Чи точне p-значення з цього калькулятора?
Ні, це асимптотична апроксимація на основі розподілу \(\chi^2\) з \(k-1\) ступенями вільності. Зі зростанням кількості досліджуваних вона стає точнішою, але для малих вибірок — наприклад, коли досліджуваних менше ніж близько 13 за трьох умов — має тенденцію давати дещо занижені p-значення. Якщо за малої вибірки рішення є межовим, звіртеся з таблицями точних критичних значень Фрідмана або скористайтеся статистичним програмним забезпеченням, що пропонує точний або перестановний варіант критерію.
Як звітувати результати критерію Фрідмана?
Типовий звіт у стилі APA містить статистику, ступені вільності, p-значення та розмір ефекту, наприклад: \(\chi^2(2) = 6.26, p = .044, W = .39\). Зазначте, чи відхилено нульову гіпотезу на обраному рівні значущості, і наголосіть, що критерій показує лише наявність різниці між умовами — щоб визначити, які саме умови відрізняються, виконайте парні порівняння Неменьї або Вілкоксона з поправкою Бонферроні та звітуйте і їхні результати.
Що буде, якщо в деяких досліджуваних є пропущені значення або зв’язки?
Зв’язки обробляються автоматично: однаковим значенням присвоюється середній ранг, а статистика коригується множником \(C\), який трохи збільшує \(\chi^2\). Пропущені значення натомість обробити не можна — критерій потребує повної матриці, де кожен досліджуваний має значення за кожної умови. Або вилучіть досліджуваного з пропущеним вимірюванням, або заздалегідь відновіть значення, і в звіті згадайте, який підхід ви обрали.