Comprobador de números primos
Introduce cualquier número entero hasta un billón y averigua al instante si es primo o compuesto. La calculadora también muestra el menor factor primo y la factorización prima completa, con su explicación.
¿Es primo este número?
Fórmula del comprobador de números primos
Donde:
- \(n\) — el número entero que se comprueba
- \(d\) — un divisor candidato
- \(\sqrt{n}\) — la raíz cuadrada de \(n\), redondeada hacia abajo, al entero inferior
La fórmula expresa el método de división de prueba: basta con buscar divisores hasta \(\sqrt{n}\), porque si \(n = a \times b\) con ambos factores mayores que 1, al menos uno de ellos no puede superar \(\sqrt{n}\). Por eso la calculadora solo prueba candidatos hasta la raíz cuadrada, saltándose los múltiplos de 2 y de 3 (comprueba 2, 3 y después los números de la forma \(6k \pm 1\)).
Comprobador de números primos: ejemplo de cálculo
Ejemplo: ¿es 91 un número primo? Probamos los divisores candidatos hasta \(\sqrt{91} \approx 9.54\), así que solo hay que comprobar 2, 3, 5 y 7.
\[ 91 \div 2 = 45.5 \quad (\text{no es divisor}) \]
\[ 91 \div 3 = 30.\overline{3} \quad (\text{no es divisor}) \]
\[ 91 \div 5 = 18.2 \quad (\text{no es divisor}) \]
\[ 91 \div 7 = 13 \quad (\text{división exacta: ¡7 es divisor!}) \]
Resultado: 91 es un número compuesto. Su menor factor primo es 7, ya que \(91 = 7 \times 13\), y la factorización prima completa es \(91 = 7 \times 13\).
Cómo usar el comprobador de números primos
- Introduce el número entero que quieres comprobar en el campo Número a comprobar (n). Se acepta cualquier entero de 0 a 1.000.000.000.000 (1012).
- Consulta la línea Resultado: primo o compuesto para ver el veredicto. Los números menores que 2 se indican como ni primos ni compuestos.
- Si el número es compuesto, revisa Un factor primo (se muestra si es compuesto): se trata del menor primo que divide tu número, junto con su cofactor.
- Lee la sección Factorización prima completa y explicación, que descompone el número en factores primos y explica cómo se ha verificado la respuesta.
¿Qué es un número primo?
Un número primo es un número entero mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. Todos los demás enteros mayores que 1 son compuestos, es decir, se pueden escribir como producto de dos números enteros menores, ambos mayores que 1.
El número 2 merece una mención especial: es el único primo par, ya que cualquier otro número par es divisible por 2. Los números 0 y 1 no son ni primos ni compuestos: 1 tiene un solo divisor y 0 es divisible por todos los enteros positivos, así que ninguno cumple la definición de «exactamente dos divisores».
Los números primos son los ladrillos básicos de la aritmética. El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero mayor que 1 se descompone en primos de una única manera (sin contar el orden de los factores). Por eso la calculadora muestra la factorización prima completa siempre que el número sea compuesto: te dice exactamente qué bloques primos componen tu número y cuántas veces aparece cada uno.
Interpretar el resultado es sencillo. Si el veredicto es primo, el número no se puede descomponer más. Si es compuesto, el menor factor primo que se muestra es la forma más fácil de demostrarlo: al dividir tu número por ese factor se obtiene un número entero, lo que descarta de inmediato la primalidad.
Supuestos, limitaciones y consejos
- Rango: la calculadora acepta enteros de 0 a 1012. Los números mayores requieren métodos más avanzados.
- Método: usa la división de prueba con la optimización \(6k \pm 1\), que es rápida y da una respuesta matemáticamente segura para los números del rango admitido. Para números astronómicamente grandes se recurre en cambio a pruebas probabilísticas como el pequeño teorema de Fermat, porque la división de prueba, aunque exacta, se vuelve demasiado lenta.
- Decimales y negativos: la primalidad solo está definida para números enteros mayores que 1, así que las entradas decimales, los números negativos y el 0 o el 1 devuelven una explicación en lugar de un veredicto.
- Comprobaciones mentales rápidas: antes de usar la calculadora, muchas veces puedes descartar la primalidad de cabeza: un número que termina en 0, 2, 4, 5, 6 u 8 es divisible por 2 o por 5, y un número cuya suma de dígitos es múltiplo de 3 es divisible por 3 (en el caso de 91: 9 + 1 = 10... comprobación: 10 no es divisible por 3, así que este atajo no sirve aquí). La prueba de la suma de dígitos se relaciona con la raíz digital.
- Por qué importa la factorización: las factorizaciones primas son la base de muchas herramientas de teoría de números, desde la inversa multiplicativa módulo n usada en criptografía hasta la resolución de sistemas de congruencias con el teorema chino del resto.
Preguntas frecuentes
¿Cómo puedo comprobar a mano si un número es primo?
Prueba si algún número entero entre 2 y \(\sqrt{n}\) divide exactamente a tu número. Si ninguno lo hace, el número es primo. Para 137, \(\sqrt{137} \approx 11.7\), así que solo hay que comprobar 2, 3, 5, 7 y 11: ninguno lo divide, por lo que 137 es primo. Ahorra tiempo saltándote los candidatos pares después de comprobar el 2, y recuerda que nunca hace falta probar más allá de la raíz cuadrada.
¿Por qué 1 no es un número primo?
Un primo debe tener exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. El número 1 tiene un solo divisor, así que no cumple la definición. Esta convención mantiene además la validez del teorema fundamental de la aritmética: si 1 contara como primo, todo número mayor que 1 tendría infinitas factorizaciones, como \(6 = 2 \times 3 = 2 \times 3 \times 1\). Por eso 1 no es ni primo ni compuesto.
¿Cuáles son los trucos de divisibilidad más rápidos antes de hacer la prueba?
Mira la última cifra: los números que terminan en 0, 2, 4, 5, 6 u 8 son divisibles por 2 o por 5. Suma los dígitos: si la suma es divisible por 3, el número también lo es (para 87: \(8 + 7 = 15\), divisible por 3, así que 87 es compuesto). Para el 11, suma y resta los dígitos de forma alterna; si el resultado es divisible por 11, el número también lo es. Estas reglas eliminan al instante la mayoría de los compuestos.
¿Qué diferencia hay entre números primos y números coprimos?
La primalidad es una propiedad de un solo número: tiene exactamente dos divisores. Ser coprimo (o primo entre sí) es una propiedad de una pareja: dos números son coprimos cuando su máximo común divisor es 1. Por ejemplo, 8 y 15 son ambos compuestos y, sin embargo, son coprimos porque \(\gcd(8, 15) = 1\). Fíjate en que 2 y 3 son coprimos, pero también lo son 4 y 9: ninguno de los dos tiene que ser primo.
¿Qué números suelen parecer primos pero no lo son?
Entre los «pseudoprimos» más famosos están 91 (\(= 7 \times 13\)), 57 (\(= 3 \times 19\)), 51 (\(= 3 \times 17\)), 87 (\(= 3 \times 29\)) y 119 (\(= 7 \times 17\)). Se le escapan a la gente porque no son divisibles por 2, por 5 ni por un cuadrado evidente. Al comprobar a mano, prueba siempre con cuidado el 3 (suma de dígitos), el 7 y el 11: con ellos se atrapan la mayoría de los casos difíciles por debajo de 150.
¿Cómo obtengo paso a paso la factorización prima de un número?
Ve dividiendo repetidamente por el menor primo que quepa. Para 360: divide entre 2 y obtienes 180; entre 2, 90; entre 2, 45; 45 ya no es par, así que divide entre 3 y obtienes 15, y entre 3, 5. Con esto queda \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Continúa hasta que el cociente sea él mismo primo. Cada paso de división está garantizado por el teorema fundamental de la aritmética: siempre funcionará con algún primo.
¿Hay infinitos números primos?
Sí: Euclides lo demostró hacia el año 300 a. C. Si existiera un primo mayor que todos los demás, bastaría multiplicar todos los primos conocidos y sumar 1; el resultado no es divisible por ninguno de ellos, así que debe tener un factor primo nuevo. Hay 78.498 primos por debajo de un millón y unos \(\pi(10^{12}) \approx 37.6\) mil millones por debajo de un billón. Las distancias entre primos crecen por término medio, pero se siguen descubriendo primos récord: los más recientes superan los 24 millones de dígitos.