Calculateur de PGCD – Plus grand commun diviseur
Trouvez le plus grand commun diviseur de 2 à 10 entiers, ainsi que leur plus petit commun multiple, leurs décompositions en facteurs premiers et les étapes de la division euclidienne. Saisissez des nombres séparés par des virgules ou des espaces.
Calculer le PGCD de 2 à 10 entiers
Formule du PGCD
Où :
- \(n_1,\ldots,n_k\) — les entiers saisis.
- \(p\) — un nombre premier divisant au moins l'un des entiers.
- \(v_p(|n_i|)\) — l'exposant de \(p\) dans la décomposition en facteurs premiers de \(|n_i|\) ; il vaut 0 si \(p\) ne divise pas \(|n_i|\).
Le PGCD ne contient que les nombres premiers communs à tous les nombres, chacun à sa plus petite puissance. Si aucun nombre premier n'est commun à tous, le produit vaut 1.
PGCD – Exemple de calcul
Exemple : trouvez le PGCD des entiers proposés par défaut par le calculateur, à savoir 48, 180 et 300.
Décomposez chaque nombre en facteurs premiers et conservez la plus petite puissance de chaque facteur commun :
\[48=2^4\times3,\qquad180=2^2\times3^2\times5,\qquad300=2^2\times3\times5^2\]
\[\operatorname{PGCD}(48,180,300)=2^{\min(4,2,2)}\times3^{\min(1,2,1)}=2^2\times3=12\]
Pour le premier couple, la division euclidienne donne \(180=48\times3+36\), \(48=36\times1+12\) et \(36=12\times3+0\). Le PGCD de ce couple vaut 12 ; en calculant ensuite le PGCD de 12 et de 300, on obtient encore 12.
Résultat : PGCD = 12. Le calculateur indique aussi PPCM = 3 600 et « Non » pour les nombres premiers entre eux.
Comment utiliser le calculateur
- Dans le champ Entiers, saisissez 2 à 10 entiers non nuls, séparés par des virgules ou des espaces. Par exemple, saisissez
48, 180, 300ou48 180 300. - Consultez le résultat Plus grand commun diviseur (PGCD) : le plus grand entier positif qui divise chaque nombre sans laisser de reste.
- Vérifiez le Plus petit commun multiple (PPCM), c'est-à-dire le plus petit multiple positif commun à tous les nombres. Les nombres sont-ils premiers entre eux ? affiche « Oui » lorsque leur PGCD global est égal à 1.
- Utilisez les Étapes de division euclidienne pour le premier couple pour voir comment démarre le calcul du PGCD. Les autres résultats présentent la Décomposition en facteurs premiers de chaque nombre ainsi que les Facteurs premiers communs à leur plus petite puissance qui donnent le PGCD final.
Ce qu'est le plus grand commun diviseur
Le plus grand commun diviseur (PGCD), aussi appelé plus grand facteur commun, est le plus grand entier positif qui divise exactement tous les entiers donnés. Pour 48, 180 et 300, ce nombre est 12 : chacun est divisible par 12, et aucun entier positif plus grand ne divise les trois. Le PGCD est utile pour simplifier des fractions, répartir des quantités en groupes égaux sans reste ou dégager une unité de mesure commune.
La décomposition en facteurs premiers rend visible le cheminement du résultat. Un nombre premier n'entre dans le PGCD que s'il figure dans chaque nombre saisi, et son exposant doit être le plus petit rencontré parmi eux. Dans l'exemple, les trois nombres contiennent 2 et 3, tandis que 5 est absent de 48. Conserver \(2^2\) et \(3^1\) donne 12. Pour examiner plus en détail les facteurs d'un nombre, utilisez le calculateur de décomposition en facteurs premiers ; le testeur de nombres premiers peut aider à vérifier un facteur isolé.
L'algorithme d'Euclide parvient au même résultat sans passer par les facteurs premiers. Divisez la plus grande des deux premières valeurs absolues par la plus petite, puis recommencez avec le diviseur et le reste obtenus. Le dernier reste non nul est le PGCD du couple. Pour plus de deux nombres, prenez le PGCD de ce résultat et du nombre suivant, et ainsi de suite jusqu'au bout de la liste. Le calculateur n'affiche les étapes de division que pour le premier couple ; son PGCD final tient compte de tous les nombres.
Un PGCD global égal à 1 signifie que les nombres sont premiers entre eux en tant que groupe. Cela n'implique pas que chaque couple soit composé de nombres premiers entre eux : 6, 10 et 15 ont un PGCD global de 1, alors que chaque couple partage un facteur. Cette notion intervient aussi lors du calcul d'un inverse multiplicatif modulo un nombre, où les deux entiers doivent avoir un PGCD égal à 1.
Limites de saisie et conseils d'interprétation
- Saisissez au moins 2 et au plus 10 entiers. Zéro, les nombres décimaux et les fractions ne sont pas acceptés. La valeur absolue de chaque nombre doit être inférieure ou égale à 1 000 000 000 000.
- Les signes négatifs sont autorisés. Le calculateur travaille sur les valeurs absolues : changer le signe d'un nombre ne modifie ni le PGCD ni le PPCM. Les deux valeurs affichées sont positives.
- Le nombre 1 ou −1 est accepté et ne possède pas de facteur premier. S'il figure parmi les nombres saisis, le PGCD global est 1.
- Ne confondez pas PGCD et PPCM. Le PGCD divise chaque nombre ; le PPCM est divisible par chaque nombre. Même avec la limite fixée pour chaque nombre, le PPCM de plusieurs nombres peut être bien plus grand que chacun d'eux.
Questions fréquentes
Comment trouver le PGCD à la main sans décomposition en facteurs premiers ?
Pour de petits nombres, listez les diviseurs positifs de chaque nombre et choisissez le plus grand présent dans toutes les listes. Par exemple, les diviseurs communs de 18 et 30 sont 1, 2, 3 et 6 : leur PGCD est donc 6. Lister les diviseurs devient fastidieux pour de grands nombres ; les divisions successives avec reste sont en général plus rapides.
Comment utiliser le PGCD pour simplifier une fraction ?
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Par exemple, le PGCD de 42 et 56 est 14, donc \(42/56=(42\div14)/(56\div14)=3/4\). Le numérateur et le dénominateur obtenus n'ont plus aucun facteur commun supérieur à 1 : la fraction est irréductible. Conservez un éventuel signe négatif avec la fraction plutôt que de le traiter comme un facteur.
Peut-on calculer le PPCM à partir du PGCD ?
Pour deux entiers non nuls, oui : \(\operatorname{PPCM}(a,b)=|ab|/\operatorname{PGCD}(a,b)\). En calculant à la main, effectuez la division avant la multiplication afin de garder des nombres intermédiaires plus petits. N'appliquez pas cette formule au produit de trois nombres ou plus avec leur PGCD global : elle donne généralement un PPCM erroné. Combinez plutôt les nombres deux par deux.
Dans un problème de groupement, le PGCD donne-t-il le nombre de groupes ou la taille de chaque groupe ?
Cela dépend de ce qui doit être identique. Si 24 perles rouges et 36 perles bleues doivent être réparties en un maximum de groupes identiques, le PGCD, 12, est le nombre de groupes. Chaque groupe compte alors 2 perles rouges et 3 perles bleues. Si vous découpez des longueurs en morceaux égaux les plus longs possible, sans chute, le PGCD donne la longueur d'un morceau.
Que se passe-t-il si l'un des nombres est zéro ?
Ce calculateur n'accepte pas zéro, mais la convention mathématique habituelle est \(\operatorname{PGCD}(0,a)=|a|\) lorsque \(a\neq0\) : tout diviseur positif de \(a\) divise aussi zéro. Le PGCD de zéro et zéro n'admet pas de plus grande valeur positive ; on le laisse en général non défini. Ici, ne retirez un zéro que si le problème que vous cherchez à résoudre reste correctement représenté.
Comment trouver un pas de mesure commun pour des valeurs décimales ?
Convertissez d'abord toutes les valeurs dans la même unité et ramenez-les à des entiers. Pour des mesures de 1,2 cm et 0,8 cm relevées au dixième près, multipliez les deux par 10, calculez \(\operatorname{PGCD}(12,8)=4\), puis divisez par 10. Le plus grand pas commun à cette précision est 0,4 cm. La réponse dépend de la précision choisie pour les mesures.
Quand le PGCD est-il égal au plus petit nombre saisi ?
Le PGCD est égal à la plus petite valeur absolue saisie lorsque ce nombre divise exactement tous les autres. Par exemple, le PGCD de 8, 24 et 40 est 8. Répéter un nombre ne change pas le PGCD : celui de 8, 8 et 24 est donc aussi 8. Il ne peut jamais dépasser la plus petite valeur absolue saisie.