Calculateur de loi binomiale

Q: Comment calculer une probabilité binomiale à la main, sans calculateur ?

Utilisez la formule P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k . Calculez d’abord le coefficient binomial, par exemple binom105 = (10!)/(5! · 5!) = 252 . Multipliez ensuite par p^k et (1-p)^n-k . Pour un petit n , vous pouvez aussi énumérer toutes les issues, mais les factorielles augmentent extrêmement vite : le calcul manuel devient peu pratique au-delà d’environ n = 20 .

Q: Quelle est la différence entre « au moins », « au plus » et « exactement » k succès ?

« Exactement » correspond à une seule probabilité : P(X = k) . « Au plus » signifie k succès ou moins : P(X ≤ k) . « Au moins » signifie k succès ou plus : P(X ≥ k) . Une erreur fréquente consiste à confondre « au moins k » et « plus de k » : le premier inclut k , tandis que le second correspond à P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) . Le bloc d’interprétation des résultats présente les deux cas.

Q: Comment convertir une cote ou une chance sur N en probabilité p ?

Le calculateur attend p sous forme de pourcentage. Si vous avez une cote de « a contre b », utilisez p = a/(a+b) , puis multipliez par 100. Une chance sur 6 (comme pour un lancer de dé) signifie p ≈ 16.67% ; pour une chance sur 100, saisissez 1. Les probabilités décimales se convertissent directement : 0,35 équivaut à 35 %.

Q: Que m’indique l’espérance np, et le résultat réel peut-il en être très éloigné ?

L’espérance μ = np est le nombre moyen de succès attendu sur de nombreuses répétitions, pas une prédiction pour une seule expérience. Les résultats individuels se situent généralement à environ μ ± 2σ (dans environ 95 % des cas), où σ = √(np(1-p)) . Par exemple, avec n = 100 et p = 0.5 , on s’attend à environ 50 succès, généralement entre 40 et 60.

Mis à jour : 03.10.2026

Calculez les probabilités binomiales : P(X = k), la probabilité cumulée P(X ≤ k), P(X ≥ k) ou la probabilité d’un intervalle de nombres de succès. Saisissez le nombre d’essais, la probabilité de succès et k pour obtenir également l’espérance, la variance et l’écart-type.

Calculer des probabilités binomiales

Nombre d’essais (n)

Nombre d’essais de Bernoulli indépendants. Nombre entier de 1 à 10 000.

Probabilité de succès (p)

Probabilité de succès lors d’un essai, de 0 % à 100 %.

Nombre de succès étudiés

Nombre de succès (k)

Nombre entier de 0 à n. En mode intervalle, il s’agit de la borne inférieure k₁.

Calculer automatiquementSi activé, le résultat se met à jour automatiquement dès que vous modifiez une valeur.

Vos résultats

P(X = k)pmf

P(X ≤ k)cdf

P(X ≥ k)

P(k₁ ≤ X ≤ k₂)

Espéranceμ

Varianceσ²

Écart-typeσ

Interprétation et détails

Formule de la loi binomiale

Formule

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \\ P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \qquad P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) \\ \mu = np, \qquad \sigma^2 = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

Avec :

\(n\) — nombre d’essais indépendants
\(p\) — probabilité de succès lors d’un essai (entre 0 et 1)
\(k\) — nombre de succès considéré (\(0 \le k \le n\))
\(\binom{n}{k}\) — coefficient binomial, soit le nombre de façons de choisir \(k\) succès parmi \(n\) essais
\(\mu\), \(\sigma^2\), \(\sigma\) — espérance, variance et écart-type de la loi

La première formule donne la fonction de masse : la probabilité d’obtenir exactement \(k\) succès en \(n\) essais. La deuxième donne la fonction de répartition : la probabilité d’obtenir au plus \(k\) succès, calculée en additionnant les probabilités de 0 à \(k\).

Loi binomiale : exemple de calcul

Exemple : on lance 10 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 5 fois pile ? Ici, \(n = 10\), \(p = 0.5\), \(k = 5\).

\[ P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^{10-5} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = 0.246094 \approx 24.61\% \]

\[ P(X \le 5) = \sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}(0.5)^{10} = \frac{638}{1024} = 0.623047 \approx 62.30\% \]

\[ \mu = 10 \cdot 0.5 = 5, \qquad \sigma^2 = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5, \qquad \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811 \]

Résultat : P(X = 5) = 0,246094 (24,61 %), P(X ≤ 5) = 0,623047 (62,30 %), P(X ≥ 5) = 0,623047 (62,30 %), espérance = 5, variance = 2,5, écart-type ≈ 1,5811.

Comment utiliser le calculateur

Saisissez le Nombre d’essais (n) : un nombre entier de 1 à 10 000.
Saisissez la Probabilité de succès (p) sous forme de pourcentage entre 0 % et 100 % (par exemple, saisissez 50 pour une pièce équilibrée).
Choisissez une option sous Nombre de succès considéré : « Exactement k succès » pour une seule valeur ou « Entre k₁ et k₂ succès » pour un intervalle.
Saisissez le Nombre de succès (k). En mode intervalle, il s’agit de la borne inférieure k₁.
Si vous avez choisi le mode intervalle, saisissez également la Borne supérieure (k₂), qui doit être au moins égale à k₁.
Consultez les résultats : P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) et, en mode intervalle, P(k₁ ≤ X ≤ k₂), ainsi que l’espérance, la variance et l’écart-type. Le bloc d’interprétation indique aussi des probabilités complémentaires, comme P(X < k) et P(X > k).

Qu’est-ce que la loi binomiale ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans un nombre fixe d’essais indépendants, chacun ayant la même probabilité de succès \(p\). Chaque essai a exactement deux issues — succès ou échec — : on parle donc d’épreuve de Bernoulli. Parmi les exemples classiques figurent le nombre de fois où l’on obtient pile lors d’une série de lancers de pièce, le nombre d’articles défectueux dans un échantillon ou le nombre de patients qui répondent à un traitement.

L’espérance de la loi est \(\mu = np\) : en moyenne, on s’attend à \(n \cdot p\) succès. La dispersion est mesurée par la variance \(\sigma^2 = np(1-p)\) et l’écart-type \(\sigma\). Lorsque \(p = 0.5\), la loi est symétrique autour de \(n/2\) ; lorsque \(p\) est proche de 0 ou de 1, elle devient asymétrique, avec des valeurs concentrées près de 0 ou de \(n\).

Le calculateur distingue les probabilités exactes des probabilités cumulées. La fonction de masse répond à la question « quelle est la probabilité d’obtenir exactement k succès ? », tandis que la fonction de répartition répond à « quelle est la probabilité d’obtenir au plus k succès ? ». Les probabilités cumulées sont souvent plus utiles en pratique : par exemple, si k est un seuil de qualité, P(X ≤ k) donne la probabilité de rester dans la limite, et 1 − P(X ≤ k) donne la probabilité de la dépasser. Notez que P(X ≥ k) inclut k ; si vous cherchez strictement plus de k succès, utilisez P(X > k) = 1 − P(X ≤ k), indiqué dans le bloc d’interprétation.

Conditions d’application, limites et conseils

Nombre fixe d’essais. \(n\) doit être défini à l’avance. Si le nombre d’essais est lui-même aléatoire, un autre modèle (par exemple la loi de Poisson) est plus adapté.
Indépendance. Le résultat d’un essai ne doit pas influencer celui d’un autre. Un échantillonnage sans remise dans une petite population ne respecte pas cette condition ; utilisez plutôt la loi hypergéométrique.
Probabilité de succès constante. \(p\) doit être identique à chaque essai. Si elle varie d’un essai à l’autre, le modèle binomial ne s’applique plus.
Grand n. Le calculateur utilise une méthode logarithmique stable fondée sur la fonction gamma : il traite donc les grandes valeurs de \(n\) (jusqu’à 10 000) sans dépassement de capacité. Les très petites probabilités sont affichées en notation scientifique.
Interprétation des très petites probabilités. Un résultat comme « ≈ 0 % » ne signifie pas que l’issue est impossible : la probabilité peut simplement être inférieure à environ \(10^{-8}\). Vérifiez la valeur décimale affichée à côté du pourcentage.
Règle pratique pour l’approximation. Pour un grand \(n\), lorsque \(np\) et \(n(1-p)\) sont tous deux supérieurs à environ 5, la loi binomiale est bien approchée par une loi normale d’espérance \(np\) et d’écart-type \(\sqrt{np(1-p)}\), ce qui est pratique pour faire des estimations rapides de tête.

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité binomiale à la main, sans calculateur ?

Utilisez la formule \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \). Calculez d’abord le coefficient binomial, par exemple \( \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \). Multipliez ensuite par \( p^k \) et \( (1-p)^{n-k} \). Pour un petit \( n \), vous pouvez aussi énumérer toutes les issues, mais les factorielles augmentent extrêmement vite : le calcul manuel devient peu pratique au-delà d’environ \( n = 20 \).

Quelle est la différence entre « au moins », « au plus » et « exactement » k succès ?

« Exactement » correspond à une seule probabilité : \( P(X = k) \). « Au plus » signifie \( k \) succès ou moins : \( P(X \le k) \). « Au moins » signifie \( k \) succès ou plus : \( P(X \ge k) \). Une erreur fréquente consiste à confondre « au moins \( k \) » et « plus de \( k \) » : le premier inclut \( k \), tandis que le second correspond à \( P(X > k) = 1 - P(X \le k) \). Le bloc d’interprétation des résultats présente les deux cas.

Comment convertir une cote ou une chance sur N en probabilité p ?

Le calculateur attend \( p \) sous forme de pourcentage. Si vous avez une cote de « a contre b », utilisez \( p = \frac{a}{a+b} \), puis multipliez par 100. Une chance sur 6 (comme pour un lancer de dé) signifie \( p \approx 16.67\% \) ; pour une chance sur 100, saisissez 1. Les probabilités décimales se convertissent directement : 0,35 équivaut à 35 %.

Comment trouver la probabilité d’un intervalle, par exemple entre 3 et 7 succès ?

Sélectionnez le mode « Entre k₁ et k₂ succès », saisissez 3 comme nombre de succès et 7 comme borne supérieure. Le calculateur obtient \( P(k_1 \le X \le k_2) \) en additionnant les probabilités individuelles. À la main, on obtient le même résultat avec \( P(X \le k_2) - P(X \le k_1 - 1) \). Les deux bornes sont incluses : l’intervalle 3–7 couvre donc 3, 4, 5, 6 et 7 succès.

Quand utiliser la loi binomiale plutôt que les lois de Poisson, normale ou hypergéométrique ?

Utilisez la loi binomiale lorsque le nombre d’essais est fixe et que les résultats sont indépendants, avec une probabilité \( p \) constante. Utilisez la loi hypergéométrique pour un échantillonnage sans remise dans une petite population (par exemple, un tirage de cartes). Utilisez la loi de Poisson pour compter des événements sur un intervalle fixe plutôt que sur un nombre fixe d’essais. La loi normale fournit une approximation précise lorsque \( np \) et \( n(1-p) \) sont tous deux supérieurs à 5.

Que m’indique l’espérance np, et le résultat réel peut-il en être très éloigné ?

L’espérance \( \mu = np \) est le nombre moyen de succès attendu sur de nombreuses répétitions, pas une prédiction pour une seule expérience. Les résultats individuels se situent généralement à environ \( \mu \pm 2\sigma \) (dans environ 95 % des cas), où \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \). Par exemple, avec \( n = 100 \) et \( p = 0.5 \), on s’attend à environ 50 succès, généralement entre 40 et 60.

Pourquoi mon résultat s’affiche-t-il comme « ≈ 0 % » ? L’issue est-elle vraiment impossible ?

Non, elle n’est pas impossible. « ≈ 0 % » signifie seulement que la probabilité est inférieure à environ \( 10^{-8} \). Vérifiez la valeur décimale affichée à côté du pourcentage : les très petites probabilités apparaissent en notation scientifique, par exemple \( 2.5 \times 10^{-12} \). Pour un grand \( n \), les valeurs très éloignées de l’espérance \( np \) peuvent être extrêmement improbables tout en restant mathématiquement possibles.