Калькулятор t-критерия: t-статистика и p-значение

Выполнить t-тест

Параметры критерия

Тип критерия

Альтернативная гипотеза (H₁)

Уровень значимости (α)

Данные

Режим ввода

Данные выборки

Рассчитывать автоматическиЕсли включено, результат будет автоматически обновляться при изменении любого значения.

Результаты критерия

t-статистикаt

Число степеней свободыdf

p-значение

Вывод

Формула t-критерия

Формула

\[ \text{Одновыборочный: } t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}, \quad df = n - 1 \qquad \text{Двухвыборочный (Уэлча): } t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}} \qquad df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{s_1^4}{n_1^2(n_1 - 1)} + \dfrac{s_2^4}{n_2^2(n_2 - 1)}} \]

Обозначения:

\(\bar{x}\) — выборочное среднее
\(\mu_0\) — гипотетическое среднее генеральной совокупности при H₀
\(s\) — стандартное отклонение выборки (со знаменателем \(n - 1\))
\(n\) — объём выборки
\(\bar{x}_1, \bar{x}_2\), \(s_1, s_2\), \(n_1, n_2\) — средние, стандартные отклонения и объёмы двух независимых выборок

t-статистика показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения, постулируемого при H₀. Она сравнивается с распределением Стьюдента с \(df\) степенями свободы, чтобы получить p-значение: вероятность наблюдать результат, по крайней мере столь же экстремальный, если H₀ верна. Для двустороннего критерия \(p = 2\,P(T_{df} \ge |t|)\); односторонние критерии используют одну сторону. Если для двух выборок выбрана опция объединённой дисперсии, стандартная ошибка вычисляется через объединённую дисперсию \(s_p^2\), а \(df = n_1 + n_2 - 2\).

t-критерий — пример расчёта

{shortcode_start}

Пример: станок должен наполнять бутылки до 100 мл. Измерены десять объёмов наполнения: 99.2, 98.7, 100.3, 101.1, 99.5, 98.9, 100.8, 99.6, 100.2, 97.9. Отличается ли среднее наполнение от 100 мл при \(\alpha = 0.05\)? (Это значения по умолчанию в калькуляторе.)

\[ n = 10, \quad \bar{x} = \frac{996.2}{10} = 99.62, \quad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} \approx 0.994 \]

\[ t = \frac{99.62 - 100}{0.994/\sqrt{10}} = \frac{-0.38}{0.314} \approx -1.209, \quad df = 10 - 1 = 9 \]

\[ p = 2\,P(T_9 \ge |-1.209|) \approx 0.258 \]

Результат: \(t \approx -1.209\), \(df = 9\), \(p \approx 0.258\). Поскольку \(p > 0.05\), у нас нет оснований отвергнуть H₀: статистически значимых доказательств того, что среднее наполнение отличается от 100 мл, нет.

{/shortcode_start}

Как пользоваться калькулятором t-критерия

В разделе Настройки критерия выберите Тип критерия: одновыборочный (сравнение выборочного среднего с гипотетическим значением) или двухвыборочный (сравнение средних двух независимых выборок).
Выберите Альтернативную гипотезу (H₁) — двусторонняя (\(\neq\)), правосторонняя (\(>\)) или левосторонняя (\(<\)) — и уровень значимости (\(\alpha\)): 0.05, 0.01 или 0.10.
Для одновыборочного критерия введите Гипотетическое среднее (\(\mu_0\)).
Для двухвыборочного критерия выберите Предположение о дисперсиях: Уэлча (неравные дисперсии, более надёжный вариант по умолчанию) или объединённая (равные дисперсии).
Задайте Режим ввода. В режиме Исходные данные вставьте значения в поле Данные выборки (и Данные выборки 2 для двухвыборочного критерия), разделяя их пробелами, точками с запятой или переводами строк. В режиме Сводные статистики введите среднее, стандартное отклонение и объём каждой выборки.
Прочитайте t-статистику, число степеней свободы, p-значение и Вывод о том, отвергается ли H₀ при выбранном вами \(\alpha\).

Что такое t-критерий и как интерпретировать результат

t-критерий — это статистический критерий проверки гипотез, который сравнивает среднее (или разность двух средних) с заявленным значением, когда стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно и должно быть оценено по выборке. Это типичная ситуация для небольших наборов данных в науке, контроле качества, медицине и A/B-тестировании. Полученная t-статистика выражает наблюдаемую разность в единицах стандартной ошибки; значения, далёкие от нуля, позволяют предположить, что данные противоречат нулевой гипотезе.

p-значение отвечает на вопрос: если бы нулевая гипотеза была верна, насколько вероятен результат, по крайней мере столь же экстремальный, как наблюдаемый? Малое p-значение означает, что данные были бы неожиданными при H₀, и служит доказательством против неё. По принятому соглашению результат называют статистически значимым, когда \(p \le \alpha\) (обычно 0,05), и H₀ отвергают. Большое p-значение не доказывает истинность H₀ — оно лишь означает, что доказательств против неё недостаточно.

Направление критерия выбирайте исходя из вашего исследовательского вопроса. Двусторонний критерий проверяет любое различие (\(\mu \ne \mu_0\)). Правосторонний критерий выясняет, больше ли среднее, чем гипотетическое значение; левосторонний — меньше ли оно. Односторонние критерии более мощные в выбранном направлении, но их выбор должен быть обоснован до просмотра данных — смена стороны постфактум завышает долю ложноположительных результатов.

Для двух независимых выборок калькулятор по умолчанию предлагает критерий Уэлча. Он не предполагает равенства дисперсий и использует аппроксимацию Уэлча–Саттертуэйта для числа степеней свободы, что надёжнее, когда две выборки имеют разный разброс или объём. Объединённая версия уместна лишь в том случае, когда считается, что генеральные совокупности имеют равные дисперсии.

Допущения, ограничения и практические советы

Нормальность: t-критерий предполагает, что генеральная совокупность (или остатки) распределена примерно нормально. При малых выборках проверьте гистограмму или график нормальности; при больших выборках (примерно \(n \ge 30\)) центральная предельная теорема делает критерий устойчивым к умеренным отклонениям от нормальности. Для сильно скошенных данных с выбросами нужен непараметрический аналог.
Независимость: наблюдения должны быть независимы друг от друга. Парные данные или данные повторных измерений («до/после» на одних и тех же объектах) не следует анализировать двухвыборочным критерием — вместо этого используйте одновыборочный критерий по разностям пар.
Объём выборки: требуется не менее 2 значений на выборку, и значения не должны быть полностью одинаковыми (SD = 0). Малые выборки дают широкую зону неопределённости, поэтому незначимый результат может просто отражать низкую мощность — при планировании исследования см. калькулятор объёма выборки.
Значимость против важности: крошечное p-значение лишь говорит о том, что разность вряд ли равна нулю, а не о том, что она велика или практически значима. Всегда указывайте размер эффекта и дополняйте критерий калькулятором доверительного интервала, чтобы увидеть правдоподобный диапазон разности средних.
Исходные данные против сводных статистик: исходные данные позволяют калькулятору вычислить среднее и стандартное отклонение за вас (со знаменателем \(n-1\)); режим сводных статистик удобен при работе с опубликованными результатами. Для проверки отдельных значений полезны калькулятор стандартного отклонения и калькулятор z-показателя (для известной \(\sigma\) или больших выборок).

Часто задаваемые вопросы

Какое значение t-статистики считается хорошим или значимым?

Не существует универсального «хорошего» значения t — его смысл зависит от числа степеней свободы и от того, односторонний у вас критерий или двусторонний. Грубо говоря, при примерно 20 степенях свободы двусторонний t за пределами ±2,09 значим при \(\alpha = 0.05\). Бо́льшие значения \(|t|\| означают более сильные доказательства против нулевой гипотезы. Значимость всегда оценивайте по p-значению, а не по одной лишь t-статистике.

Как вычислить t-статистику вручную?

Для одновыборочного критерия вычтите гипотетическое среднее из выборочного среднего и разделите результат на стандартную ошибку \(s/\sqrt{n}\). Сначала вычислите среднее, затем выборочное стандартное отклонение со знаменателем \(n-1\). Например, при \(\bar{x} = 12\), \(\mu_0 = 10\), \(s = 3\), \(n = 9\): \(t = (12-10)/(3/\sqrt{9}) = 2\). Сравните результат с t-распределением с \(df = n-1\), чтобы получить p-значение.

Следует ли использовать односторонний или двусторонний t-критерий?

Используйте двусторонний критерий, когда важно любое различие (в большую или меньшую сторону). Односторонний критерий используйте, только если вы заранее, до сбора данных, сформулировали направленный прогноз — например, «новый препарат снижает артериальное давление». Выбор стороны после просмотра результата искусственно завышает долю ложноположительных результатов. Если сомневаетесь, двусторонний критерий — консервативный и общепринятый выбор в большинстве исследований.

В чём разница между t-критерием и z-критерием?

z-критерий применяется, когда стандартное отклонение генеральной совокупности \(\sigma\) известно или выборки очень велики; t-критерий — когда \(\sigma\) приходится оценивать по выборке, что добавляет неопределённость. t-распределение имеет более тяжёлые хвосты, чем нормальное, особенно при малом числе степеней свободы. С ростом \(n\) (примерно свыше 30) оба критерия дают практически одинаковые результаты.

Можно ли использовать t-критерий для парных данных «до/после»?

Не как обычный двухвыборочный критерий. Парные измерения — например, артериальное давление до и после лечения у одних и тех же людей — нарушают предположение о независимости. Вместо этого вычислите разность для каждого объекта и выполните одновыборочный t-критерий по этим разностям, проверяя, равно ли их среднее нулю. Применение критерия для независимых выборок к парным данным обычно ведёт к потере статистической мощности.

Почему моё p-значение немного отличается от результатов в других программах?

Небольшие расхождения обычно возникают из-за округления входных данных или разных предположений о дисперсиях. Проверьте, не использовала ли другая программа объединённые дисперсии, тогда как здесь применён критерий Уэлча, или не предполагает ли она равенство дисперсий по умолчанию (как функция T.TEST в Excel с типом 2). Округление стандартного отклонения до меньшего числа десятичных знаков перед вводом также может заметно сместить t-статистику и p-значение, поэтому вводите значения с полной точностью.

Какой объём выборки нужен, чтобы t-критерий был корректным?

Формально критерий работает уже при 2 наблюдениях, но очень малые выборки имеют низкую мощность и чувствительны к отклонениям от нормальности. При \(n \ge 30\) центральная предельная теорема делает критерий достаточно устойчивым даже для скошенных данных. При планировании требуемый объём выборки зависит от размера эффекта, который вы хотите обнаружить, уровня значимости и желаемой мощности — правильный способ его определить — анализ мощности.