Калькулятор капиллярного подъёма
Рассчитайте, на какую высоту жидкость поднимется (или опустится) в капиллярной трубке, по закону Жюрена. Введите поверхностное натяжение, плотность жидкости, радиус трубки, краевой угол и ускорение свободного падения — и получите высоту капиллярного подъёма в mm, cm, m или дюймах.
Определение капиллярного подъёма по поверхностному натяжению, плотности и радиусу трубки
Капиллярный подъём
Где:
- \(h\) — высота подъёма (или опускания) столба жидкости (m)
- \(\gamma\) — поверхностное натяжение на границе жидкости с воздухом (N/m)
- \(\theta\) — краевой угол между жидкостью и стенкой трубки (°)
- \(\rho\) — плотность жидкости (kg/m³)
- \(g\) — ускорение свободного падения (m/s²)
- \(r\) — внутренний радиус капиллярной трубки (m)
Первое уравнение — это закон Жюрена: оно получается из равенства капиллярной силы \(2\pi r\,\gamma\cos\theta\), действующей вверх, и веса \(\rho g \pi r^2 h\) столба жидкости. Второе даёт скачок капиллярного (лапласова) давления на искривлённом мениске — именно он и приводит жидкость в движение.
Капиллярный подъём — пример расчёта
Пример: вода при 20 °C (поверхностное натяжение 72,8 mN/m, плотность 998 kg/m³) поднимается в чистой стеклянной капиллярной трубке с внутренним радиусом 0,5 mm. Вода идеально смачивает чистое стекло, поэтому краевой угол равен 0°, а ускорение свободного падения — 9,81 m/s².
\[ \gamma = 72.8\ \text{mN/m} = 0.0728\ \text{N/m}, \quad r = 0.5\ \text{mm} = 5\times10^{-4}\ \text{m} \]
\[ h = \frac{2 \times 0.0728 \times \cos 0°}{998 \times 9.81 \times 5\times10^{-4}} = \frac{0.1456}{4.895} \approx 0.02974\ \text{m} \]
\[ h \approx 29.74\ \text{mm} \approx 2.97\ \text{cm} \approx 1.17\ \text{in} \]
Результат: вода поднимается примерно на 29,74 mm (≈ 2,97 cm) над уровнем окружающей жидкости — ровно столько и показывает калькулятор со значениями по умолчанию.
Как пользоваться калькулятором капиллярного подъёма
- Введите поверхностное натяжение (γ) жидкости и выберите единицу измерения (mN/m, N/m или dyn/cm). Для воды при 20 °C это примерно 72,8 mN/m.
- Введите плотность жидкости (ρ) и её единицу (kg/m³, g/cm³ или lb/ft³). Берите плотность самой жидкости, а не окружающего воздуха.
- Введите внутренний радиус трубки (r) — обратите внимание: именно радиус, поэтому для трубки с внутренним диаметром 1 mm нужно указать 0,5 mm. Выберите mm, µm, cm, m или in.
- Задайте краевой угол (θ) в градусах: 0° для воды в чистом стекле, около 140° для ртути в стекле (в этом случае будет не подъём, а опускание).
- При необходимости измените ускорение свободного падения (g): по умолчанию 9,81 m/s² для Земли, а 1,62 m/s² приближённо соответствует Луне.
- Выберите единицу результата в поле «Показать капиллярный подъём в» (mm, cm, m или in): подъём резко растёт с уменьшением диаметра трубки, поэтому при неудобных числах просто переключите единицу.
Результат выводится со знаком: положительное значение — подъём над уровнем окружающей жидкости, отрицательное — опускание ниже него.
Что такое капиллярный подъём и почему он возникает?
Капиллярный подъём — это явление, при котором жидкость поднимается по узкой трубке (капилляру), погружённой в неё, словно вопреки силе тяжести. Движущей силой служит поверхностное натяжение: молекулы на поверхности жидкости тянут мениск наружу вдоль стенки трубки, и если жидкость смачивает стенку (краевой угол меньше 90°), мениск становится вогнутым, а его кривизна создаёт разрежение, которое втягивает жидкость вверх. Столб перестаёт подниматься, когда его вес в точности уравновешивает капиллярную силу — это равновесие и описывает закон Жюрена.
Самая примечательная черта формулы — обратная пропорциональность радиусу трубки: уменьшив радиус вдвое, удваиваем подъём. В трубке радиусом 0,5 mm вода поднимается лишь примерно на 3 cm, зато в поре шириной 10 µm — почти на 1,5 m. Именно это объясняет, почему бумажные полотенца впитывают пролитую жидкость, как работают фитили и губки и как деревья поднимают воду на десятки метров по микроскопическим сосудам ксилемы: капиллярность вместе с осмосом и транспирацией — один из ключевых механизмов переноса веществ у растений.
Направление эффекта определяется краевым углом. Смачивающие жидкости (\(\theta < 90°\), вода в стекле) поднимаются; при \(\theta = 90°\) поверхность остаётся плоской; а несмачивающие жидкости (\(\theta > 90°\), ртуть в стекле), наоборот, опускаются ниже уровня окружающей жидкости, поскольку \(\cos\theta\) отрицателен. Калькулятор автоматически определяет знак и сообщает, будет ли подъём или опускание. Кроме того, он показывает радиус кривизны мениска (\(R = r/\cos\theta\)) и капиллярное давление \(\Delta p\) — именно то, что «чувствует» пористый материал или фитиль.
Допущения, ограничения и практические советы
- Геометрия трубки: формула предполагает вертикальный круглый цилиндр постоянного радиуса. Квадратные каналы, конические отверстия и пористые структуры подчиняются ей лишь приближённо.
- Малый радиус: мениск считается идеальным сферическим сегментом, что справедливо, когда радиус много меньше капиллярной длины жидкости (для воды это около 2,7 mm). При радиусах порядка 1 mm пренебрежение объёмом мениска даёт погрешность в несколько процентов, а при радиусах меньше 0,5 mm ею можно пренебречь.
- Постоянный краевой угол: реальные поверхности редко бывают идеально чистыми и однородными, поэтому фактический угол может отличаться от табличного. Загрязнения, жир или поверхностно-активные вещества заметно меняют \(\gamma\) и \(\theta\): добавление моющего средства в воду снижает и поверхностное натяжение, и высоту подъёма.
- Неподвижная жидкость: результат — равновесная высота; о скорости подъёма он ничего не говорит (она зависит от вязкости и описывается уравнением Вашборна).
- Температура: поверхностное натяжение и плотность зависят от температуры, поэтому для точных расчётов берите значения при нужной температуре.
Если вы работаете с другими свойствами жидкостей и газов, возможно, вам пригодятся наши калькулятор плотности газа, калькулятор уравнения Антуана для давления паров или калькулятор длины свободного пробега для смежных задач переноса.
Часто задаваемые вопросы
Как перевести единицы поверхностного натяжения: mN/m, dyn/cm и N/m?
Пересчитать их несложно, потому что 1 dyn/cm = 1 mN/m = 0,001 N/m. Так, 72,8 mN/m для воды — это те же 72,8 dyn/cm или 0,0728 N/m. В старых учебниках и таблицах значения часто указаны в dyn/cm, поэтому перед вводом проверьте, какая единица использована в вашем источнике: перепутав их, вы ошибётесь в 1000 раз. Калькулятор сам выполнит пересчёт — достаточно выбрать правильную единицу измерения.
Почему капиллярный подъём получился отрицательным?
Отрицательный результат означает, что жидкость не поднялась, а опустилась: мениск находится ниже уровня окружающей жидкости. Так бывает, когда краевой угол больше 90° — тогда \(\cos\theta\) отрицателен и капиллярная сила не втягивает жидкость вверх, а выталкивает её вниз. Классический пример — ртуть в стекле (θ ≈ 140°), которая в узкой трубке опускается на несколько миллиметров. Как и подъём, этот эффект усиливается при уменьшении диаметра трубки.
Нужно вводить диаметр трубки или её радиус?
В формулу входит внутренний радиус — половина внутреннего диаметра. Если трубка продаётся как «капилляр 1 mm», обычно имеется в виду внутренний диаметр 1 mm, то есть вводить нужно 0,5 mm. Если по ошибке ввести диаметр, расчётная высота окажется вдвое меньше истинной. И убедитесь, что вы используете внутренний, а не наружный радиус: толщина стенки в законе Жюрена никакой роли не играет.
Какой капиллярный подъём типичен для воды в обычных трубках?
Для воды в чистом стекле (θ = 0°) удобно помнить приближение: h ≈ 14 mm на каждый миллиметр диаметра трубки, или примерно 14,4/r² mm, если r выражен в mm. Отсюда выходит около 29 mm при внутреннем диаметре 1 mm, 5,7 cm при 0,5 mm и примерно 1,5 m в поре шириной 10 µm. Если ваш результат сильно отличается от этих порядков, проверьте единицу радиуса — µm и mm легко перепутать.
Как температура влияет на капиллярный подъём?
Оба входных параметра меняются с температурой: поверхностное натяжение воды падает примерно с 75,7 mN/m при 0 °C до 58,9 mN/m при 100 °C — около 0,15 mN/m на градус, а плотность снижается лишь незначительно. В итоге тёплая жидкость поднимается заметно ниже холодной в той же трубке — примерно на 4% меньше при переходе от 20 °C к 40 °C. Для точных расчётов берите значения γ и ρ при фактической температуре измерения, а не стандартные для 20 °C.
Показывает ли калькулятор, как быстро поднимается жидкость?
Нет — закон Жюрена даёт только конечную равновесную высоту, которая устанавливается после того, как жидкость успокоится. Скорость подъёма — отдельная задача, которую описывает уравнение Вашборна: пройденное расстояние растёт примерно как корень из времени и зависит от вязкости — высота меняется как \( h(t) \sim \sqrt{\gamma r t \cos\theta / (2\eta) } \). Очень вязкая жидкость вроде мёда в конце концов достигнет той же высоты, что и вода, но гораздо медленнее.
Какой краевой угол взять для моей жидкости и материала трубки?
Пользуйтесь табличными значениями для конкретной пары «жидкость — стенка», поскольку угол зависит от обеих. Типичные ориентиры: вода на чистом стекле ≈ 0°, вода на пластике (ПТФЭ, полиэтилен) ≈ 90–110°, ртуть на стекле ≈ 140°, многие органические жидкости на стекле ≈ 0–30°. Реальные трубки редко бывают идеально чистыми: плёнки жира, пыли или поверхностно-активных веществ увеличивают краевой угол и снижают поверхностное натяжение, поэтому измеренная высота подъёма часто оказывается на 10–20% ниже теоретической.