Калькулятор капілярного підняття
Обчисліть, наскільки піднімається (або опускається) рідина в капілярній трубці за законом Жюрена. Введіть поверхневий натяг, густину рідини, радіус трубки, краєвий кут і прискорення вільного падіння, щоб отримати висоту підняття в мм, см, м або дюймах.
Капілярне підняття за поверхневим натягом, густиною та радіусом трубки
Капілярне підняття
Де:
- \(h\) — висота підняття або опускання стовпчика рідини (м)
- \(\gamma\) — поверхневий натяг рідини на межі з повітрям (Н/м)
- \(\theta\) — краєвий кут між рідиною і стінкою трубки (°)
- \(\rho\) — густина рідини (кг/м³)
- \(g\) — прискорення вільного падіння (м/с²)
- \(r\) — внутрішній радіус капілярної трубки (м)
Перше рівняння — це закон Жюрена: воно випливає з рівноваги між капілярною силою \(2\pi r\,\gamma\cos\theta\), що тягне рідину вгору, та вагою \(\rho g \pi r^2 h\) її стовпчика. Друге дає перепад капілярного (лапласівського) тиску на викривленому меніску — саме він і змушує рідину рухатися.
Капілярне підняття — приклад розрахунку
Приклад: вода за 20 °C (поверхневий натяг 72,8 мН/м, густина 998 кг/м³) піднімається в чистій скляній капілярній трубці з внутрішнім радіусом 0,5 мм. Вода ідеально змочує чисте скло, тож краєвий кут дорівнює 0°, а прискорення вільного падіння становить 9,81 м/с².
\[ \gamma = 72.8\ \text{mN/m} = 0.0728\ \text{N/m}, \quad r = 0.5\ \text{mm} = 5\times10^{-4}\ \text{m} \]
\[ h = \frac{2 \times 0.0728 \times \cos 0°}{998 \times 9.81 \times 5\times10^{-4}} = \frac{0.1456}{4.895} \approx 0.02974\ \text{m} \]
\[ h \approx 29.74\ \text{mm} \approx 2.97\ \text{cm} \approx 1.17\ \text{in} \]
Результат: вода піднімається приблизно на 29,74 мм (≈ 2,97 см) над рівнем навколишньої води — саме стільки й показує калькулятор зі значеннями за замовчуванням.
Як користуватися калькулятором капілярного підняття
- Введіть поверхневий натяг (γ) рідини та виберіть одиницю (мН/м, Н/м або дин/см). Для води за 20 °C це приблизно 72,8 мН/м.
- Введіть густину рідини (ρ) і її одиницю (кг/м³, г/см³ або lb/ft³). Беріть густину самої рідини, а не навколишнього повітря.
- Введіть внутрішній радіус трубки (r) — майте на увазі, що це саме радіус, тож для трубки з внутрішнім діаметром 1 мм слід указати 0,5 мм. Виберіть мм, мкм, см, м або in.
- Задайте краєвий кут (θ) у градусах: 0° для води в чистому склі, близько 140° для ртуті в склі (у цьому випадку буде опускання, а не підняття).
- За потреби змініть прискорення вільного падіння (g): 9,81 м/с² — стандартне значення для Землі, а 1,62 м/с² наближено відповідає Місяцю.
- Виберіть одиницю результату в полі «Показати капілярне підняття в» (мм, см, м або in) — у вужчих трубках підняття стрімко зростає, тож якщо число незручне за величиною, просто перемкніть одиниці.
Результат має знак: додатне значення означає підняття над рівнем навколишньої рідини, від’ємне — опускання нижче за нього.
Що таке капілярне підняття і чому воно відбувається?
Капілярне підняття — це явище, коли рідина піднімається вузькою трубкою (капіляром, зануреним у неї), ніби долаючи силу тяжіння. Його спричиняє поверхневий натяг: молекули на поверхні рідини тягнуть меніск уздовж стінки трубки, і якщо рідина змочує стінку (краєвий кут менший за 90°), меніск стає увігнутим, а його кривина створює дефіцит тиску, який засмоктує рідину вгору. Стовпчик перестає підніматися, коли його вага точно врівноважує капілярну силу — ця рівновага й описується законом Жюрена.
Найбільш вражаюча риса формули — обернена пропорційність до радіуса трубки: удвічі менший радіус дає удвічі вище підняття. У трубці з радіусом 0,5 мм вода піднімається лише на близько 3 см, але в порі діаметром 10 мкм вона здатна злетіти приблизно на 1,5 м. Саме це масштабування пояснює, чому паперові рушники вбирають розлиті рідини, чому працюють ґноти й губки, а також як дерева підіймають воду на десятки метрів крізь мікроскопічні канали ксилеми — капілярність разом з осмосом і транспірацією є одним із ключових механізмів транспорту в рослинах.
Краєвий кут визначає напрям ефекту. Рідини, що змочують поверхню (\(\theta < 90°\), вода в склі), піднімаються; за \(\theta = 90°\) поверхня лишається плоскою; а рідини, які не змочують поверхню (\(\theta > 90°\), ртуть у склі), опускаються нижче навколишнього рівня, бо \(\cos\theta\) від’ємний. Калькулятор автоматично визначає знак і підказує, що ви маєте — підняття чи опускання. Він також показує радіус кривини меніска (\(R = r/\cos\theta\)) і капілярний тиск \(\Delta p\) — саме їх «відчуває» пористий матеріал або ґнот.
Припущення, обмеження та практичні поради
- Геометрія трубки: формула передбачає вертикальний круговий циліндр однакового радіуса. Квадратні канали, конічні отвори чи пористі структури відповідають їй лише наближено.
- Малий радіус: меніск розглядається як ідеальна сферична шапка, що точне, коли радіус набагато менший за капілярну довжину рідини (для води це приблизно 2,7 мм). При радіусі близько 1 мм нехтування об’ємом меніска дає похибку в кілька відсотків; для радіусів менших за 0,5 мм нею можна знехтувати.
- Сталий краєвий кут: реальні поверхні рідко бувають ідеально чистими та однорідними, тому фактичний кут може відрізнятися від табличних значень. Забруднення, жирові плівки чи поверхнево-активні речовини можуть суттєво змінити \(\gamma\) і \(\theta\) — додавання миючого засобу до води знижує і поверхневий натяг, і висоту підняття.
- Нерухома рідина: результат — це висота рівноваги; про швидкість підняття (яка залежить від в’язкості і описується рівнянням Уошберна) він нічого не каже.
- Температура: поверхневий натяг і густина змінюються з температурою, тож для точних результатів беріть значення за потрібної температури.
Якщо ви працюєте з іншими властивостями рідин і газів, вам можуть знадобитися наш калькулятор густини газу, калькулятор рівняння Антуана для тиску пари або калькулятор середньої довжини вільного пробігу для суміжних задач переносу.
Часті запитання
Як перевести одиниці поверхневого натягу: мН/м, дин/см і Н/м?
Перерахунок простий, бо 1 дин/см = 1 мН/м = 0,001 Н/м. Тобто 72,8 мН/м для води — це те саме, що 72,8 дин/см або 0,0728 Н/м. Старі підручники й таблиці часто подають значення в дин/см, тож перед уведенням числа перевірте, яку одиницю використовує ваше джерело — плутанина між ними змінює відповідь у 1000 разів. Калькулятор виконає перерахунок автоматично, варто лише вибрати правильну одиницю.
Чому я отримав від’ємне капілярне підняття?
Від’ємний результат означає, що рідина опустилася, а не піднялася — меніск залишився нижче рівня навколишньої рідини. Так буває, коли краєвий кут перевищує 90°: \(\cos\theta\) стає від’ємним, і капілярна сила штовхає рідину вниз замість того, щоб тягнути вгору. Класичний приклад — ртуть у склі (θ ≈ 140°), яка у вузькій трубці опускається на кілька міліметрів. У тонших трубках цей ефект посилюється так само, як і підняття.
Вводити діаметр трубки чи її радіус?
Формула потребує внутрішнього радіуса, тобто половину внутрішнього діаметра. Трубка, яку продають як «капіляр 1 мм», зазвичай має внутрішній діаметр 1 мм, тож уводити треба 0,5 мм. Якщо помилково ввести діаметр, розраховане підняття вдвічі зменшиться. Також переконайтеся, що берете саме внутрішній канал, а не зовнішній радіус — товщина стінки в законі Жюрена ролі не відіграє.
Яке типове капілярне підняття води в звичайних трубках?
Для води в чистому склі (θ = 0°), орієнтовне правило таке: h ≈ 14 мм на кожен міліметр діаметра трубки, або приблизно 14,4/r² мм, якщо r в міліметрах. Звідси маємо близько 29 мм для каналу діаметром 1 мм, 5,7 см для 0,5 мм і приблизно 1,5 м у порі розміром 10 мкм. Якщо ваш результат далеко виходить за ці межі, перевірте одиницю радіуса — мкм і мм легко сплутати.
Як температура впливає на капілярне підняття?
Обидва вхідні параметри змінюються з температурою: поверхневий натяг води падає з приблизно 75,7 мН/м за 0 °C до 58,9 мН/м за 100 °C, тобто приблизно на 0,15 мН/м на градус, а густина знижується зовсім трохи. Підсумковий ефект: тепла рідина піднімається помітно нижче, ніж холодна, в тій самій трубці — приблизно на 4 % менше в разі зростання температури від 20 °C до 40 °C. Для точної роботи знайдіть значення γ і ρ за фактичною температурою вимірювання, а не користуйтеся значеннями за замовчуванням для 20 °C.
Чи калькулятор показує, як швидко піднімається рідина?
Ні — закон Жюрена дає лише кінцеву висоту рівноваги, якої рідина сягає після того, як рух вщухне. Швидкість підняття — окрема задача, яку описує рівняння Уошберна: пройдена висота зростає приблизно як квадратний корінь із часу і залежить від в’язкості: досягнута висота масштабується як \( h(t) \sim \sqrt{\gamma r t \cos\theta / (2\eta) } \). Дуже в’язка рідина, як-от мед, у результаті підніметься на ту саму висоту, що й вода, — лише значно повільніше.
Який краєвий кут обрати для моєї рідини та матеріалу трубки?
Користуйтеся табличними значеннями для вашої конкретної пари «рідина–стінка», адже кут залежить від обох. Поширені наближення: вода на чистому склі ≈ 0°, вода на пластику (ПТФЕ, поліетилен) ≈ 90–110°, ртуть на склі ≈ 140°, багато органічних рідин на склі ≈ 0–30°. Реальні трубки рідко бувають ідеально чистими: жирові, пилові чи ПАР-плівки збільшують краєвий кут і зменшують поверхневий натяг, тому виміряні висоти підняття часто виявляються на 10–20 % нижчими за теоретичні прогнози.