Kapillarsteighöhe-Rechner
Berechnen Sie, wie hoch eine Flüssigkeit in einer Kapillare steigt (oder absinkt) – nach dem Gesetz von Jurin. Geben Sie Oberflächenspannung, Dichte, Rohrradius, Randwinkel und Erdbeschleunigung ein und erhalten Sie die Steighöhe in mm, cm, m oder Zoll.
Kapillare Steighöhe aus Oberflächenspannung, Dichte und Rohrradius berechnen
Kapillarsteighöhe
Dabei bedeuten:
- \(h\) — Steig- oder Senkhöhe der Flüssigkeitssäule (m)
- \(\gamma\) — Oberflächenspannung der Flüssigkeit gegenüber Luft (N/m)
- \(\theta\) — Randwinkel zwischen Flüssigkeit und Rohrwand (°)
- \(\rho\) — Dichte der Flüssigkeit (kg/m³)
- \(g\) — Erdbeschleunigung (m/s²)
- \(r\) — innerer Radius des Kapillarrohrs (m)
Die erste Gleichung ist das Gesetz von Jurin: Sie ergibt sich aus dem Gleichgewicht zwischen der nach oben wirkenden Kapillarkraft \(2\pi r\,\gamma\cos\theta\) und dem Gewicht \(\rho g \pi r^2 h\) der Flüssigkeitssäule. Die zweite liefert den Kapillardruck (Laplace-Druck), also den Drucksprung am gekrümmten Meniskus, der die Bewegung antreibt.
Kapillarsteighöhe – Rechenbeispiel
Beispiel: Wasser bei 20 °C (Oberflächenspannung 72,8 mN/m, Dichte 998 kg/m³) steigt in einem sauberen Glaskapillarrohr mit dem inneren Radius 0,5 mm auf. Wasser benetzt sauberes Glas vollkommen, der Randwinkel beträgt also 0°, und die Erdbeschleunigung beträgt 9,81 m/s².
\[ \gamma = 72.8\ \text{mN/m} = 0.0728\ \text{N/m}, \quad r = 0.5\ \text{mm} = 5\times10^{-4}\ \text{m} \]
\[ h = \frac{2 \times 0.0728 \times \cos 0°}{998 \times 9.81 \times 5\times10^{-4}} = \frac{0.1456}{4.895} \approx 0.02974\ \text{m} \]
\[ h \approx 29.74\ \text{mm} \approx 2.97\ \text{cm} \approx 1.17\ \text{in} \]
Ergebnis: Das Wasser steigt rund 29,74 mm (≈ 2,97 cm) über den umgebenden Wasserspiegel — genau das zeigt der Rechner mit seinen Standardwerten.
So verwenden Sie den Kapillarsteighöhe-Rechner
- Geben Sie die Oberflächenspannung (γ) der Flüssigkeit ein und wählen Sie die passende Einheit (mN/m, N/m oder dyn/cm). Wasser hat bei 20 °C etwa 72,8 mN/m.
- Geben Sie die Dichte der Flüssigkeit (ρ) samt Einheit ein (kg/m³, g/cm³ oder lb/ft³). Verwenden Sie die Dichte der Flüssigkeit, nicht die der umgebenden Luft.
- Geben Sie den inneren Rohrradius (r) ein — beachten Sie, dass der Radius gefragt ist: Ein Rohr mit 1 mm Innendurchmesser erfordert 0,5 mm. Wählen Sie mm, µm, cm, m oder in.
- Legen Sie den Randwinkel (θ) in Grad fest: 0° für Wasser in sauberem Glas, etwa 140° für Quecksilber in Glas (das führt zu einer Absenkung statt eines Anstiegs).
- Passen Sie bei Bedarf die Erdbeschleunigung (g) an; 9,81 m/s² ist der Standardwert für die Erde, 1,62 m/s² entspricht ungefähr dem Mond.
- Wählen Sie unter „Steighöhe anzeigen in“ die Ausgabeeinheit (mm, cm, m oder in) — die Steighöhe wächst schnell, je enger die Röhre wird; wechseln Sie also bei unhandlichen Zahlen die Einheit.
Das Ergebnis ist vorzeichenbehaftet: Ein positiver Wert bedeutet einen Anstieg über den umgebenden Flüssigkeitsspiegel, ein negativer Wert eine Absenkung darunter.
Was ist Kapillarsteighöhe, und warum tritt sie auf?
Die Kapillarsteighöhe beschreibt das Phänomen, dass eine Flüssigkeit in einer engen Röhre (einer Kapillare), die in sie eintaucht, scheinbar entgegen der Schwerkraft aufsteigt. Angetrieben wird der Vorgang durch die Oberflächenspannung: Die Moleküle an der Flüssigkeitsoberfläche ziehen den Meniskus entlang der Rohrwand nach außen; benetzt die Flüssigkeit die Wand (Randwinkel unter 90°), wölbt sich der Meniskus konkav, und seine Krümmung erzeugt einen Unterdruck, der Flüssigkeit nach oben saugt. Aufhören zu steigen hört die Säule, sobald ihr Gewicht die Kapillarkraft genau ausgleicht — dieses Gleichgewicht ist das Gesetz von Jurin.
Auffälligstes Merkmal der Formel ist die umgekehrte Proportionalität zum Rohrradius: Wird der Radius halbiert, verdoppelt sich die Steighöhe. Wasser steigt in einer 0,5-mm-Röhre nur rund 3 cm hoch, in einer 10-µm-Pore dagegen etwa 1,5 m. Diese Skalierung erklärt, warum Küchenpapier Verschüttetes aufsaugt, warum Dochte und Schwämme funktionieren und wie Bäume Wasser über viele Meter durch mikroskopisch feine Xylemkanäle transportieren — die Kapillarität ist neben Osmose und Transpiration einer der zentralen Transportmechanismen in Pflanzen.
Der Randwinkel bestimmt die Richtung des Effekts. Benetzende Flüssigkeiten (\(\theta < 90°\), Wasser in Glas) steigen; bei \(\theta = 90°\) bleibt die Oberfläche flach; nichtbenetzende Flüssigkeiten (\(\theta > 90°\), Quecksilber in Glas) werden unter den umgebenden Spiegel abgesenkt, weil \(\cos\theta\) negativ ist. Der Rechner zeigt das Vorzeichen automatisch an und sagt Ihnen, ob es sich um einen Anstieg oder eine Absenkung handelt. Außerdem berechnet er den Krümmungsradius des Meniskus (\(R = r/\cos\theta\)) sowie den Kapillardruck \(\Delta p\) — genau das, was ein poröses Material oder ein Docht tatsächlich „spürt“.
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Rohrgeometrie: Die Formel setzt einen senkrechten Kreiszylinder mit gleichmäßigem Radius voraus. Quadratische Kanäle, konisch zulaufende Bohrungen oder Porennetzwerke folgen ihr nur näherungsweise.
- Kleiner Radius: Der Meniskus wird als ideale Kugelkalotte behandelt — das ist genau, solange der Radius deutlich unter der Kapillarlänge der Flüssigkeit liegt (bei Wasser etwa 2,7 mm). Bei rund 1 mm führt das Vernachlässigen des Meniskusvolumens zu einem Fehler von wenigen Prozent; unter 0,5 mm ist er vernachlässigbar.
- Konstanter Randwinkel: Reale Oberflächen sind selten vollkommen sauber und einheitlich, der effektive Winkel kann also von Tabellenwerten abweichen. Verunreinigungen, Fett oder Tenside verändern \(\gamma\) und \(\theta\) erheblich — ein Schuss Spülmittel senkt Oberflächenspannung und Steighöhe gleichermaßen.
- Ruhende Flüssigkeit: Das Ergebnis ist die Gleichgewichtshöhe; über die Geschwindigkeit des Aufstiegs (die von der Viskosität abhängt, siehe Washburn-Gleichung) sagt es nichts aus.
- Temperatur: Sowohl Oberflächenspannung als auch Dichte ändern sich mit der Temperatur; verwenden Sie für genaue Ergebnisse die Werte bei der jeweils interessierenden Temperatur.
Wenn Sie mit anderen Stoffeigenschaften arbeiten, könnten Ihnen auch unser Gasdichte-Rechner, der Rechner zur Antoine-Gleichung für Dampfdrücke oder der Rechner für die mittlere freie Weglänge bei verwandten Transportproblemen nützlich sein.
Häufig gestellte Fragen
Wie rechne ich Oberflächenspannungen um: mN/m, dyn/cm und N/m?
Die Umrechnung ist einfach, denn 1 dyn/cm = 1 mN/m = 0,001 N/m. Die 72,8 mN/m von Wasser entsprechen also 72,8 dyn/cm oder 0,0728 N/m. Ältere Lehrbücher und Tabellen geben den Wert oft in dyn/cm an — prüfen Sie daher vor der Eingabe, welche Einheit Ihre Quelle verwendet, denn eine Verwechslung verschiebt das Ergebnis um den Faktor 1000. Sobald Sie die richtige Einheit auswählen, übernimmt der Rechner die Umrechnung automatisch.
Warum ist meine Kapillarsteighöhe negativ?
Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass die Flüssigkeit abgesenkt und nicht angehoben wird — der Meniskus liegt unter dem umgebenden Flüssigkeitsspiegel. Das passiert, wenn der Randwinkel über 90° liegt: \(\cos\theta\) ist dann negativ, und die Kapillarkraft drückt die Flüssigkeit nach unten, statt sie nach oben zu ziehen. Der Klassiker ist Quecksilber in Glas (θ ≈ 140°), das in einer engen Röhre um mehrere Millimeter absinkt. Wie beim Anstieg wird auch dieser Effekt in engeren Röhren stärker.
Muss ich den Durchmesser oder den Radius des Rohrs eingeben?
Die Formel verlangt den inneren Radius, also den halben Innendurchmesser. Ein als „1-mm-Kapillare“ verkauftes Rohr hat üblicherweise 1 mm Innendurchmesser — Sie geben also 0,5 mm ein. Wer versehentlich den Durchmesser eingibt, halbiert die berechnete Steighöhe. Achten Sie außerdem darauf, den inneren Hohlraum zu verwenden, nicht den Außenradius — die Wandstärke spielt im Gesetz von Jurin keine Rolle.
Wie hoch steigt Wasser in alltäglichen Röhren typischerweise?
Für Wasser in sauberem Glas (θ = 0°) gilt als grobe Faustregel h ≈ 14 mm pro Millimeter Rohrdurchmesser bzw. etwa 14,4/r² mm, wenn r in mm angegeben ist. Das ergibt rund 29 mm bei einer 1-mm-Bohrung, 5,7 cm bei 0,5 mm und etwa 1,5 m in einer 10-µm-Pore. Liegt Ihr Ergebnis weit neben diesen Größenordnungen, prüfen Sie die Radius-Einheit — µm und mm werden leicht verwechselt.
Wie beeinflusst die Temperatur die Kapillarsteighöhe?
Beide Eingabewerte verschieben sich mit der Temperatur: Die Oberflächenspannung von Wasser sinkt von etwa 75,7 mN/m bei 0 °C auf 58,9 mN/m bei 100 °C — rund 0,15 mN/m pro Grad —, während die Dichte nur geringfügig abnimmt. Netto bedeutet das: Warme Flüssigkeit steigt deutlich weniger hoch als kalte im selben Rohr — von 20 °C auf 40 °C sind es etwa 4 % weniger. Für präzise Arbeiten suchen Sie γ und ρ bei der tatsächlichen Messtemperatur nach, statt die 20-°C-Standardwerte zu verwenden.
Sagt mir der Rechner, wie schnell die Flüssigkeit steigt?
Nein — das Gesetz von Jurin liefert nur die endgültige Gleichgewichtshöhe, die sich einstellt, nachdem sich die Flüssigkeit beruhigt hat. Wie schnell es dorthin geht, ist ein eigenes Problem, das die Washburn-Gleichung beschreibt: Die zurückgelegte Steighöhe wächst etwa mit der Quadratwurzel der Zeit und hängt von der Viskosität ab: \( h(t) \sim \sqrt{\gamma r t \cos\theta / (2\eta)} \). Eine sehr zähe Flüssigkeit wie Honig erreicht irgendwann dieselbe Höhe wie Wasser — nur eben viel langsamer.
Welchen Randwinkel soll ich für meine Flüssigkeit und mein Rohrmaterial verwenden?
Greifen Sie auf Tabellenwerte für Ihr konkretes Paar aus Flüssigkeit und Wand zurück, denn der Winkel hängt von beiden ab. Gängige Näherungen: Wasser auf sauberem Glas ≈ 0°, Wasser auf Kunststoff (PTFE, Polyethylen) ≈ 90–110°, Quecksilber auf Glas ≈ 140° und viele organische Flüssigkeiten auf Glas ≈ 0–30°. Reale Rohre sind selten vollkommen sauber: Fett-, Staub- oder Tensidfilme vergrößern den Randwinkel und senken die Oberflächenspannung, weshalb gemessene Steighöhen oft 10–20 % unter den theoretischen Vorhersagen liegen.