Kalkulator NWD – największy wspólny dzielnik
Policz największy wspólny dzielnik 2–10 liczb całkowitych, a także ich najmniejszą wspólną wielokrotność, rozkłady na czynniki pierwsze i kroki dzielenia z resztą. Wpisz liczby oddzielone przecinkami lub spacjami.
Znajdź największy wspólny dzielnik 2–10 liczb całkowitych
Wzór na NWD
gdzie:
- \(n_1,\ldots,n_k\) — podane liczby całkowite,
- \(p\) — liczba pierwsza dzieląca co najmniej jedną z nich,
- \(v_p(|n_i|)\) — wykładnik liczby \(p\) w rozkładzie liczby \(|n_i|\) na czynniki pierwsze; równy 0, jeśli \(p\) nie dzieli \(|n_i|\).
W NWD wchodzą wyłącznie liczby pierwsze wspólne dla wszystkich liczb, każda w najmniejszej potędze. Jeśli żadna liczba pierwsza nie jest wspólna dla wszystkich, iloczyn wynosi 1.
NWD – przykład obliczenia
Przykład: oblicz NWD domyślnych liczb kalkulatora, czyli 48, 180 i 300.
Rozłóż każdą liczbę na czynniki i wybierz najmniejszą potęgę każdej wspólnej liczby pierwszej:
\[48=2^4\times3,\qquad180=2^2\times3^2\times5,\qquad300=2^2\times3\times5^2\]
\[\operatorname{NWD}(48,180,300)=2^{\min(4,2,2)}\times3^{\min(1,2,1)}=2^2\times3=12\]
Dla pierwszej pary dzielenie z resztą daje \(180=48\times3+36\), \(48=36\times1+12\) oraz \(36=12\times3+0\). NWD tej pary wynosi 12; obliczenie NWD z liczb 12 i 300 ponownie daje 12.
Wynik: NWD = 12. Kalkulator podaje ponadto NWW = 3600 i odpowiedź „Nie” na pytanie o względną pierwszość.
Jak korzystać z kalkulatora
- W polu Liczby całkowite wpisz od 2 do 10 niezerowych liczb całkowitych, oddzielonych przecinkami lub spacjami. Możesz na przykład wpisać
48, 180, 300albo48 180 300. - Odczytaj Największy wspólny dzielnik (NWD) — największą dodatnią liczbę całkowitą dzielącą każdą wpisaną liczbę bez reszty.
- Sprawdź Najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) — najmniejszą dodatnią wielokrotność wspólną dla wszystkich wpisanych liczb. Pole Czy liczby są względnie pierwsze? pokazuje „Tak”, gdy ich łączny NWD wynosi 1.
- Skorzystaj z sekcji Dzielenie z resztą dla pierwszej pary, aby zobaczyć, jak zaczyna się obliczanie NWD. Pozostałe wyniki obejmują Rozkład każdej liczby na czynniki pierwsze oraz Wspólne liczby pierwsze w najmniejszych potęgach, z których powstaje ostateczny NWD.
Czym jest największy wspólny dzielnik
Największy wspólny dzielnik (NWD) to największa dodatnia liczba całkowita, która dzieli dokładnie wszystkie podane liczby. Dla liczb 48, 180 i 300 jest to 12: każdą z nich można podzielić przez 12, a żadna większa dodatnia liczba nie dzieli wszystkich trzech. NWD przydaje się przy skracaniu ułamków, dzieleniu ilości na równe grupy bez reszty albo wyznaczaniu wspólnej jednostki miary.
Metoda rozkładu na czynniki pierwsze pokazuje, skąd wynik się bierze. Liczba pierwsza wchodzi do NWD tylko wtedy, gdy występuje w każdej z podanych liczb, a jej wykładnik musi być najmniejszym wykładnikiem spotkanym wśród nich. W omawianym przykładzie wszystkie trzy liczby zawierają 2 i 3, natomiast 5 nie występuje w 48. Pozostawienie \(2^2\) oraz \(3^1\) daje 12. Jeśli chcesz się przyjrzeć czynnikom pojedynczej liczby dokładniej, użyj kalkulatora rozkładu na czynniki pierwsze; do sprawdzenia pojedynczego czynnika może pomóc test pierwszości liczby.
Algorytm Euklidesa prowadzi do tego samego wyniku bez wcześniejszego wyznaczania czynników pierwszych. Podziel większą z wartości bezwzględnych pierwszych dwóch liczb przez mniejszą, a potem powtarzaj dzielenie, używając za każdym razem dzielnika i reszty. Ostatnia niezerowa reszta to NWD tej pary. Przy więcej niż dwóch liczbach oblicz NWD z tego wyniku i kolejnej liczby, przechodząc kolejno przez całą listę. Kalkulator pokazuje kroki dzielenia tylko dla pierwszej pary; końcowy NWD uwzględnia wszystkie wpisane liczby.
Łączny NWD równy 1 oznacza, że liczby są względnie pierwsze jako grupa. Nie musi to oznaczać, że każda para jest względnie pierwsza: liczby 6, 10 i 15 mają łączny NWD równy 1, choć każda para ma wspólny dzielnik. Względna pierwszość ma znaczenie także przy wyznaczaniu odwrotności modulo pewnej liczby, gdzie obie liczby muszą mieć NWD równy 1.
Ograniczenia danych wejściowych i wskazówki
- Wpisz co najmniej 2 i co najwyżej 10 liczb całkowitych. Zero, liczby dziesiętne i ułamki nie są akceptowane. Wartość bezwzględna każdej liczby nie może przekraczać 1 000 000 000 000.
- Znaki minus są dozwolone. Kalkulator posługuje się wartościami bezwzględnymi, więc zmiana znaku liczby nie zmienia NWD ani NWW. Obie podawane wartości są dodatnie.
- Liczba 1 lub −1 jest dozwolona i nie ma czynników pierwszych. Jeśli pojawi się wśród podanych liczb, łączny NWD wynosi 1.
- Nie myl NWD z NWW. NWD dzieli każdą z podanych liczb, a NWW jest podzielna przez każdą z nich. Nawet przy limicie dla pojedynczych liczb NWW kilku liczb może być znacznie większa niż którykolwiek z wyrazów.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć NWD ręcznie bez rozkładu na czynniki pierwsze?
D1 la małych liczb wypisz dodatnie dzielniki każdej z nich i wybierz największy, który występuje na każdej liście. Na przykład wspólnymi dzielnikami liczb 18 i 30 są 1, 2, 3 i 6, więc ich NWD wynosi 6. Przy dużych liczbach wypisywanie dzielników bywa żmudne; zwykle szybsze jest wielokrotne dzielenie z resztą.
Jak za pomocą NWD skrócić ułamek?
Podziel licznik i mianownik przez ich NWD. Na przykład NWD liczb 42 i 56 wynosi 14, więc \(42/56=(42\div14)/(56\div14)=3/4\). Otrzymany licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1, czyli ułamek jest nieskracalny. Ewentualny znak minus zapisz przy całym ułamku, a nie traktuj go jak czynnika.
Czy z NWD można obliczyć NWW?
Dla dwóch niezerowych liczb całkowitych tak: \(\operatorname{NWW}(a,b)=|ab|/\operatorname{NWD}(a,b)\). Przy obliczaniu ręcznym najpierw dziel, a dopiero potem mnoż, żeby liczba pośrednia pozostała mała. Nie stosuj tego wzoru do iloczynu trzech lub więcej liczb i ich łącznego NWD — zwykle da on błędną NWW. Zamiast tego łącz liczby parami.
W zadaniu na grupy NWD wyznacza liczbę grup czy liczebność każdej grupy?
To zależy od tego, co ma być równe. Jeśli 24 czerwone i 36 niebieskich koralików trzeba podzielić na jak najwięcej identycznych grup, NWD, czyli 12, wyznacza liczbę grup. Każda grupa liczy wtedy 2 czerwone i 3 niebieskie koraliki. Jeśli zaś tnie się taśmy na najdłuższe równe kawałki bez odpadu, NWD wyznacza długość kawałka.
Co się dzieje, gdy jedną z liczb jest zero?
Ten kalkulator nie przyjmuje zera, ale w matematyce przyjęto konwencję \(\operatorname{NWD}(0,a)=|a|\) dla \(a\ne0\): każdy dodatni dzielnik liczby \(a\) dzieli także zero. NWD zer i zera nie ma największej wartości dodatniej, dlatego zwykle pozostawia się ją nieokreśloną. W przypadku tego kalkulatora usuń zero tylko wtedy, gdy pozostałe liczby nadal opisują problem, który chcesz rozwiązać.
Jak wyznaczyć wspólny krok pomiarowy dla wartości dziesiętnych?
Najpierw przelicz wszystkie wartości na tę samą jednostkę i przeskaluj je na liczby całkowite. Dla pomiarów 1,2 cm i 0,8 cm wykonanych z dokładnością do jednej dziesiątej pomnóż obie liczby przez 10, oblicz \(\operatorname{NWD}(12,8)=4\), a następnie podziel przez 10. Największy wspólny krok przy tej dokładności to 0,4 cm. Odpowiedź zależy od wybranej dokładności pomiarów.
Kiedy NWD równa się najmniejszej z podanych liczb?
NWD równa się co do wartości bezwzględnej najmniejszej z podanych liczb wtedy, gdy dzieli ona dokładnie wszystkie pozostałe. Na przykład NWD liczb 8, 24 i 40 wynosi 8. Powtórzenie tej samej liczby nie zmienia NWD, więc NWD liczb 8, 8 i 24 także wynosi 8. NWD nigdy nie może przekroczyć co do wartości bezwzględnej najmniejszej z podanych liczb.