Kalkulator wartości własnych i wektorów własnych macierzy 2×2
Wprowadź cztery elementy macierzy 2×2, aby otrzymać jej wartości własne i wektory własne, a także wyznacznik, ślad i wielomian charakterystyczny wraz z pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
2×2 Matrix Eigenvalues and Eigenvectors Solver
Eigenvalues and Eigenvectors Formula for 2×2 Matrix
Gdzie:
- \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) — macierz 2×2
- \( \lambda \) — wartości własne (pierwiastki równania charakterystycznego)
- \( \vec{v} \) — odpowiadające im wektory własne, wyznaczane przez rozwiązanie układu \( (A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0} \)
- \( \operatorname{tr}(A) = a + d \) — ślad macierzy, a \( \det(A) = ad - bc \) — wyznacznik
Pierwsze równanie definiuje wielomian charakterystyczny \( \lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0 \). Jego rozwiązanie (zwykłego równania kwadratowego) daje obie wartości własne, a każda wartość własna pozwala następnie wyznaczyć wektor własny z układu jednorodnego \( (A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0} \).
Eigenvalues and Eigenvectors 2×2 – Calculation Example
Przykład: znajdź wartości własne i wektory własne macierzy
\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \]
Krok 1 — ślad i wyznacznik: \( \operatorname{tr}(A) = 4 + 3 = 7 \), \( \det(A) = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 10 \).
Krok 2 — równanie charakterystyczne: \( \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \).
\[ \lambda_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \]
Krok 3 — wartości własne: \( \lambda_1 = 5 \), \( \lambda_2 = 2 \).
Krok 4 — wektory własne z układu \( (A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0} \). Dla \( \lambda_1 = 5 \): \( (4-5)x_1 + 2x_2 = 0 \), więc \( x_2 = 0{,}5x_1 \) oraz \( \vec{v}_1 = (1,\ 0{,}5) \). Dla \( \lambda_2 = 2 \): \( (4-2)x_1 + 2x_2 = 0 \), więc \( x_2 = -x_1 \) oraz \( \vec{v}_2 = (1,\ -1) \).
Wynik: \( \lambda_1 = 5 \) z wektorem własnym \( (1,\ 0{,}5) \); \( \lambda_2 = 2 \) z wektorem własnym \( (1,\ -1) \). Sprawdzenie: \( A\vec{v}_1 = (5,\ 2{,}5) = 5\vec{v}_1 \) oraz \( A\vec{v}_2 = (2,\ -2) = 2\vec{v}_2 \).
Jak korzystać z kalkulatora wartości własnych
- Wprowadź element a₁₁ (wiersz 1, kolumna 1). Wartość domyślna to 4.
- Wprowadź a₁₂ (wiersz 1, kolumna 2). Wartość domyślna to 2.
- Wprowadź a₂₁ (wiersz 2, kolumna 1). Wartość domyślna to 1.
- Wprowadź a₂₂ (wiersz 2, kolumna 2). Wartość domyślna to 3.
- Odczytaj wyniki: wyznacznik |A|, ślad, macierz \( A - cI \), wielomian charakterystyczny, obie wartości własne oraz wektor własny dla każdej wartości własnej.
Czym są wartości własne i wektory własne?
Wektorem własnym macierzy \( A \) nazywamy niezerowy wektor, który nie zmienia kierunku pod działaniem macierzy — jest jedynie rozciągany lub ściskany. Współczynnik tego rozciągania to wartość własna \( \lambda \). Formalnie, \( \vec{v} \) jest wektorem własnym, jeśli spełnia równanie
\[ A\vec{v} = \lambda\vec{v} \]
Geometrycznie macierz 2×2 przekształca płaszczyznę: obraca, rozciąga i ścina wektory. Większość wektorów po przekształceniu wskazuje nowy kierunek, ale co najwyżej dwa szczególne kierunki przetrwają transformację bez zmiany (poza przeskalowaniem). Te kierunki to wektory własne, a ich współczynniki skalowania to wartości własne. Dlatego rozkład na wartości własne odsłania „istotne