Калькулятор гипергеометрического распределения
Вычисляйте точные и кумулятивные гипергеометрические вероятности для выборки без возвращения. Введите объём генеральной совокупности, число успехов, число извлечений и искомое число успехов.
Вычисление гипергеометрических вероятностей
Формула гипергеометрического распределения
Обозначения:
- \(N\) — объём генеральной совокупности (общее число объектов)
- \(K\) — число успехов в совокупности (объекты с нужным свойством)
- \(n\) — число извлечений (объём выборки, извлекаемой без возвращения)
- \(k\) — искомое число успехов в выборке
Формула даёт вероятность получить ровно \(k\) успехов в выборке из \(n\) объектов, извлечённых без возвращения из конечной совокупности из \(N\) объектов, содержащей \(K\) успехов. Математическое ожидание и стандартное отклонение равны \(E(X) = nK/N\) и \(SD(X) = \sqrt{n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}}\).
Гипергеометрическое распределение — пример расчёта
Пример: в стандартной колоде 52 карты, 13 из них — черви. Вы вынимаете 5 карт и хотите узнать вероятность получить ровно 2 черви. Итак, \(N = 52\), \(K = 13\), \(n = 5\), \(k = 2\).
\[ P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \times 9139}{2598960} = \frac{712842}{2598960} \approx 0.2743 \]
Результат: \(P(X = 2) \approx 0.2743\), то есть около 27,43% (примерно 1 шанс из 4). Кумулятивная вероятность \(P(X \le 2)\) составляет около 90,72%, математическое ожидание — \(E(X) = 1.25\) черви, а стандартное отклонение — примерно 0,93.
Как пользоваться калькулятором
- Введите объём совокупности \(N\) — общее число объектов, из которых вы извлекаете выборку.
- Введите число успехов в совокупности \(K\) — сколько из этих объектов обладают нужным вам свойством.
- Введите число извлечений (объём выборки) \(n\) — сколько объектов вы извлекаете без возвращения.
- Введите искомое число успехов \(k\) — сколько успехов вы хотите получить в выборке.
- Прочитайте результаты: точную вероятность \(P(X = k)\), кумулятивные вероятности \(P(X \le k)\), \(P(X k)\) (все — в процентах), а также математическое ожидание, стандартное отклонение, формулу с подставленными значениями и словесную интерпретацию.
Что такое гипергеометрическое распределение?
Гипергеометрическое распределение описывает число успехов при извлечении фиксированного количества объектов без возвращения из конечной совокупности. Это правильная модель всякий раз, когда каждое извлечение меняет состав оставшегося: раздача карт из колоды, отбор деталей из партии для контроля качества, выбор людей для опроса из небольшой группы или розыгрыш лотерейных номеров.
Его ближайший родственник — биномиальное распределение, которое применимо, когда объекты извлекаются с возвращением (или из практически бесконечной совокупности), так что каждая попытка имеет одну и ту же вероятность успеха. В гипергеометрическом распределении каждый удалённый успех снижает долю успехов для последующих извлечений — именно это происходит с реальной колодой карт или конечной партией изделий. Если выборка мала по сравнению с совокупностью (скажем, менее 5–10%), оба распределения дают практически одинаковые ответы.
Калькулятор сразу показывает вероятность каждого исхода, что часто полезнее одного лишь точного значения. Например, контролёру качества может понадобиться \(P(X \ge k)\) — вероятность найти по крайней мере определённое число дефектных изделий, — а карточному игроку \(P(X \le k)\) — вероятность вытащить не более нескольких ключевых карт. Математическое ожидание \(E(X) = nK/N\) показывает ожидаемое число успехов в средней выборке; это просто объём выборки, умноженный на долю успехов в совокупности.
Форма распределения зависит от параметров: оно может быть симметричным, скошенным в сторону малого числа успехов или в сторону большого. Возможные значения \(X\) также ограничены: нельзя извлечь больше успехов, чем есть в совокупности, или больше объектов, чем вы извлекаете, поэтому число успехов ограничено диапазоном \([\max(0, n-(N-K)), \; \min(n, K)]\). Если ваш \(k\) выходит за пределы этого диапазона, калькулятор автоматически возвращает нулевую вероятность.
Допущения, ограничения и советы
- Выборка без возвращения: модель предполагает, что извлечённые объекты не возвращаются в совокупность. Если объекты возвращаются после каждого извлечения, используйте калькулятор биномиального распределения.
- Фиксированный объём выборки: число извлечений \(n\) должно быть определено заранее и оставаться неизменным. Если вы считаете события, происходящие случайно за фиксированный интервал времени или пространства, лучше подойдёт калькулятор распределения Пуассона.
- Равновероятные выборки: каждое возможное подмножество из \(n\) объектов должно иметь одинаковые шансы быть извлечённым. Если некоторые объекты выбираются с большей вероятностью, гипергеометрическая модель неприменима.
- Только целые числа: \(N\), \(K\), \(n\) и \(k\) должны быть целыми, причём \(1 \le N \le 1{,}000{,}000\), \(0 \le K \le N\), \(0 \le n \le N\) и \(0 \le k \le n\).
- Большие совокупности: когда \(n\) мало по сравнению с \(N\), гипергеометрическое распределение хорошо приближается биномиальным (а при больших числах — нормальным распределением), но этот калькулятор выдаёт точный результат без всяких приближений.
- Проверьте биномиальные коэффициенты: в подставленной формуле используется запись \(\binom{a}{b}\). Эти значения можно проверить с помощью калькулятора перестановок и сочетаний.
- Интерпретация нулевой вероятности: результат 0% обычно означает, что ваш \(k\) невозможен — например, вы просите 3 успеха, когда в совокупности есть только 2 успешных объекта.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить гипергеометрическую вероятность вручную?
Посчитайте число способов выбрать искомые успехи из успешных объектов \(\binom{K}{k}\), умножьте на число способов выбрать остальные извлечения из неуспешных объектов \(\binom{N-K}{n-k}\) и разделите на общее число возможных выборок \(\binom{N}{n}\). Для небольших чисел подходят факториалы: \(\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}\). Для чего-то большего используйте калькулятор, чтобы избежать арифметических ошибок с огромными факториалами.
Как получить вероятность не менее или не более k успехов?
Калькулятор выводит все четыре кумулятивные вероятности напрямую. Не менее k — это \(P(X \ge k)\); не более k — это \(P(X \le k)\). Вручную пришлось бы суммировать точные вероятности всех исходов в этом диапазоне, например \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + \dots\), что быстро становится утомительным — именно это за вас делают кумулятивные результаты.
Почему я получил вероятность, точно равную 0?
Нулевой результат почти всегда означает, что запрошенное число успехов невозможно. Выборка не может содержать больше успехов, чем есть в совокупности (\(k \le K\)), больше успехов, чем извлечений (\(k \le n\)), или меньше успехов, чем неизбежно попадает в выборку, когда почти все оставшиеся объекты — успехи. Вывод подставленной формулы показывает допустимый диапазон для ваших параметров, и любой \(k\) вне его действительно даёт 0%.
В чём разница между P(X = k) и P(X ≤ k)?
\(P(X = k)\) — это вероятность получить ровно это число успехов, например ровно 2 черви из 5 карт. \(P(X \le k)\) — вероятность получить это число или меньше: 0, 1 или 2 черви. Кумулятивное значение всегда больше. Будьте внимательны, что именно требуется в вашей задаче: «не более 2» означает \(P(X \le 2)\), а «ровно 2» — \(P(X = 2)\).
Можно ли использовать этот калькулятор для расчёта лотерейных шансов?
Да — лотерея является классическим примером гипергеометрической схемы: шары извлекаются без возвращения из конечного пула. Установите \(N\) равным общему числу шаров, \(K\) — числу номеров, совпавших с вашим билетом, \(n\) — числу извлекаемых шаров, \(k\) — нужному числу совпадений. Например, для игр «6 из 49» шанс на джекпот требует \(N = 49\), \(K = 6\), \(n = 6\), \(k = 6\).
Какие ошибки чаще всего допускают при вводе значений?
Самая частая — перепутать порядок: \(N\) — это вся совокупность, \(K\) — только объекты с нужным свойством, а \(n\) — объём выборки, а не наоборот. Другая распространённая ошибка — применение гипергеометрической модели к извлечениям с возвращением, для которых нужно биномиальное распределение. Наконец, все четыре значения должны быть целыми; доли объектов или извлечений — недопустимые входные данные.
Что на самом деле означает математическое ожидание E(X) = nK/N?
Это среднее число успехов, которое можно ожидать в одной выборке, если повторять извлечение много раз, — просто объём выборки, умноженный на долю успехов в совокупности. Если 20% партии деталей дефектны и вы проверяете 10 штук, математическое ожидание — 2 дефектные детали. Обратите внимание, что отдельные выборки отклоняются от этого значения; величину отклонения показывает стандартное отклонение, а само математическое ожидание часто не является ни целым числом, ни наиболее вероятным единичным исходом.