Калькулятор експоненціального розподілу

Q: Як обчислити ймовірності експоненціального розподілу вручну?

Усе зводиться до добутку λ t. Обчисліть λ × t (переконавшись, що обидві величини виражено в одній одиниці часу), потім знайдіть P(X ≤ t) = 1 - e^-λ t і P(X > t) = e^-λ t на будь-якому калькуляторі з клавішею e^x. Для інтервалу віднімайте: P(a ≤ X ≤ b) = e^-λ a - e^-λ b. Наприклад, при λ = 0.5 на годину і t = 4 години маємо λ t = 2, отже P(X ≤ 4) = 1 - e^-2 ≈ 0.8647.

Q: Як перейти між інтенсивністю λ і середнім часом очікування?

Ці дві величини є взаємно оберненими: λ = 1/μ і μ = 1/λ. Якщо події відбуваються в середньому раз на 12 хвилин, то λ = 1/12 на хвилину ≈ 0,0833 на хвилину, або, що те саме, 5 на годину. Стежте за одиницями: інтенсивність 3 на годину — це не 3 на хвилину, а 0,05 на хвилину. Калькулятор виконує це перетворення автоматично, тож ви можете ввести будь-який із параметрів у зручній для вас одиниці.

Q: Чи може щільність f(t) бути більшою за 1?

Так, і це не помилка. f(t) — це щільність на одиницю часу, а не ймовірність, тож її значення залежить від одиниці часу: щільність 2 на хвилину дорівнює 120 на годину, якщо виразити її на годину. Лише ймовірності, як-от F(t), S(t) та ймовірність на інтервалі, обмежені діапазоном від 0 до 1. Якщо вам потрібна фактична ймовірність для очікування, використовуйте F(t) або обчисліть P(a ≤ X ≤ b) на певному інтервалі.

Q: Як знайти час, до якого відбудеться заданий відсоток подій?

Оберніть кумулятивну функцію. p-й персентиль дорівнює t_p = -ln(1 - p)/λ. Наприклад, 95-й персентиль — це -ln(0.05)/λ ≈ 3/λ, тобто 95% очікувань закінчуються раніше ніж за три середні часи очікування, і лише 5% тривають довше. Окремий випадок p = 0.5 дає медіану ln 2/λ. Калькулятор автоматично показує медіану і 90-й персентиль у своєму підсумку.

Оновлено: 02.10.2026

Обчислюйте ймовірності експоненціального розподілу за інтенсивністю λ або середнім часом очікування: щільність, P(X ≤ t), P(X > t), ймовірність на інтервалі, середнє значення та медіану. Введіть інтенсивність, час і, за бажанням, кінець інтервалу.

Калькулятор експоненційного розподілу

Задати параметр через

Інтенсивність (λ)

Середня кількість подій за одиницю часу.

Час

Час (t)

Час очікування, який вас цікавить.

Кінець інтервалу (b)

Необов'язково: заповніть, щоб також отримати P(t ≤ X ≤ b). Залиште порожнім, щоб пропустити.

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Результати експоненційного розподілу

Щільність f(t)f(t)

Кумулятивна ймовірність P(X ≤ t)F(t)

Ймовірність виживання P(X > t)S(t)

Ймовірність інтервалу P(t ≤ X ≤ b)

Середній час очікування E(X)E(X)

Формула, медіана та інтерпретація

Формула експоненціального розподілу

Формула

\[ f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \qquad F(t) = P(X \le t) = 1 - e^{-\lambda t} \] \[ S(t) = P(X > t) = e^{-\lambda t}, \qquad P(a \le X \le b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} \] \[ E(X) = \frac{1}{\lambda}, \qquad \text{медіана} = \frac{\ln 2}{\lambda} \]

Де:

\(\lambda\) — параметр інтенсивності: середня кількість подій за одиницю часу
\(t\) — цікавий нам час очікування
\(f(t)\) — щільність ймовірності в момент часу \(t\)
\(F(t)\) — кумулятивна ймовірність очікування не довше ніж \(t\)
\(S(t)\) — ймовірність «виживання», тобто очікування довше ніж \(t\)

Експоненціальний розподіл описує час між послідовними подіями, які відбуваються незалежно одна від одної з постійною середньою інтенсивністю. Його єдиний параметр \(\lambda\) повністю визначає все; середній час очікування дорівнює просто \(1/\lambda\).

Експоненціальний розподіл — приклад обчислення

Приклад: дзвінки надходять до кол-центру в середньому з інтенсивністю 2 на годину. Яка ймовірність, що наступний дзвінок надійде протягом 1 години, і який шанс, що він надійде між 1 і 2 годинами?

\[ \lambda t = 2 \times 1 = 2 \]

\[ F(1) = 1 - e^{-2} = 1 - 0.1353 = 0.8647 \]

\[ P(1 \le X \le 2) = e^{-2} - e^{-4} = 0.1353 - 0.0183 = 0.1170 \]

Результат: P(X ≤ 1 год) = 86,47%, P(X > 1 год) = 13,53% і P(1 год ≤ X ≤ 2 год) = 11,70%. Щільність при t = 1 год становить f(1) = 2e⁻² ≈ 0,2707 на годину, середній час очікування — 0,5 години (30 хвилин), а медіана — ln(2)/2 ≈ 0,3466 години (~20,8 хвилини). Це саме ті значення, які калькулятор показує з налаштуваннями за замовчуванням.

Як користуватися калькулятором

Відкрийте Задати параметр через і оберіть, чи вводити інтенсивність \(\lambda\) (подій за час), чи середній час очікування \(\mu\). Показується лише відповідне поле.
Якщо ви обрали інтенсивність, заповніть Інтенсивність (λ) і виберіть одиницю часу, в якій вона виражена (на секунду, на хвилину, на годину, на день, на рік). Якщо обрали середнє значення, натомість заповніть Середній час очікування (μ) разом із його одиницею; калькулятор перетворює його через \(\lambda = 1/\mu\).
Введіть Час (t) — цікавий вам час очікування — і виберіть його одиницю в полі «у».
За бажанням заповніть Кінець інтервалу (b), щоб також отримати ймовірність \(P(t \le X \le b)\). Залиште поле порожнім, щоб пропустити цей результат.
Прочитайте результати: щільність \(f(t)\), кумулятивну ймовірність \(P(X \le t)\), ймовірність «виживання» \(P(X > t)\), ймовірність на інтервалі, середній час очікування, а також підсумковий рядок із медіаною, 90-м персентилем часу очікування і тлумаченням простою мовою.

Що таке експоненціальний розподіл?

Експоненціальний розподіл описує час очікування до наступної події в процесі, де події відбуваються незалежно з постійною середньою інтенсивністю — пуассонівський процес. Типові застосування: час між прибуттями клієнтів, час до розпаду радіоактивної частинки, строк служби електронного компонента або час до наступної відмови сервера.

Розподіл визначається одним параметром — інтенсивністю \(\lambda\). Щільність ймовірності \(f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\) найбільша при \(t = 0\) і плавно спадає, тобто короткі очікування є найімовірнішими. Кумулятивна функція \(F(t) = 1 - e^{-\lambda t}\) дає ймовірність того, що очікування закінчиться не пізніше часу \(t\); її доповнення — функція виживання \(S(t) = e^{-\lambda t}\) — дає ймовірність того, що після моменту \(t\) очікування триває далі.

Середнє значення і стандартне відхилення обидва дорівнюють \(1/\lambda\), але медіана \(\ln(2)/\lambda \approx 0.693/\lambda\) є меншою. Це дає практичний висновок: понад половина всіх очікувань закінчується раніше за середнє. Довге очікування можливе, але дедалі рідше — наприклад, лише 5% очікувань перевищують \(3/\lambda\).

Визначальною властивістю експоненціального розподілу є безпам’ятність (відсутність пам’яті): \(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\). Якщо лампочка має експоненціально розподілений строк служби і вже пропрацювала рік, її шанси пропрацювати ще один рік такі самі, як і тоді, коли вона була новою. Це робить розподіл неперервним аналогом геометричного розподілу і природним доповненням до розподілу Пуассона, який описує кількість подій за фіксований період, а не час між ними.

Припущення, обмеження та поради

Постійна інтенсивність. Модель припускає, що події відбуваються з незмінною середньою інтенсивністю в усі моменти часу. Якщо інтенсивність коливається (наприклад, наплив клієнтів у години пік, зношування механічних деталей), експоненціальний розподіл занижуватиме або завищуватиме ймовірності.
Незалежність. Одна подія не повинна впливати на час настання наступної. Групування (кластеризація) подій порушує це припущення.
Безпам’ятність. Якщо процес справді експоненціальний, вже минулий час очікування не несе жодної інформації про решту очікування. Реальні строки служби машин і людей зазвичай не є безпам’ятними; для них краще пасують моделі надійності, як-от розподіл Вейбулла.
Одиниці. Калькулятор перетворює всі одиниці всередині, тож ви можете ввести інтенсивність у годинах, а час — у хвилинах, не виконуючи жодних обчислень самостійно. Один рік береться рівним 365 дням.
Щільність проти ймовірності. \(f(t)\) — це щільність на одиницю часу, а не ймовірність, і вона може перевищувати 1. Змістовними ймовірнісними твердженнями є \(F(t)\), \(S(t)\) та ймовірність на інтервалі.
Якщо вам потрібно моделювати кількості подій, а не час очікування, скористайтеся калькулятором розподілу Пуассона; для результатів «так/ні» за фіксованої кількості випробувань дивіться калькулятор біномного розподілу, а для симетричних неперервних даних — калькулятор нормального розподілу.

Часті запитання

Як обчислити ймовірності експоненціального розподілу вручну?

Усе зводиться до добутку \(\lambda t\). Обчисліть \(\lambda \times t\) (переконавшись, що обидві величини виражено в одній одиниці часу), потім знайдіть \(P(X \le t) = 1 - e^{-\lambda t}\) і \(P(X > t) = e^{-\lambda t}\) на будь-якому калькуляторі з клавішею \(e^x\). Для інтервалу віднімайте: \(P(a \le X \le b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}\). Наприклад, при \(\lambda = 0.5\) на годину і \(t = 4\) години маємо \(\lambda t = 2\), отже \(P(X \le 4) = 1 - e^{-2} \approx 0.8647\).

Як перейти між інтенсивністю λ і середнім часом очікування?

Ці дві величини є взаємно оберненими: \(\lambda = 1/\mu\) і \(\mu = 1/\lambda\). Якщо події відбуваються в середньому раз на 12 хвилин, то \(\lambda = 1/12\) на хвилину ≈ 0,0833 на хвилину, або, що те саме, 5 на годину. Стежте за одиницями: інтенсивність 3 на годину — це не 3 на хвилину, а 0,05 на хвилину. Калькулятор виконує це перетворення автоматично, тож ви можете ввести будь-який із параметрів у зручній для вас одиниці.

Чому медіана менша за середній час очікування?

Експоненціальний розподіл має правобічну асиметрію, тому кілька дуже довгих очікувань підтягують середнє вгору. Медіана дорівнює \(\ln 2/\lambda \approx 0.693/\lambda\), тобто близько 69% від середнього \(1/\lambda\). На практиці це означає, що понад половина всіх очікувань закінчується раніше за середнє: при середньому 30 хвилин медіана становить лише близько 20,8 хвилини. Багато хто вважає, що «середнє» означає «типове» — тут це не так.

Коли варто використовувати експоненціальний розподіл замість розподілу Пуассона?

Вони описують дві сторони одного процесу. Використовуйте розподіл Пуассона, коли ви рахуєте, скільки подій відбувається за фіксований період (наприклад, кількість дзвінків за годину). Використовуйте експоненціальний розподіл, коли ви вимірюєте час до наступної події (наприклад, хвилини до наступного дзвінка). Якщо події утворюють пуассонівський процес з інтенсивністю \(\lambda\), час очікування між ними має експоненціальний розподіл з тією самою інтенсивністю \(\lambda\).

Чи може щільність f(t) бути більшою за 1?

Так, і це не помилка. \(f(t)\) — це щільність на одиницю часу, а не ймовірність, тож її значення залежить від одиниці часу: щільність 2 на хвилину дорівнює 120 на годину, якщо виразити її на годину. Лише ймовірності, як-от \(F(t)\), \(S(t)\) та ймовірність на інтервалі, обмежені діапазоном від 0 до 1. Якщо вам потрібна фактична ймовірність для очікування, використовуйте \(F(t)\) або обчисліть \(P(a \le X \le b)\) на певному інтервалі.

Як знайти час, до якого відбудеться заданий відсоток подій?

Оберніть кумулятивну функцію. \(p\)-й персентиль дорівнює \(t_p = -\ln(1 - p)/\lambda\). Наприклад, 95-й персентиль — це \(-\ln(0.05)/\lambda \approx 3/\lambda\), тобто 95% очікувань закінчуються раніше ніж за три середні часи очікування, і лише 5% тривають довше. Окремий випадок \(p = 0.5\) дає медіану \(\ln 2/\lambda\). Калькулятор автоматично показує медіану і 90-й персентиль у своєму підсумку.

Які типові помилки при використанні цього розподілу?

Найбільша з них — застосовувати його до процесів, які не є безпам’ятними. Механічні деталі, що зношуються, тривалість життя людей і трафік у години пік мають змінну інтенсивність відмов, і зазвичай краще пасує розподіл Вейбулла. Інші часті помилки: змішування одиниць (інтенсивність на годину з часом у хвилинах), плутання інтенсивності із середнім значенням і тлумачення щільності \(f(t)\) як ймовірності. Також пам'ятайте, що модель припускає незалежність подій — кластеризовані надходження її порушують. Для рішень у сфері здоров’я або надійності спершу перевірте припущення про постійну інтенсивність на даних.