Калькулятор біноміального розподілу

Q: Як обчислити біноміальну ймовірність вручну, без калькулятора?

Скористайтеся формулою P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k . Спочатку обчисліть біноміальний коефіцієнт, наприклад binom105 = (10!)/(5! · 5!) = 252 . Потім помножте на p^k та (1-p)^n-k . Для малих n можна також перелічити всі результати, але факторіали зростають надзвичайно швидко, тож ручні обчислення стають непрактичними приблизно після n = 20 .

Q: Яка різниця між «принаймні», «не більше ніж» та «рівно» k успіхів?

«Рівно» — це окрема ймовірність: P(X = k) . «Не більше ніж» означає k або менше: P(X ≤ k) . «Принаймні» означає k або більше: P(X ≥ k) . Типова помилка — плутати «принаймні k » з «більше ніж k »: перше включає саме k , друге — це P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) . Блок інтерпретації в результатах показує обидва варіанти.

Q: Як перетворити шанси або ймовірність «1 з N» у ймовірність p?

Калькулятор очікує p у відсотках. Якщо у вас шанси «a до b», перетворіть за формулою p = a/(a+b) і помножте на 100. Шанс «1 з 6» (як підкидання кубика) означає p ≈ 16.67% ; «1 зі 100» означає ввести 1. Десяткові ймовірності перетворюються безпосередньо: 0,35 дорівнює 35%.

Q: Що означає середнє np і чи може фактичний результат сильно від нього відрізнятися?

Середнє μ = np — це очікувана середня кількість успіхів за багатьох повторень, а не прогноз для окремого експерименту. Окремі результати зазвичай потрапляють приблизно в межі μ ± 2σ (приблизно у 95% випадків), де σ = √(np(1-p)) . Наприклад, при n = 100 , p = 0.5 : очікуйте близько 50 успіхів, зазвичай від 40 до 60.

Оновлено: 02.10.2026

Обчислюйте біноміальні ймовірності: P(X = k), кумулятивні P(X ≤ k), P(X ≥ k) або діапазон успіхів. Введіть кількість випробувань, ймовірність успіху та k, щоб також отримати середнє, дисперсію та стандартне відхилення.

Обчислення біноміальних ймовірностей

Кількість випробувань (n)

Кількість незалежних випробувань Бернуллі. Ціле число від 1 до 10 000.

Ймовірність успіху (p)

Шанс успіху в одному випробуванні, від 0% до 100%.

Успіхи, що цікавлять

Кількість успіхів (k)

Ціле число від 0 до n. У режимі діапазону це нижня межа k₁.

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Ваші результати

P(X = k)pmf

P(X ≤ k)cdf

P(X ≥ k)

P(k₁ ≤ X ≤ k₂)

Середнєμ

Дисперсіяσ²

Стандартне відхиленняσ

Інтерпретація та деталі

Формула біноміального розподілу

Формула

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \\ P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \qquad P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) \\ \mu = np, \qquad \sigma^2 = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

Де:

\(n\) — кількість незалежних випробувань
\(p\) — ймовірність успіху в одному випробуванні (від 0 до 1)
\(k\) — потрібна кількість успіхів (\(0 \le k \le n\))
\(\binom{n}{k}\) — біноміальний коефіцієнт, кількість способів вибрати \(k\) успіхів серед \(n\) випробувань
\(\mu\), \(\sigma^2\), \(\sigma\) — середнє, дисперсія та стандартне відхилення розподілу

Перша формула задає функцію ймовірностей (pmf): шанс отримати рівно \(k\) успіхів у \(n\) випробуваннях. Друга дає функцію розподілу (cdf) — шанс отримати не більше ніж \(k\) успіхів, обчислений підсумовуванням pmf від 0 до \(k\).

Біноміальний розподіл — приклад обчислення

Приклад: справедливу монету підкидають 10 разів. Яка ймовірність отримати рівно 5 «орлів»? Тут \(n = 10\), \(p = 0.5\), \(k = 5\).

\[ P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^{10-5} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = 0.246094 \approx 24.61\% \]

\[ P(X \le 5) = \sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}(0.5)^{10} = \frac{638}{1024} = 0.623047 \approx 62.30\% \]

\[ \mu = 10 \cdot 0.5 = 5, \qquad \sigma^2 = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5, \qquad \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811 \]

Результат: P(X = 5) = 0,246094 (24,61%), P(X ≤ 5) = 0,623047 (62,30%), P(X ≥ 5) = 0,623047 (62,30%), середнє = 5, дисперсія = 2,5, стандартне відхилення ≈ 1,5811.

Як користуватися калькулятором

Введіть Кількість випробувань (n) — ціле число від 1 до 10 000.
Введіть Ймовірність успіху (p) у відсотках від 0% до 100% (наприклад, введіть 50 для справедливої монети).
Виберіть режим у полі Кількість успіхів, що нас цікавлять: «Рівно k успіхів» для окремого значення або «Від k₁ до k₂ успіхів» для діапазону.
Введіть Кількість успіхів (k). У режимі діапазону це нижня межа k₁.
Якщо ви обрали режим діапазону, також введіть Верхню межу (k₂), яка має бути не меншою за k₁.
Прочитайте результати: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k), а в режимі діапазону — P(k₁ ≤ X ≤ k₂), а також середнє, дисперсію та стандартне відхилення. Блок інтерпретації також містить додаткові ймовірності, як-от P(X < k) і P(X > k).

Що таке біноміальний розподіл?

Біноміальний розподіл описує кількість успіхів у фіксованому числі незалежних випробувань, де кожне випробування має однакову ймовірність успіху \(p\). Кожне випробування має рівно два результати — успіх або невдачу — саме тому його називають випробуванням Бернуллі. Класичні приклади: кількість «орлів» у серії підкидань монети, кількість дефектних виробів у вибірці або кількість пацієнтів, які реагують на лікування.

Середнє розподілу дорівнює \(\mu = np\): у середньому ви очікуєте \(n \cdot p\) успіхів. Розкид вимірюється дисперсією \(\sigma^2 = np(1-p)\) та стандартним відхиленням \(\sigma\). Коли \(p = 0.5\), розподіл симетричний навколо \(n/2\); коли \(p\) близьке до 0 або 1, він стає асиметричним, зосереджуючись поблизу 0 або поблизу \(n\).

Калькулятор розрізняє точні та кумулятивні ймовірності. Функція ймовірностей (pmf) відповідає на питання «який шанс отримати рівно k успіхів», тоді як функція розподілу (cdf) — «який шанс отримати не більше ніж k успіхів». На практиці кумулятивні значення часто корисніші: наприклад, якщо k — це поріг якості, P(X ≤ k) показує ймовірність залишитися в межах норми, а 1 − P(X ≤ k) — ймовірність її перевищити. Зверніть увагу, що P(X ≥ k) враховує саме k; якщо вам потрібно строго більше ніж k, використовуйте P(X > k) = 1 − P(X ≤ k), що показано в блоці інтерпретації.

Припущення, обмеження та поради

Фіксована кількість випробувань. \(n\) має бути визначено заздалегідь. Якщо кількість випробувань сама є випадковою, краще підходить інша модель (наприклад, розподіл Пуассона).
Незалежність. Результат одного випробування не повинен впливати на інші. Вибірка без повернення з малої генеральної сукупності порушує цю умову; у такому разі використовуйте гіпергеометричний розподіл.
Стала ймовірність успіху. \(p\) має бути однаковою для кожного випробування. Якщо вона змінюється від випробування до випробування, біноміальна модель вже не застосовується.
Великі n. Калькулятор використовує чисельно стійкий метод лог-гамма-функції, тому справляється з великими \(n\) (до 10 000) без переповнення. Для дуже малих ймовірностей результат показується в науковому записі.
Інтерпретація дуже малих ймовірностей. Результат виду «≈ 0%» не означає неможливість — він може означати лише, що ймовірність менша за приблизно \(10^{-8}\). Перевірте десяткове значення, показане поруч із відсотками.
Грубе правило для апроксимації. За великих \(n\), коли \(np\) та \(n(1-p)\) обидві більші, ніж приблизно 5, біноміальний розподіл добре апроксимується нормальним розподілом із середнім \(np\) та стандартним відхиленням \(\sqrt{np(1-p)}\) — зручно для швидких оцінок у голові.

Часті запитання

Як обчислити біноміальну ймовірність вручну, без калькулятора?

Скористайтеся формулою \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \). Спочатку обчисліть біноміальний коефіцієнт, наприклад \( \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \). Потім помножте на \( p^k \) та \( (1-p)^{n-k} \). Для малих \( n\) можна також перелічити всі результати, але факторіали зростають надзвичайно швидко, тож ручні обчислення стають непрактичними приблизно після \( n = 20 \).

Яка різниця між «принаймні», «не більше ніж» та «рівно» k успіхів?

«Рівно» — це окрема ймовірність: \( P(X = k) \). «Не більше ніж» означає \( k \) або менше: \( P(X \le k) \). «Принаймні» означає \( k \) або більше: \( P(X \ge k) \). Типова помилка — плутати «принаймні \( k \)» з «більше ніж \( k \)»: перше включає саме \( k \), друге — це \( P(X > k) = 1 - P(X \le k) \). Блок інтерпретації в результатах показує обидва варіанти.

Як перетворити шанси або ймовірність «1 з N» у ймовірність p?

Калькулятор очікує \( p \) у відсотках. Якщо у вас шанси «a до b», перетворіть за формулою \( p = \frac{a}{a+b} \) і помножте на 100. Шанс «1 з 6» (як підкидання кубика) означає \( p \approx 16.67\% \); «1 зі 100» означає ввести 1. Десяткові ймовірності перетворюються безпосередньо: 0,35 дорівнює 35%.

Як знайти ймовірність діапазону, наприклад від 3 до 7 успіхів?

Виберіть режим «Від k₁ до k₂ успіхів», введіть 3 як кількість успіхів і 7 як верхню межу. Калькулятор обчислює \( P(k_1 \le X \le k_2) \), підсумовуючи окремі ймовірності. Вручну той самий результат отримують із \( P(X \le k_2) - P(X \le k_1 - 1) \). Обидві межі включні, тож діапазон 3–7 охоплює 3, 4, 5, 6 і 7 успіхів.

Коли слід використовувати біноміальний розподіл замість Пуассона, нормального або гіпергеометричного?

Використовуйте біноміальний розподіл, коли кількість випробувань фіксована, а результати незалежні зі сталою \( p \). Використовуйте гіпергеометричний розподіл, коли вибірка береться без повернення з малої генеральної сукупності (наприклад, витягування карт). Використовуйте розподіл Пуассона, коли рахують події за фіксований інтервал, а не за фіксовану кількість випробувань. Нормальний розподіл — це апроксимація, точна, коли \( np \) та \( n(1-p) \) обидві перевищують 5.

Що означає середнє np і чи може фактичний результат сильно від нього відрізнятися?

Середнє \( \mu = np \) — це очікувана середня кількість успіхів за багатьох повторень, а не прогноз для окремого експерименту. Окремі результати зазвичай потрапляють приблизно в межі \( \mu \pm 2\sigma \) (приблизно у 95% випадків), де \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \). Наприклад, при \( n = 100 \), \( p = 0.5 \): очікуйте близько 50 успіхів, зазвичай від 40 до 60.

Чому мій результат показано як «≈ 0%» — чи справді цей результат неможливий?

Ні, він не неможливий. «≈ 0%» лише означає, що ймовірність менша за приблизно \( 10^{-8} \). Перевірте десяткове значення, показане поруч із відсотками — дуже малі ймовірності відображаються в науковому записі, наприклад \( 2.5 \times 10^{-12} \). За великих \( n\) значення, далекі від середнього \( np \), можуть бути астрономічно малоймовірними, але математично можливими.