Калькулятор розподілу Вейбулла

Q: Як обчислити імовірності за розподілом Вейбулла вручну або в Excel?

Вручну спочатку обчисліть (t/λ)^k, потім F(t) = 1 - e^-(t/λ)^k і S(t) = e^-(t/λ)^k. В Excel чи Google Таблицях використовуйте функцію WEIBULL.DIST(t, k, λ, TRUE) для кумулятивної імовірності, а з аргументом FALSE — для густини. Наприклад, за k = 2, λ = 10, t = 5: WEIBULL.DIST(5, 2, 10, TRUE) повертає приблизно 0,2212.

Q: Яке типове значення параметра форми k?

Це залежить від механізму відмов. k 1 — зносу. Емпірично підшипники часто мають k ≈ 1.5–3, втома металів — близько k = 2–4, а електронні компоненти — зазвичай близько 1. Універсального «правильного» значення немає — воно відображає те, як виріб відмовляє насправді.

Q: Чим інтенсивність відмов відрізняється від густини f(t)?

Густина f(t) — це безумовна імовірність відмови за одиницю часу для нового виробу. Інтенсивність h(t) — величина умовна: вона стосується лише виробів, які вже пропрацювали до моменту t. Вони пов’язані співвідношенням h(t) = f(t)/S(t). На практиці інтенсивність відповідає на питання «який ризик відмови саме зараз, у віці t?», тоді як густина розподіляє відмови по всій сукупності, починаючи з нульового віку.

Q: Які типові помилки під час користування цим калькулятором?

Найчастіші помилки — змішування одиниць (наприклад, λ у годинах, а t у днях), трактування F(t) як надійності (а їх сума дорівнює 1) і розгляд інтенсивності відмов як імовірності — це відсоткова ставка за одиницю часу, і вона може перевищувати 1. Також пам’ятайте: цей інструмент обчислює розподіл за заданими k і λ; він не оцінює параметри за вашими даними про відмови та припускає, що відмови можливі з нульового моменту часу.

Оновлено: 08.10.2026

Введіть параметри форми та масштабу розподілу Вейбулла, щоб обчислити густину, імовірність відмови та безвідмовної роботи, інтенсивність відмов, середній і медіанний час до відмови або імовірність відмови протягом заданого інтервалу.

Оцініть імовірності відмови чи виживання з часом

Параметр форми

Параметр форми k: k < 1 — спадна інтенсивність відмов ("дитяча смертність"), k = 1 — стала (експоненційний розподіл), k > 1 — зростаюча (зношування).

Параметр масштабу

Масштаб λ — у тих самих одиницях часу, що й t; він дорівнює часу, до якого відмовляють 63,2 % виробів. Має бути більшим за 0.

Що обчислити

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Результати для розподілу Вейбула

Щільність у момент часуf(t)

Накопичена ймовірність P(T ≤ t)F(t)

Ймовірність виживання P(T > t)S(t)

Інтенсивність відмов (миттєва інтенсивність відмов)

Ймовірність на інтервалі P(a ≤ T ≤ b)P(a≤T≤b)

Середній час до відмови

Медіанний час до відмови

Як це працює і як інтерпретувати результати

Формула розподілу Вейбулла

Формула

\[ F(t) = 1 - e^{-(t/λ)^k} \ \ \ S(t) = e^{-(t/λ)^k} \\ f(t) = \frac{k}{λ}\left(\frac{t}{λ}\right)^{k-1} e^{-(t/λ)^k} \ \ \ h(t) = \frac{k}{λ}\left(\frac{t}{λ}\right)^{k-1} \\ \mathrm{MTTF} = λ\,\Gamma\!\left(1+\frac{1}{k}\right) \ \ \ t_{\mathrm{median}} = λ\,(\ln 2)^{1/k} \\ P(a \le T \le b) = e^{-(a/λ)^k} - e^{-(b/λ)^k} \]

Де:

\(k\) — параметр форми; визначає, як інтенсивність відмов змінюється з часом (\(k > 0\))
\(λ\) — масштабний параметр, у тих самих одиницях часу, що й \(t\); грубо кажучи, це характеристичний ресурс (\(λ > 0\))
\(T\) — випадковий час до відмови
\(\Gamma\) — гамма-функція

Розподіл Вейбулла описує час до настання події, наприклад відмови компонента. Функція розподілу \(F(t)\) дає імовірність відмови до моменту \(t\), функція надійності \(S(t)\) — імовірність того, що виріб досі працює, а інтенсивність відмов \(h(t)\) — миттєву частоту відмов виробу, який уже пропрацював до цього часу.

Розподіл Вейбулла — приклад обчислення

{example}

Приклад: ресурс компонента має розподіл Вейбулла з параметром форми \(k = 2\) і масштабом \(λ = 10\) (у тисячах годин). Яка імовірність, що він відмовить протягом \(t = 5\) тисяч годин, і якою в цей момент буде інтенсивність відмов?

\[ \left(\frac{t}{λ}\right)^k = \left(\frac{5}{10}\right)^2 = 0.25 \]

\[ F(5) = 1 - e^{-0.25} \approx 0.22120 \quad S(5) = e^{-0.25} \approx 0.77880 \]

\[ f(5) = \frac{2}{10}\cdot 0.5 \cdot e^{-0.25} \approx 0.07788 \quad h(5) = \frac{2}{10}\cdot 0.5 = 0.1 \]

\[ \mathrm{MTTF} = 10\,\Gamma(1.5) \approx 8.8623 \quad t_{\mathrm{median}} = 10\sqrt{\ln 2} \approx 8.3255 \]

Результат: близько 22,12% таких компонентів відмовляють протягом 5 одиниць часу (77,88% продовжують працювати), густина розподілу в цей момент \(f(5) \approx 0.07788\), інтенсивність відмов — 0,1 на одиницю часу, а середній і медіанний ресурс становлять приблизно 8,86 і 8,33 одиниці часу.

{/example}

Як користуватися калькулятором розподілу Вейбулла

Введіть параметр форми \(k\). Значення менші за 1 описують спадну інтенсивність відмов, \(k = 1\) — сталу, а більші за 1 — зростаючу (внаслідок зносу).
Введіть масштабний параметр \(λ\) у тих самих одиницях часу, які ви використовуватимете для введення часу.
У полі Що обчислити виберіть режим: В окремий момент часу t або На інтервалі [a, b].
Для окремого моменту введіть Час \(t\). Для інтервалу — Нижню межу \(a\) і Верхню межу \(b\) (за умови \(b > a\)).
Зчитайте результати: густину \(f(t)\), кумулятивну імовірність \(F(t)\), імовірність безвідмовної роботи \(S(t)\), інтенсивність відмов, імовірність для інтервалу (в режимі інтервалу), а також середній і медіанний час до відмови.

Що таке розподіл Вейбулла?

Розподіл Вейбулла — одна з найуживаніших моделей в інженерії надійності та аналізі виживання. Він описує час до відмови або іншої події — ресурс підшипника, лампочки, електронного компонента або час до рецидиву після лікування. Популярність цієї моделі пояснюється її гнучкістю: змінивши лише один параметр, можна відтворити три класичні сценарії відмов упродовж життя виробу.

Параметр форми \(k\) визначає поведінку інтенсивності відмов. За \(k < 1\) інтенсивність відмов з часом зменшується, що відповідає ефекту «дитячої смертності»: дефектні вироби відмовляють рано, а ті, що вижили, стають дедалі надійнішими. За \(k = 1\) інтенсивність стала, і розподіл Вейбулла зводиться до експоненційного розподілу, у якому вік не несе жодної інформації про майбутній ризик. За \(k > 1\) інтенсивність відмов зростає — це описує процеси зношування, як-от втома металу, корозія чи старіння матеріалу; за \(k \approx 3.4\) розподіл стає майже симетричним, близьким до нормального розподілу.

Масштабний параметр \(λ\) розтягує або стискає вісь часу. Корисна інтерпретація: до моменту \(t = λ\) відмовляє рівно \(1 - e^{-1} \approx 63.2\%\) виробів, незалежно від \(k\). Саме тому \(λ\) часто називають характеристичним ресурсом. Якщо подвоїти \(λ\), лишивши \(k\) незмінним, усі ресурси просто подвоються.

Тлумачачи результати, тримайте в голові, на яке питання ви шукаєте відповідь. \(F(t)\) відповідає на «яка частка відмовляє до моменту \(t\)?» — це зручно для планування гарантії. \(S(t)\) — на «яка частка досі працює?» — це надійність у віці \(t\). Інтенсивність відмов відповідає на умовне питання: якщо виріб уже дожив до \(t\), з якою швидкістю він відмовляє саме зараз? Інтенсивність 0,1 на одиницю часу при \(t = 5\) означає, що серед виробів, які досі працюють у цьому віці, за найближчий короткий проміжок відмовляє близько 10% за одиницю часу.

Припущення, обмеження та практичні поради

Двопараметрична модель. Калькулятор припускає двопараметричний розподіл Вейбулла з носієм від нуля. Якщо дані вказують на мінімальний пороговий час, раніше якого відмови неможливі, знадобиться трипараметричний розподіл Вейбулла (з параметром зсуву).
Незалежні однакові вироби. Імовірності описують сукупність номінально однакових виробів, які працюють у подібних умовах. Вони не враховують супутні чинники — навантаження, температуру, інтенсивність експлуатації; для цього потрібні регресійні моделі на основі розподілу Вейбулла.
Однакові одиниці. Значення \(t\), \(a\), \(b\) і \(λ\) мають бути в одних одиницях (години, дні, цикли). Змішування одиниць — найпоширеніша причина хибних відповідей.
Параметри беруть із даних. На практиці \(k\) і \(λ\) оцінюють за даними про відмови (наприклад, регресією медіанних рангів або методом максимальної правдоподібності). Калькулятор обчислює розподіл за заданими параметрами, а не підбирає їх.
Асиметричні ресурси. Якщо дані про відмови сильно зміщені праворуч, але інтенсивність не підпорядковується степеневому закону, у задачах надійності поширеною альтернативою є логнормальний розподіл; порівняння обох моделей — гарна практика.
Екстремальні значення параметрів. Дуже мале або дуже велике \(k\) може давати числово екстремальні значення середнього, яке обчислюється через гамма-функцію; такі результати варто тлумачити обережно.

Часті запитання

Як обчислити імовірності за розподілом Вейбулла вручну або в Excel?

Вручну спочатку обчисліть \((t/λ)^k\), потім \(F(t) = 1 - e^{-(t/λ)^k}\) і \(S(t) = e^{-(t/λ)^k}\). В Excel чи Google Таблицях використовуйте функцію WEIBULL.DIST(t, k, λ, TRUE) для кумулятивної імовірності, а з аргументом FALSE — для густини. Наприклад, за \(k = 2\), \(λ = 10\), \(t = 5\): WEIBULL.DIST(5, 2, 10, TRUE) повертає приблизно 0,2212.

Яке типове значення параметра форми k?

Це залежить від механізму відмов. \(k 1\) — зносу. Емпірично підшипники часто мають \(k \approx 1.5\text{–}3\), втома металів — близько \(k = 2\text{–}4\), а електронні компоненти — зазвичай близько 1. Універсального «правильного» значення немає — воно відображає те, як виріб відмовляє насправді.

Як перерахувати результати, якщо масштаб задано в годинах, а потрібні дні чи цикли?

Усі вхідні дані мають бути в одних одиницях, тож спочатку переведіть їх. Якщо \(λ\) дорівнює 240 годинам, а вам потрібні дні, поділіть на 24 і отримаєте \(λ = 10\) днів; \(t\), \(a\), \(b\) також вводьте в днях. Імовірності та \(k\) від зміни одиниць не залежать — пропорційно змінюються лише \(λ\), час, MTTF і медіана. Інтенсивність відмов перераховується обернено: інтенсивність на годину становитиме \(1/24\) від значення на день.

Чим інтенсивність відмов відрізняється від густини f(t)?

Густина \(f(t)\) — це безумовна імовірність відмови за одиницю часу для нового виробу. Інтенсивність \(h(t)\) — величина умовна: вона стосується лише виробів, які вже пропрацювали до моменту \(t\). Вони пов’язані співвідношенням \(h(t) = f(t)/S(t)\). На практиці інтенсивність відповідає на питання «який ризик відмови саме зараз, у віці t?», тоді як густина розподіляє відмови по всій сукупності, починаючи з нульового віку.

Чому середній і медіанний час до відмови різні?

Розподіл Вейбулла здебільшого асиметричний, тому середнє значення й медіана рідко збігаються. Медіана дорівнює \(λ(\ln 2)^{1/k}\) — це вік, у якому відмовило 50% виробів, а середнє значення \(λ\,\Gamma(1+1/k)\) зміщується довгим або коротким «хвостом» розподілу. Для планування гарантії чи запчастин медіана (або інші перцентилі) часто корисніша, адже вона описує те, що переживає типовий виріб.

Чи можна знайти час, до якого відмовляє заданий відсоток виробів, наприклад ресурс B10?

Так — оберніть функцію розподілу. Час, до якого відмовляє частка \(p\), обчислюється як \(t_p = λ[-\ln(1-p)]^{1/k}\). Наприклад, для ресурсу B10 (відмовило 10%) беруть \(p = 0.1\): \(t_{10} = λ(-\ln 0.9)^{1/k}\). Калькулятор працює у прямому напрямку, але цю формулу можна застосувати самостійно або підбирати \(t\) у калькуляторі, поки \(F(t)\) не сягне потрібного відсотка.

Які типові помилки під час користування цим калькулятором?

Найчастіші помилки — змішування одиниць (наприклад, \(λ\) у годинах, а \(t\) у днях), трактування \(F(t)\) як надійності (а їх сума дорівнює 1) і розгляд інтенсивності відмов як імовірності — це відсоткова ставка за одиницю часу, і вона може перевищувати 1. Також пам’ятайте: цей інструмент обчислює розподіл за заданими \(k\) і \(λ\); він не оцінює параметри за вашими даними про відмови та припускає, що відмови можливі з нульового моменту часу.