Калькулятор логнормального розподілу

Q: Я знаю середнє і стандартне відхилення своїх «сирих» даних, а не ln(X). Як їх перетворити?

Якщо відомі вибіркове середнє m і стандартне відхилення s самої величини X, перетворіть їх так: σ^2 = ln(1 + s^2/m^2) і μ = ln(m) - σ^2/2. Наприклад, якщо m = 2, а s = 1, то σ^2 = ln(1.25) ≈ 0.2231 і μ ≈ 0.6931 - 0.1116 ≈ 0.5816. Не вводьте m і s безпосередньо — це найпоширеніша помилка.

Q: Як знайти перцентилі або моду логнормального розподілу?

p-й перцентил дорівнює x_p = exp(μ + σ z_p), де z_p — p-й перцентил стандартного нормального розподілу; медіані відповідає z_0.5 = 0, звідки отримуємо e^μ. Мода дорівнює e^μ - σ^2 і через праву асиметрію завжди лежить нижче за медіану. Щоб обернути відомий перцентил, розв’яжіть рівняння μ = ln x_p - σ z_p.

Q: Які дисперсія і стандартне відхилення самої величини X?

Для логнормальної величини Var(X) = (e^σ^2 - 1) e^2μ + σ^2, отже SD(X) = e^μ + σ^2/2sqrte^σ^2 - 1. Зауважте: σ — це не стандартне відхилення X, воно описує лише розкид на логарифмічній шкалі. За μ = 0, σ = 0.5 маємо SD(X) ≈ 1.1331 × 0.5311 ≈ 0.602, тоді як саме σ = 0.5.

Q: Чому середнє X більше за медіану і яке значення варто повідомляти?

Логнормальний розподіл асиметричний вправо: середнє = e^μ + σ^2/2, медіана = e^μ, мода = e^μ - σ^2, тому завжди виконується середнє > медіана > мода. Розрив зростає зі збільшенням σ, бо кілька екстремальних значень у довгому «хвості» тягнуть середнє вгору. Для опису «типового» значення — доходів, цін, розмірів частинок — медіана зазвичай є стійкішим і репрезентативнішим вибором.

Оновлено: 08.10.2026

Вкажіть середнє та стандартне відхилення ln(X), щоб обчислити логнормальні ймовірності: щільність і функцію розподілу в точці, ймовірність на інтервалі, а також середнє та медіану величини X.

Ймовірності для логнормальної величини

Основна нормальна величина ln(X)

Середнє ln(X)

Середнє μ нормального розподілу величини ln(X) — а не середнє самої X. Медіана X дорівнює e^μ.

Стандартне відхилення ln(X)

Стандартне відхилення σ величини ln(X); чим воно більше, тим «важчий» правий хвіст розподілу X.

Що обчислити

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Ймовірності та параметри

Густина в точціf(x)

Накопичена ймовірність P(X ≤ значення)F(x)

Ймовірність на інтервалі P(a ≤ X ≤ b)P(a≤X≤b)

Середнє значення XE(X)

Медіана XMed(X)

Як це працює та як інтерпретувати результат

Формула логнормального розподілу

Формула

\[ f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x > 0 \\ F(x) = P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) \\ P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{\ln b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{\ln a - \mu}{\sigma}\right) \\ E(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}, \quad \mathrm{Med}(X) = e^{\mu} \]

Де:

\(\mu\) — середнє нормального розподілу величини \(\ln(X)\) (а не середнє самої \(X\))
\(\sigma\) — стандартне відхилення \(\ln(X)\), причому \(\sigma > 0\)
\(x, a, b\) — додатні значення логнормальної величини \(X\)
\(\Phi\) — функція розподілу стандартного нормального розподілу

Величина \(X\) має логнормальний розподіл, якщо її натуральний логарифм \(\ln(X)\) розподілений нормально. Тому будь-яку ймовірність для \(X\) можна отримати точно, перейшовши до нормальної шкали: відніміть \(\mu\), поділіть на \(\sigma\) і знайдіть результат за функцією розподілу стандартного нормального закону.

Логнормальний розподіл — приклад обчислення

Приклад: логнормальна величина з \(\mu = 0\) і \(\sigma = 0.5\) для \(\ln(X)\). Якими є щільність і накопичена ймовірність при \(x = 2\)?

\[ z = \frac{\ln x - \mu}{\sigma} = \frac{\ln 2 - 0}{0.5} = \frac{0.6931}{0.5} \approx 1.3863 \]

\[ F(2) = \Phi(1.3863) \approx 0.9172, \qquad f(2) = \frac{e^{-(1.3863)^2/2}}{2 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{0.3825}{2.5066} \approx 0.1526 \]

Результат: \(f(2) \approx 0.1526\), \(P(X \le 2) \approx 0.9172\) (тобто 91,72 %), отже \(P(X > 2) \approx 8.28\%\). Параметри розподілу: \(E(X) = e^{0 + 0.125} \approx 1.1331\) і \(\mathrm{Med}(X) = e^{0} = 1\).

Як користуватися калькулятором

Введіть середнє ln(X) (\(\mu\)) — це середнє логарифмів, а не самих значень.
Введіть стандартне відхилення ln(X) (\(\sigma\)); воно має бути більшим за 0.
У полі Що обчислити оберіть ймовірність в одній точці x або ймовірність на інтервалі [a, b].
Для окремої точки вкажіть значення X; для інтервалу — нижню та верхню межі. Усі значення \(X\) мусять бути додатними.
Зчитайте результати: щільність \(f(x)\), накопичену ймовірність \(F(x)\) або ймовірність на інтервалі, а також середнє та медіану \(X\). У блоці інтерпретації також показано доповняльну ймовірність і моду.

Що таке логнормальний розподіл?

Логнормальний розподіл описує додатну величину, яка зростає мультиплікативно — накопичений результат багатьох незалежних відсоткових змін. Оскільки основа \(\ln(X)\) розподілена нормально, сама \(X\) ніколи не буває нульовою чи від’ємною і має довгий правий «хвіст». Типові приклади: ціни акцій і дохідність активів у часі, доходи домогосподарств, розміри міст, кількість опадів, час до відмови в дослідженнях надійності, розміри частинок або крапель в інженерних задачах.

Форму розподілу на логарифмічній шкалі задають два параметри: \(\mu\) зсуває весь розподіл (медіана \(X\) дорівнює точно \(e^{\mu}\)), а \(\sigma\) визначає розкид. Чим більше \(\sigma\), тим важчий правий «хвіст» і сильніша асиметрія, тому кілька дуже великих спостережень можуть витягнути середнє значно вище за медіану.

Корисний спосіб інтерпретувати результат — порядок середнє > медіана > мода, який є характерною ознакою правої асиметрії. У прикладі вище медіана дорівнює 1, а середнє — приблизно 1,1331; ця різниця повністю зумовлена «хвостом» із боку великих значень. Якщо ваші дані виявляють таку закономірність (перевірте за допомогою калькулятора асиметрії та ексцесу), логнормальна модель часто стає природним вибором. А щоб швидко пригадати, як накопичені ймовірності перетворюються на шанси подій, див. калькулятор імовірностей.

Припущення, обмеження та практичні поради

Параметри належать логарифмічній шкалі. Найпоширеніша помилка — вводити середнє або стандартне відхилення «сирих» даних \(X\). Якщо відомі лише \(E(X)\) і \(\mathrm{Med}(X)\), виведіть параметри із залежностей: \(\mu = \ln(\mathrm{Med})\) і \(\sigma^2 = 2\ln\!\left(E(X)/\mathrm{Med}(X)\right)\).
X мусить бути додатною. Логнормальний розподіл надає недодатним значенням нульову ймовірність; калькулятор не приймає межі 0 або менші.
Ймовірності точні, а не змодельовані. Вони обчислюються через функцію нормального розподілу, застосовану до \((\ln x - \mu)/\sigma\), тож їхня точність залежить лише від точності заданих вами параметрів.
Значення в «хвості» можуть вводити в оману. За великого \(\sigma\) середнє опиняється далеко в «хвості»; медіана зазвичай краще описує «типове» значення.
Схожі моделі. Якщо ви моделюєте кількості подій, час між рідкісними подіями чи час життя за сталої інтенсивності відмов, радимо натомість скористатися калькуляторами розподілу Пуассона або експоненціального розподілу.

Часті запитання

Як обчислити логнормальну ймовірність вручну?

Візьміть натуральний логарифм свого значення: для ймовірності в точці обчисліть z-значення \(z = (\ln x - \mu)/\sigma\), а потім знайдіть \(\Phi(z)\) у таблиці стандартного нормального розподілу. Для інтервалу зробіть те саме для обох меж і відніміть: \(P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\). Щільність обчислюється як \(f(x) = e^{-z^2/2}/(x\,\sigma\sqrt{2\pi})\). Калькулятор автоматизує саме цю процедуру.

Я знаю середнє і стандартне відхилення своїх «сирих» даних, а не ln(X). Як їх перетворити?

Якщо відомі вибіркове середнє \(m\) і стандартне відхилення \(s\) самої величини X, перетворіть їх так: \(\sigma^2 = \ln(1 + s^2/m^2)\) і \(\mu = \ln(m) - \sigma^2/2\). Наприклад, якщо \(m = 2\), а \(s = 1\), то \(\sigma^2 = \ln(1.25) \approx 0.2231\) і \(\mu \approx 0.6931 - 0.1116 \approx 0.5816\). Не вводьте \(m\) і \(s\) безпосередньо — це найпоширеніша помилка.

Чи можна використати логарифм за основою 10 замість натурального?

У стандартному визначенні логнормального розподілу використовується натуральний логарифм, і цей калькулятор очікує \(\mu\) і \(\sigma\) у шкалі натуральних логарифмів. Якщо ваші параметри отримано з десяткових логарифмів, перетворіть їх: \(\mu = \mu_{10} \cdot \ln 10 \approx 2.3026\,\mu_{10}\); той самий множник застосовується і до \(\sigma\). Значення \(x\), \(a\) та \(b\) перетворювати не потрібно — лише параметри.

Як знайти перцентилі або моду логнормального розподілу?

p-й перцентил дорівнює \(x_p = \exp(\mu + \sigma\,z_p)\), де \(z_p\) — p-й перцентил стандартного нормального розподілу; медіані відповідає \(z_{0.5} = 0\), звідки отримуємо \(e^{\mu}\). Мода дорівнює \(e^{\mu - \sigma^2}\) і через праву асиметрію завжди лежить нижче за медіану. Щоб обернути відомий перцентил, розв’яжіть рівняння \(\mu = \ln x_p - \sigma z_p\).

Які дисперсія і стандартне відхилення самої величини X?

Для логнормальної величини \(\mathrm{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1)\,e^{2\mu + \sigma^2}\), отже \(\mathrm{SD}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}\sqrt{e^{\sigma^2} - 1}\). Зауважте: \(\sigma\) — це не стандартне відхилення X, воно описує лише розкид на логарифмічній шкалі. За \(\mu = 0\), \(\sigma = 0.5\) маємо SD(X) \(\approx 1.1331 \times 0.5311 \approx 0.602\), тоді як саме \(\sigma = 0.5\).

Чому середнє X більше за медіану і яке значення варто повідомляти?

Логнормальний розподіл асиметричний вправо: середнє \(= e^{\mu + \sigma^2/2}\), медіана \(= e^{\mu}\), мода \(= e^{\mu - \sigma^2}\), тому завжди виконується середнє > медіана > мода. Розрив зростає зі збільшенням \(\sigma\), бо кілька екстремальних значень у довгому «хвості» тягнуть середнє вгору. Для опису «типового» значення — доходів, цін, розмірів частинок — медіана зазвичай є стійкішим і репрезентативнішим вибором.

Які типові помилки трапляються під час роботи з логнормальними ймовірностями?

Найпоширеніші помилки: уведення середнього або стандартного відхилення «сирих» даних замість \(\ln(X)\); використання нульових або від’ємних меж (X мусить бути строго додатною); нехтування тим, що \(\sigma\) має бути додатним; плутання щільності \(f(x)\) (яка може перевищувати 1 і має розмірність 1/x) з ймовірністю \(F(x)\). Також перевірте, чи вашим даним, можливо, краще відповідає гамма-розподіл або розподіл Вейбулла — логнормальний розподіл є лише одним із варіантів для додатних асиметричних даних.