Калькулятор середнього гармонійного
Введіть два або більше додатних чисел, і цей калькулятор обчислить їхнє середнє гармонійне — обернене до середнього арифметичного обернених чисел, що ідеально підходить для усереднення темпів і швидкостей.
Обчислити середнє гармонійне чисел
Формула середнього гармонійного
Де:
- \(H\) — середнє гармонійне
- \(n\) — кількість значень
- \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) — окремі значення; кожне має бути додатним і ненульовим
Формула ділить кількість значень на суму їхніх обернених чисел. Інакше кажучи, це обернене значення до середнього арифметичного обернених чисел — саме тому воно надає більшої ваги меншим значенням.
Середнє гармонійне — приклад обчислення
Приклад: ви проїжджаєте ту саму відстань двічі — спершу зі швидкістю 10 км/год, потім 20 км/год — і хочете дізнатися середню швидкість усієї поїздки.
\[ H = \frac{2}{\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{20}} = \frac{2}{0.1 + 0.05} = \frac{2}{0.15} \approx 13.33 \]
Результат: середнє гармонійне чисел 10 і 20 дорівнює приблизно 13.33 км/год — а не 15, як помилково підказало б середнє арифметичне.
Як користуватися калькулятором
- Введіть кількість значень, які хочете усереднити, у поле Кількість значень (мінімум 2). Додаткові поля введення з'являться автоматично.
- Введіть свої додатні числа у поля Число 1, Число 2 і так далі.
- Результат миттєво з'являється в полі Середнє — натискати кнопку не потрібно.
- Якщо якесь значення дорівнює нулю або є від'ємним, калькулятор покаже помилку, адже середнє гармонійне визначене лише для додатних чисел.
Що таке середнє гармонійне?
Середнє гармонійне — одне з трьох класичних піфагорейських середніх, поруч із середнім арифметичним та середнім геометричним. Для будь-якого набору додатних чисел воно завжди задовольняє співвідношення:
\[ H \leq G \leq A \]
з рівністю лише тоді, коли всі значення однакові. На практиці середнє гармонійне є правильним видом усереднення, коли величини, які поєднуються, виражені як темпи — тобто як «щось на одиницю» чогось іншого: кілометри на годину, літри на 100 км, одиниці продукції на годину.
Класична ілюстрація — середня швидкість. Якщо ви проїжджаєте 100 км зі швидкістю 60 км/год, а наступні 100 км — 40 км/год, ваша справжня середня швидкість становить не 50 км/год, а середнє гармонійне \(2/(1/60 + 1/40) = 48\) км/год, бо на повільнішій ділянці ви проводите більше часу. Кожного разу, коли кожне значення застосовується до однакової відстані, об'єму чи обсягу роботи, саме середнє гармонійне, а не арифметичне, дає правильний загальний темп.
Оскільки малі значення дають непропорційно великі обернені числа, середнє гармонійне тяжіє до найменших значень і стійке до дуже великих викидів. Цю властивість використовують у фінансах для усереднення показників P/E (ціна/прибуток) портфеля, у машинному навчанні — у метриці F1 (середнє гармонійне точності та повноти), а в електротехніці — для резисторів, з'єднаних паралельно.
Припущення, обмеження та поради
- Усі значення мають бути додатними. Одне нульове або від'ємне число робить середнє гармонійне невизначеним — калькулятор відхилить такі вхідні дані.
- Використовуйте його для темпів, а не для кількостей. Якщо ви усереднюєте ціни, ваги чи бали безпосередньо, зазвичай правильним вибором є середнє арифметичне або зважене середнє.
- Припускається однакова вага. Кожне значення враховується однаково. Якщо ваші темпи стосуються різних відстаней або об'ємів, потрібне зважене середнє гармонійне.
- Одне екстремально мале значення домінує. Середнє гармонійне чисел \(1, 100, 100\) становить близько 2.94, а не десь біля 67. Переконайтеся, що одне крихітне значення справді належить вашим даним.
- Щоб порівняти всі три класичні середні на одних даних — або попрацювати зі середнім квадратичним, що використовується в статистиці, — спробуйте калькулятор середнього квадратичного (RMS).
Середнє гармонійне проти інших видів усереднення
| Середнє | Найкраще для | Приклад застосування |
|---|---|---|
| Середнє гармонійне | Темпів на однакових одиницях (швидкість, ефективність) | Середня швидкість на однакових відстанях |
| Середнє геометричне | Мультиплікативних даних, темпів зростання | Середня дохідність інвестицій за роки |
| Середнє арифметичне | Адитивних величин | Середній бал за тестами |
| Середнє квадратичне (RMS) | Даних, що коливаються навколо нуля | Діюча напруга змінного струму |
Пов'язане практичне застосування — обчислення, скільки часу двом людям потрібно для виконання роботи разом — лежача в основі математика по суті є обчисленням середнього гармонійного.
Часті запитання
Як обчислити середнє гармонійне вручну?
Порахуйте кількість значень, візьміть обернене кожного з них (переверніть його: 1, поділене на значення), додайте ці обернені числа, а потім поділіть кількість значень на цю суму. Наприклад, для 4, 6 і 12: обернені числа — 0.25, 0.167 і 0.083, їхня сума 0.5, а \(3 / 0.5 = 6\). Завжди перевіряйте, щоб результат не був більшим за найменше значення — таким він не повинен бути ніколи.
Чи є скорочена формула для середнього гармонійного двох чисел?
Так. Для двох значень \(a\) і \(b\) середнє гармонійне дорівнює \(\frac{2ab}{a+b}\). Наприклад, для 30 і 60: \(2 \times 30 \times 60 / (30 + 60) = 3600/90 = 40\). Ця скорочена формула зручна для задач про середню швидкість, наприклад для поїздки туди й назад з двома різними швидкостями на однаковій відстані.
Коли середнє гармонійне є «добрим» або типовим значенням?
Універсального «доброго» діапазону не існує — все залежить від ваших даних. Корисною перевіркою є співвідношення \(H \leq G \leq A\): середнє гармонійне завжди менше або дорівнює середньому геометричному та арифметичному, з рівністю лише тоді, коли всі значення однакові. Якщо ваш результат перевищує середнє арифметичне, ви десь допустили помилку в обчисленнях.
Що робити, якщо мої темпи стосуються різних відстаней або об'ємів?
Вам потрібне зважене середнє гармонійне: \(H = \frac{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}{\frac{w_1}{x_1} + \frac{w_2}{x_2} + \cdots + \frac{w_n}{x_n}}\), де кожна вага \(w\) — це відстань, об'єм або обсяг роботи, до яких застосовується відповідний темп. Незважена версія на цій сторінці припускає, що кожне значення має однакову вагу, і це правильно лише тоді, коли базові одиниці однакові.
Чому не можна вводити нуль або від'ємні числа?
Формула ділить на суму обернених чисел, а обернене до нуля не визначене — тому навіть один нуль ламає все обчислення. Від'ємні значення також руйнують математику: суми обернених чисел можуть стати нульовими або від'ємними, даючи беззмістовні або від'ємні результати. Якщо ваш набір даних містить нулі або від'ємні числа, середнє гармонійне — невідповідний інструмент; використайте середнє арифметичне або геометричне (після опрацювання від'ємних значень).
Яка найпоширеніша помилка при усередненні швидкостей?
Використання середнього арифметичного, коли кожна швидкість охоплює однакову відстань. Якщо одну ділянку ви проїжджаєте зі швидкістю 80 км/год, а таку саму ділянку — 40 км/год, справжня середня швидкість становить 53.33 км/год, а не 60. Середнє арифметичне правильне лише тоді, коли кожна швидкість діє однаковий час. Запитайте себе: я вирівнюю час чи відстань? Саме це визначає, яке середнє використовувати.
Як середнє гармонійне пов'язане з паралельним з'єднанням резисторів?
Для двох резисторів загальний опір паралельного з'єднання дорівнює половині середнього гармонійного їхніх значень: \(R_{total} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\). У загальному випадку провідності (1/R) додаються — так само, як обернені числа у формулі середнього гармонійного. Для двох однакових резисторів результат дорівнює половині одного резистора — це швидкий спосіб перевірити ваші розрахунки в електроніці.