Lognormalverteilungs-Rechner
Geben Sie Mittelwert und Standardabweichung von ln(X) ein, um lognormale Wahrscheinlichkeiten zu berechnen: Dichte und Verteilungsfunktion an einer Stelle oder die Wahrscheinlichkeit in einem Intervall – dazu Mittelwert und Median von X.
Wahrscheinlichkeiten einer lognormalen Variablen berechnen
Formel der Lognormalverteilung
Dabei bedeuten:
- \(\mu\) — Mittelwert der Normalverteilung von \(\ln(X)\) (nicht der Mittelwert von \(X\) selbst)
- \(\sigma\) — Standardabweichung von \(\ln(X)\), mit \(\sigma > 0\)
- \(x, a, b\) — positive Werte der lognormalverteilten Variablen \(X\)
- \(\Phi\) — Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
Eine Variable \(X\) ist lognormalverteilt, wenn ihr natürlicher Logarithmus \(\ln(X)\) normalverteilt ist. Jede Wahrscheinlichkeit für \(X\) lässt sich daher exakt bestimmen, indem man sie auf die Normalskala transformiert: \(\mu\) abziehen, durch \(\sigma\) dividieren und das Ergebnis an der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ablesen.
Lognormalverteilung – Rechenbeispiel
Beispiel: eine lognormalverteilte Variable mit \(\mu = 0\) und \(\sigma = 0.5\) für \(\ln(X)\). Wie groß sind die Dichte und die kumulierte Wahrscheinlichkeit an der Stelle \(x = 2\)?
\[ z = \frac{\ln x - \mu}{\sigma} = \frac{\ln 2 - 0}{0.5} = \frac{0.6931}{0.5} \approx 1.3863 \]
\[ F(2) = \Phi(1.3863) \approx 0.9172, \qquad f(2) = \frac{e^{-(1.3863)^2/2}}{2 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{0.3825}{2.5066} \approx 0.1526 \]
Ergebnis: \(f(2) \approx 0.1526\), \(P(X \le 2) \approx 0.9172\) (also 91,72 %), somit \(P(X > 2) \approx 8.28\%\). Die Parameter der Verteilung lauten \(E(X) = e^{0 + 0.125} \approx 1.1331\) und \(\mathrm{Med}(X) = e^{0} = 1\).
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie den Mittelwert von ln(X) (\(\mu\)) ein — also den Mittelwert der Logarithmen, nicht der ursprünglichen Werte.
- Geben Sie die Standardabweichung von ln(X) (\(\sigma\)) ein; sie muss größer als 0 sein.
- Wählen Sie unter Was soll berechnet werden entweder Wahrscheinlichkeit an einem einzelnen Wert x oder Wahrscheinlichkeit in einem Intervall [a, b].
- Für einen einzelnen Wert tragen Sie den Wert von X ein, für ein Intervall die untere Grenze und die obere Grenze. Alle Werte von \(X\) müssen positiv sein.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Dichte \(f(x)\), die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(F(x)\) oder die Intervallwahrscheinlichkeit sowie Mittelwert und Median von \(X\). Der Interpretationsblock zeigt zusätzlich die Gegenwahrscheinlichkeit und den Modus.
Was ist eine Lognormalverteilung?
Eine Lognormalverteilung beschreibt eine positive Größe, die multiplikativ wächst – das angesammelte Ergebnis vieler unabhängiger prozentualer Veränderungen. Weil der zugrunde liegende Antrieb \(\ln(X)\) normalverteilt ist, kann \(X\) selbst nie null oder negativ sein und bringt einen langen rechten Rand mit. Typische Beispiele sind Aktienkurse und die Wertentwicklung von Anlagen über die Zeit, Haushaltseinkommen, Stadtgrößen, Niederschlagsmengen, Wartezeiten in Zuverlässigkeitsstudien sowie Partikel- oder Tropfengrößen in der Technik.
Die beiden Parameter \(\mu\) und \(\sigma\) steuern die Form auf der Log-Skala: \(\mu\) verschiebt die gesamte Verteilung (der Median von \(X\) ist genau \(e^{\mu}\)), während \(\sigma\) die Streuung festlegt. Ein größeres \(\sigma\) bedeutet einen schwereren rechten Rand und eine stärker schiefe Verteilung, sodass wenige sehr große Beobachtungen den Mittelwert weit über den Median ziehen können.
Eine hilfreiche Deutung des Ergebnisses ist die Reihenfolge Mittelwert > Median > Modus – das Kennzeichen einer Rechtsschiefe. Im obigen Beispiel beträgt der Median 1, der Mittelwert dagegen rund 1,1331; der Unterschied entsteht allein durch den Rand auf der hohen Seite. Zeigen Ihre Daten dieses Muster (prüfen Sie es mit dem Rechner für Schiefe und Kurtosis), ist ein lognormales Modell oft ein naheliegender Kandidat. Wie sich kumulierte Wahrscheinlichkeiten in Chancen für bestimmte Ereignisse übersetzen, können Sie im Wahrscheinlichkeitsrechner kurz nachschlagen.
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Die Parameter gehören zur Log-Skala. Der häufigste Fehler ist die Eingabe von Mittelwert oder Standardabweichung der Rohdaten \(X\). Wenn Sie nur \(E(X)\) und \(\mathrm{Med}(X)\) kennen, kehren Sie die Beziehungen um: \(\mu = \ln(\mathrm{Med})\) und \(\sigma^2 = 2\ln\!\left(E(X)/\mathrm{Med}(X)\right)\).
- X muss positiv sein. Die Lognormalverteilung weist nicht-positiven Werten die Wahrscheinlichkeit null zu; der Rechner lehnt Grenzen von 0 oder kleiner ab.
- Die Wahrscheinlichkeiten sind exakt, nicht simuliert. Sie ergeben sich aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung, angewendet auf \((\ln x - \mu)/\sigma\), und sind daher so genau wie die von Ihnen eingegebenen Parameter.
- Werte im Rand können in die Irre führen. Bei großem \(\sigma\) liegt der Mittelwert weit im Rand; der Median fasst einen „typischen“ Wert meist besser zusammen.
- Verwandte Modelle. Wenn Sie Anzahlen, Wartezeiten zwischen seltenen Ereignissen oder Lebensdauern mit konstanter Ausfallrate modellieren, ziehen Sie stattdessen die Rechner zur Poisson- oder Exponentialverteilung in Betracht.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich eine lognormale Wahrscheinlichkeit von Hand?
Bilden Sie den natürlichen Logarithmus Ihres Werts: Für eine Wahrscheinlichkeit an einem Punkt berechnen Sie den z-Wert \(z = (\ln x - \mu)/\sigma\) und schlagen \(\Phi(z)\) in einer Tabelle der Standardnormalverteilung nach. Für ein Intervall verfahren Sie mit beiden Grenzen genauso und subtrahieren: \(P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\). Die Dichte ist \(f(x) = e^{-z^2/2}/(x\,\sigma\sqrt{2\pi})\). Der Rechner führt genau dieses Verfahren automatisch aus.
Ich kenne Mittelwert und Standardabweichung meiner Rohdaten, nicht von ln(X). Wie rechne ich um?
Sind der Stichprobenmittelwert \(m\) und die Standardabweichung \(s\) von X selbst bekannt, rechnen Sie um mit \(\sigma^2 = \ln(1 + s^2/m^2)\) und \(\mu = \ln(m) - \sigma^2/2\). Wenn beispielsweise \(m = 2\) und \(s = 1\) gilt, dann ist \(\sigma^2 = \ln(1.25) \approx 0.2231\) und \(\mu \approx 0.6931 - 0.1116 \approx 0.5816\). Geben Sie \(m\) und \(s\) nicht direkt ein – das ist der häufigste Fehler.
Kann ich den Logarithmus zur Basis 10 statt des natürlichen Logarithmus verwenden?
Die übliche Definition der Lognormalverteilung beruht auf dem natürlichen Logarithmus, und dieser Rechner erwartet \(\mu\) und \(\sigma\) auf der Skala des natürlichen Logarithmus. Stammen Ihre Parameter aus Logarithmen zur Basis 10, rechnen Sie sie um: \(\mu = \mu_{10} \cdot \ln 10 \approx 2.3026\,\mu_{10}\); derselbe Faktor gilt für \(\sigma\). Die Werte von \(x\), \(a\) und \(b\) müssen nie umgerechnet werden – nur die Parameter.
Wie finde ich Perzentile oder den Modus einer Lognormalverteilung?
Das p-te Perzentil ist \(x_p = \exp(\mu + \sigma\,z_p)\), wobei \(z_p\) das p-te Perzentil der Standardnormalverteilung ist – dem Median entspricht \(z_{0.5} = 0\), also \(e^{\mu}\). Der Modus ist \(e^{\mu - \sigma^2}\) und liegt wegen der Rechtsschiefe stets unter dem Median. Um ein bekanntes Perzentil umzukehren, lösen Sie \(\mu = \ln x_p - \sigma z_p\).
Wie groß sind Varianz und Standardabweichung von X selbst?
Für eine lognormalverteilte Variable gilt \(\mathrm{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1)\,e^{2\mu + \sigma^2}\), also \(\mathrm{SD}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}\sqrt{e^{\sigma^2} - 1}\). Beachten Sie: \(\sigma\) ist nicht die Standardabweichung von X – es beschreibt nur die Streuung auf der Log-Skala. Mit \(\mu = 0\) und \(\sigma = 0.5\) ergibt sich SD(X) \(\approx 1.1331 \times 0.5311 \approx 0.602\), während \(\sigma = 0.5\) beträgt.
Warum ist der Mittelwert von X größer als der Median – und welche Kennzahl sollte ich angeben?
Die Lognormalverteilung ist rechtsschief: Mittelwert \(= e^{\mu + \sigma^2/2}\), Median \(= e^{\mu}\), Modus \(= e^{\mu - \sigma^2}\), deshalb gilt immer Mittelwert > Median > Modus. Der Abstand wächst mit \(\sigma\), weil wenige extreme Werte im langen Rand den Mittelwert nach oben ziehen. Um einen „typischen“ Wert zu beschreiben – etwa Einkommen, Preise oder Partikelgrößen – ist der Median meist die robustere und aussagekräftigere Wahl.
Welche Fehler passieren bei lognormalen Wahrscheinlichkeiten häufig?
Die häufigsten Fehler sind: Mittelwert/Standardabweichung der Rohdaten statt von \(\ln(X)\) eingeben; Grenzen von null oder negativ verwenden (X muss strikt positiv sein); vergessen, dass \(\sigma\) positiv sein muss; und die Dichte \(f(x)\) (die größer als 1 sein kann und die Einheit 1/x hat) mit der Wahrscheinlichkeit \(F(x)\) verwechseln. Prüfen Sie außerdem, ob Ihre Daten besser zu einer Gamma- oder Weibullverteilung passen – die Lognormalverteilung ist nur eine von mehreren Optionen für positive, schiefe Daten.