Calculadora da distribuição log-normal

Q: Sei a média e o desvio-padrão dos meus dados brutos, não os de ln(X). Como converter?

Dada a média amostral m e o desvio-padrão s da própria X, converta com σ^2 = ln(1 + s^2/m^2) e μ = ln(m) - σ^2/2. Por exemplo, se m = 2 e s = 1, então σ^2 = ln(1.25) ≈ 0.2231 e μ ≈ 0.6931 - 0.1116 ≈ 0.5816. Não digite m e s diretamente — esse é o erro mais comum.

Q: Como encontrar percentis ou a moda de uma distribuição log-normal?

O percentil p é x_p = exp(μ + σ z_p), onde z_p é o percentil p da normal padrão — a mediana corresponde a z_0.5 = 0, o que dá e^μ. A moda é e^μ - σ^2, que fica sempre abaixo da mediana por causa da assimetria à direita. Para inverter um percentil conhecido, resolva μ = ln x_p - σ z_p.

Q: Qual é a variância e o desvio-padrão da própria X?

Para uma variável log-normal, Var(X) = (e^σ^2 - 1) e^2μ + σ^2, logo DP(X) = e^μ + σ^2/2sqrte^σ^2 - 1. Note que σ não é o desvio-padrão de X — ele apenas descreve a dispersão na escala logarítmica. Com μ = 0, σ = 0.5: DP(X) ≈ 1.1331 × 0.5311 ≈ 0.602, enquanto σ é 0.5.

Q: Por que a média de X é maior que a mediana e qual devo usar?

A distribuição log-normal é assimétrica à direita: média = e^μ + σ^2/2, mediana = e^μ, moda = e^μ - σ^2, portanto a ordem média > mediana > moda sempre vale. A diferença aumenta conforme σ cresce, porque poucos valores extremos na cauda longa puxam a média para cima. Para descrever um valor "típico" — rendas, preços, tamanhos de partículas —, a mediana costuma ser a escolha mais robusta e representativa.

Atualizado: 8 outubro 2026

Informe a média e o desvio-padrão de ln(X) para calcular probabilidades log-normais: densidade e CDF em um ponto, ou a probabilidade em um intervalo, além da média e da mediana de X.

Calcule probabilidades de uma variável lognormal

Variável normal subjacente ln(X)

Média de ln(X)

Média μ da distribuição normal de ln(X) — não a média de X. A mediana de X é igual a e^μ.

Desvio padrão de ln(X)

Desvio padrão σ de ln(X); valores maiores indicam uma cauda direita mais pesada de X.

O que calcular

Calcular automaticamenteSe ativado, o resultado é atualizado automaticamente quando você altera qualquer valor.

Probabilidades e parâmetros

Densidade no valorf(x)

Probabilidade acumulada P(X ≤ valor)F(x)

Probabilidade no intervalo P(a ≤ X ≤ b)P(a≤X≤b)

Média de XE(X)

Mediana de XMed(X)

Como funciona e interpretação

Fórmula da distribuição log-normal

Fórmula

\[ f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x > 0 \\ F(x) = P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) \\ P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{\ln b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{\ln a - \mu}{\sigma}\right) \\ E(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}, \quad \mathrm{Med}(X) = e^{\mu} \]

Onde:

\(\mu\) — média da distribuição normal de \(\ln(X)\) (e não a média da própria \(X\))
\(\sigma\) — desvio-padrão de \(\ln(X)\), com \(\sigma > 0\)
\(x, a, b\) — valores positivos da variável log-normal \(X\)
\(\Phi\) — função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão

Uma variável \(X\) é log-normal quando o seu logaritmo natural \(\ln(X)\) segue uma distribuição normal. Assim, qualquer probabilidade de \(X\) pode ser obtida exatamente transformando para a escala normal: subtraia \(\mu\), divida por \(\sigma\) e leia o resultado na CDF da normal padrão.

Distribuição log-normal – Exemplo de cálculo

Exemplo: uma variável log-normal com \(\mu = 0\) e \(\sigma = 0.5\) para \(\ln(X)\). Quais são a densidade e a probabilidade acumulada em \(x = 2\)?

\[ z = \frac{\ln x - \mu}{\sigma} = \frac{\ln 2 - 0}{0.5} = \frac{0.6931}{0.5} \approx 1.3863 \]

\[ F(2) = \Phi(1.3863) \approx 0.9172, \qquad f(2) = \frac{e^{-(1.3863)^2/2}}{2 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{0.3825}{2.5066} \approx 0.1526 \]

Resultado: \(f(2) \approx 0.1526\), \(P(X \le 2) \approx 0.9172\) (ou seja, 91,72%), logo \(P(X > 2) \approx 8.28\%\). Os parâmetros da distribuição são \(E(X) = e^{0 + 0.125} \approx 1.1331\) e \(\mathrm{Med}(X) = e^{0} = 1\).

Como usar a calculadora

Digite a média de ln(X) (\(\mu\)) — a média dos logaritmos, e não dos valores brutos.
Digite o desvio-padrão de ln(X) (\(\sigma\)); ele precisa ser maior que 0.
Em O que calcular, escolha entre Probabilidade em um único valor x e Probabilidade em um intervalo [a, b].
Para um único valor, preencha o valor de X; para um intervalo, preencha o limite inferior e o limite superior. Todos os valores de \(X\) devem ser positivos.
Leia os resultados: a densidade \(f(x)\), a probabilidade acumulada \(F(x)\) ou a probabilidade do intervalo, junto com a média e a mediana de \(X\). O bloco de interpretação também mostra a probabilidade complementar e a moda.

O que é a distribuição log-normal?

A distribuição log-normal descreve uma quantidade positiva que cresce de forma multiplicativa — o resultado acumulado de muitas variações percentuais independentes. Como o fator subjacente \(\ln(X)\) é normal, a própria \(X\) nunca pode ser zero ou negativa e tem uma cauda direita longa. Exemplos típicos incluem preços de ações e retornos de ativos ao longo do tempo, rendas familiares, tamanho de cidades, volumes de chuva, tempos de espera em estudos de confiabilidade e tamanhos de partículas ou gotículas na engenharia.

Os dois parâmetros \(\mu\) e \(\sigma\) controlam a forma na escala logarítmica: \(\mu\) desloca toda a distribuição (a mediana de \(X\) é exatamente \(e^{\mu}\)), enquanto \(\sigma\) define a dispersão. Um \(\sigma\) maior significa uma cauda direita mais pesada e uma distribuição mais assimétrica, de modo que poucas observações muito grandes podem elevar a média bem acima da mediana.

Uma forma útil de interpretar o resultado é a ordem média > mediana > moda, que é a marca registrada da assimetria à direita. No exemplo acima, a mediana é 1 enquanto a média é de cerca de 1,1331 — a diferença é causada inteiramente pela cauda no lado dos valores altos. Se os seus dados mostram esse padrão (verifique com a calculadora de assimetria e curtose), um modelo log-normal costuma ser um candidato natural. Para relembrar rapidamente como probabilidades acumuladas se traduzem em chances de eventos, veja a calculadora de probabilidade.

Premissas, limitações e dicas práticas

Os parâmetros pertencem à escala logarítmica. O erro mais comum é digitar a média ou o desvio-padrão dos dados brutos \(X\). Se você só conhece \(E(X)\) e \(\mathrm{Med}(X)\), inverta as relações: \(\mu = \ln(\mathrm{Med})\) e \(\sigma^2 = 2\ln\!\left(E(X)/\mathrm{Med}(X)\right)\).
X precisa ser positiva. A distribuição log-normal atribui probabilidade zero a valores não positivos; a calculadora rejeita limites menores ou iguais a 0.
As probabilidades são exatas, não simuladas. Elas vêm da CDF normal aplicada a \((\ln x - \mu)/\sigma\), portanto têm a mesma precisão dos parâmetros que você informar.
Valores de cauda podem enganar. Com \(\sigma\) grande, a média fica bem lá na cauda; a mediana costuma ser o melhor resumo de um valor "típico".
Modelos relacionados. Se você está modelando contagens, tempos de espera entre eventos raros ou tempos de vida com risco constante, considere as calculadoras das distribuições Poisson ou exponencial.

Perguntas frequentes

Como calcular uma probabilidade log-normal à mão?

Tire o logaritmo natural do seu valor: para uma probabilidade pontual, calcule o escore z \(z = (\ln x - \mu)/\sigma\) e procure \(\Phi(z)\) em uma tabela da normal padrão. Para um intervalo, faça o mesmo com os dois limites e subtraia: \(P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\). A densidade é \(f(x) = e^{-z^2/2}/(x\,\sigma\sqrt{2\pi})\). A calculadora automatiza exatamente esse procedimento.

Sei a média e o desvio-padrão dos meus dados brutos, não os de ln(X). Como converter?

Dada a média amostral \(m\) e o desvio-padrão \(s\) da própria X, converta com \(\sigma^2 = \ln(1 + s^2/m^2)\) e \(\mu = \ln(m) - \sigma^2/2\). Por exemplo, se \(m = 2\) e \(s = 1\), então \(\sigma^2 = \ln(1.25) \approx 0.2231\) e \(\mu \approx 0.6931 - 0.1116 \approx 0.5816\). Não digite \(m\) e \(s\) diretamente — esse é o erro mais comum.

Posso usar logaritmo na base 10 em vez do logaritmo natural?

A definição padrão da log-normal usa o logaritmo natural, e esta calculadora espera \(\mu\) e \(\sigma\) na escala do logaritmo natural. Se os seus parâmetros vêm de logaritmos na base 10, converta-os: \(\mu = \mu_{10} \cdot \ln 10 \approx 2.3026\,\mu_{10}\), e o mesmo fator vale para \(\sigma\). Os valores de \(x\), \(a\) e \(b\) nunca precisam de conversão — só os parâmetros.

Como encontrar percentis ou a moda de uma distribuição log-normal?

O percentil p é \(x_p = \exp(\mu + \sigma\,z_p)\), onde \(z_p\) é o percentil p da normal padrão — a mediana corresponde a \(z_{0.5} = 0\), o que dá \(e^{\mu}\). A moda é \(e^{\mu - \sigma^2}\), que fica sempre abaixo da mediana por causa da assimetria à direita. Para inverter um percentil conhecido, resolva \(\mu = \ln x_p - \sigma z_p\).

Qual é a variância e o desvio-padrão da própria X?

Para uma variável log-normal, \(\mathrm{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1)\,e^{2\mu + \sigma^2}\), logo \(\mathrm{DP}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}\sqrt{e^{\sigma^2} - 1}\). Note que \(\sigma\) não é o desvio-padrão de X — ele apenas descreve a dispersão na escala logarítmica. Com \(\mu = 0\), \(\sigma = 0.5\): DP(X) \(\approx 1.1331 \times 0.5311 \approx 0.602\), enquanto \(\sigma\) é 0.5.

Por que a média de X é maior que a mediana e qual devo usar?

A distribuição log-normal é assimétrica à direita: média \(= e^{\mu + \sigma^2/2}\), mediana \(= e^{\mu}\), moda \(= e^{\mu - \sigma^2}\), portanto a ordem média > mediana > moda sempre vale. A diferença aumenta conforme \(\sigma\) cresce, porque poucos valores extremos na cauda longa puxam a média para cima. Para descrever um valor "típico" — rendas, preços, tamanhos de partículas —, a mediana costuma ser a escolha mais robusta e representativa.

Quais são os erros mais comuns ao trabalhar com probabilidades log-normais?

Os principais erros são: digitar a média/desvio-padrão dos dados brutos em vez de \(\ln(X)\); usar limites zero ou negativos (X precisa ser estritamente positiva); esquecer que \(\sigma\) deve ser positivo; e confundir a densidade \(f(x)\) (que pode ultrapassar 1 e tem unidades de 1/x) com a probabilidade \(F(x)\). Verifique também se os seus dados não se ajustariam melhor a uma distribuição gama ou Weibull — a log-normal é apenas uma opção para dados positivos e assimétricos.