Калькулятор логнормального распределения
Укажите среднее и стандартное отклонение ln(X), чтобы вычислить вероятности логнормального распределения: плотность и функцию распределения в точке либо вероятность на интервале, а также среднее и медиану X.
Вычисление вероятностей для логнормальной величины
Формула логнормального распределения
Где:
- \(\mu\) — среднее нормального распределения величины \(\ln(X)\) (а не самой \(X\))
- \(\sigma\) — стандартное отклонение \(\ln(X)\), причём \(\sigma > 0\)
- \(x, a, b\) — положительные значения логнормальной величины \(X\)
- \(\Phi\) — функция распределения стандартного нормального распределения
Величина \(X\) распределена логнормально, если её натуральный логарифм \(\ln(X)\) подчиняется нормальному закону. Поэтому любую вероятность для \(X\) можно найти точно: достаточно перейти к нормальной шкале — вычесть \(\mu\), разделить на \(\sigma\) и взять значение из функции распределения стандартного нормального закона.
Логнормальное распределение — пример расчёта
Пример: логнормальная величина с \(\mu = 0\) и \(\sigma = 0.5\) для \(\ln(X)\). Чему равны плотность и накопленная вероятность в точке \(x = 2\)?
\[ z = \frac{\ln x - \mu}{\sigma} = \frac{\ln 2 - 0}{0.5} = \frac{0.6931}{0.5} \approx 1.3863 \]
\[ F(2) = \Phi(1.3863) \approx 0.9172, \qquad f(2) = \frac{e^{-(1.3863)^2/2}}{2 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{0.3825}{2.5066} \approx 0.1526 \]
Результат: \(f(2) \approx 0.1526\), \(P(X \le 2) \approx 0.9172\) (то есть 91,72 %), значит, \(P(X > 2) \approx 8,28\%\). Параметры распределения: \(E(X) = e^{0 + 0.125} \approx 1.1331\) и \(\mathrm{Med}(X) = e^{0} = 1\).
Как пользоваться калькулятором
- Введите Среднее ln(X) (\(\mu\)) — среднее логарифмов, а не исходных значений.
- Введите Стандартное отклонение ln(X) (\(\sigma\)); оно должно быть больше 0.
- В поле Что вычислить выберите «Вероятность в точке x» или «Вероятность на интервале [a, b]».
- Для отдельного значения заполните поле Значение X, для интервала — Нижняя граница и Верхняя граница. Все значения \(X\) должны быть положительными.
- Прочитайте результаты: плотность \(f(x)\), накопленную вероятность \(F(x)\) или вероятность интервала, а также среднее и медиану \(X\). В блоке интерпретации дополнительно показаны дополнительная вероятность и мода.
Что такое логнормальное распределение?
Логнормальное распределение описывает положительную величину, которая растёт мультипликативно — как накопленный результат множества независимых процентных изменений. Поскольку «движущая» величина \(\ln(X)\) нормальна, сама \(X\) никогда не обращается в ноль и не становится отрицательной, а её распределение имеет длинный правый «хвост». Типичные примеры — цены акций и накопленная доходность активов, доходы домохозяйств, размеры городов, объёмы осадков, времена наработки в исследованиях надёжности, а также размеры частиц или капель в инженерных задачах.
Форму распределения на логарифмической шкале задают два параметра: \(\mu\) сдвигает всё распределение (медиана \(X\) равна ровно \(e^{\mu}\)), а \(\sigma\) определяет разброс. Чем больше \(\sigma\), тем тяжелее правый хвост и сильнее асимметрия, поэтому даже несколько очень больших наблюдений могут увести среднее далеко выше медианы.
При интерпретации результата полезно помнить о соотношении среднее > медиана > мода — это характерный признак правосторонней асимметрии. В примере выше медиана равна 1, а среднее — примерно 1,1331, и разница целиком объясняется «хвостом» в сторону больших значений. Если ваши данные ведут себя так (проверьте с помощью калькулятора асимметрии и эксцесса), логнормальная модель часто оказывается естественным выбором. Чтобы быстро освежить в памяти, как накопленные вероятности превращаются в шансы событий, загляните в калькулятор вероятностей.
Допущения, ограничения и практические советы
- Параметры относятся к логарифмической шкале. Самая частая ошибка — ввод среднего или стандартного отклонения исходных данных \(X\). Если известны только \(E(X)\) и \(\mathrm{Med}(X)\), обратите зависимости: \(\mu = \ln(\mathrm{Med})\) и \(\sigma^2 = 2\ln\!\left(E(X)/\mathrm{Med}(X)\right)\).
- X должна быть положительной. Логнормальное распределение приписывает нулевую вероятность неположительным значениям; калькулятор не принимает границы 0 и ниже.
- Вероятности точные, а не смоделированные. Они вычисляются через функцию нормального распределения от \((\ln x - \mu)/\sigma\) и точны настолько, насколько точны заданные вами параметры.
- Значения в «хвосте» могут вводить в заблуждение. При больших \(\sigma\) среднее уходит далеко в хвост; «типичное» значение обычно лучше описывает медиана.
- Смежные модели. Если вы моделируете счётные данные, интервалы между редкими событиями или времена жизни с постоянной интенсивностью отказов, возможно, лучше подойдут калькуляторы распределения Пуассона или экспоненциального распределения.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить логнормальную вероятность вручную?
Возьмите натуральный логарифм значения: для вероятности в точке найдите z-оценку \(z = (\ln x - \mu)/\sigma\), а затем посмотрите \(\Phi(z)\) в таблице стандартного нормального распределения. Для интервала сделайте то же для обеих границ и вычтите: \(P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\). Плотность равна \(f(x) = e^{-z^2/2}/(x\,\sigma\sqrt{2\pi})\). Калькулятор выполняет ровно эту процедуру автоматически.
Мне известны среднее и стандартное отклонение исходных данных, а не ln(X). Как их преобразовать?
Если известны выборочное среднее \(m\) и стандартное отклонение \(s\) самой величины X, пересчитайте их: \(\sigma^2 = \ln(1 + s^2/m^2)\) и \(\mu = \ln(m) - \sigma^2/2\). Например, при \(m = 2\) и \(s = 1\) получим \(\sigma^2 = \ln(1.25) \approx 0.2231\) и \(\mu \approx 0.6931 - 0.1116 \approx 0.5816\). Не вводите \(m\) и \(s\) напрямую — это самая распространённая ошибка.
Можно ли использовать десятичный логарифм вместо натурального?
В стандартном определении логнормального распределения используется натуральный логарифм, и калькулятор ожидает \(\mu\) и \(\sigma\) именно в этой шкале. Если ваши параметры получены по логарифмам с основанием 10, пересчитайте их: \(\mu = \mu_{10} \cdot \ln 10 \approx 2.3026\,\mu_{10}\); тот же множитель действует и для \(\sigma\). Значения \(x\), \(a\) и \(b\) пересчитывать не нужно — только параметры.
Как найти перцентили или моду логнормального распределения?
p-й перцентиль равен \(x_p = \exp(\mu + \sigma\,z_p)\), где \(z_p\) — p-й перцентиль стандартного нормального распределения; медиане соответствует \(z_{0.5} = 0\), то есть \(e^{\mu}\). Мода равна \(e^{\mu - \sigma^2}\) и всегда лежит ниже медианы из-за правосторонней асимметрии. Если перцентиль известен, а \(\mu\) нужно найти, решите уравнение \(\mu = \ln x_p - \sigma z_p\).
Чему равны дисперсия и стандартное отклонение самой величины X?
Для логнормальной величины \(\mathrm{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1)\,e^{2\mu + \sigma^2}\), откуда \(\mathrm{SD}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}\sqrt{e^{\sigma^2} - 1}\). Обратите внимание: \(\sigma\) — это не стандартное отклонение X, она описывает разброс лишь в логарифмической шкале. При \(\mu = 0\), \(\sigma = 0.5\): SD(X) \(\approx 1.1331 \times 0.5311 \approx 0.602\), тогда как сама \(\sigma\) равна 0,5.
Почему среднее X больше медианы и какое значение лучше приводить?
Логнормальное распределение скошено вправо: среднее \(= e^{\mu + \sigma^2/2}\), медиана \(= e^{\mu}\), мода \(= e^{\mu - \sigma^2}\), поэтому всегда выполняется среднее > медиана > мода. С ростом \(\sigma\) разрыв увеличивается: несколько экстремальных значений в длинном хвосте тянут среднее вверх. Когда речь идёт о «типичном» значении — доходах, ценах, размерах частиц — медиана обычно более устойчива и показательна.
Какие ошибки чаще всего совершают при работе с логнормальными вероятностями?
Самые типичные ошибки: ввод среднего или стандартного отклонения исходных данных вместо \(\ln(X)\); нулевые или отрицательные границы (X должна быть строго положительной); забывают, что \(\sigma\) должна быть положительной; наконец, путают плотность \(f(x)\) (она может превышать 1 и измеряется в единицах 1/x) с вероятностью \(F(x)\). Стоит также проверить, не подходят ли данным лучше гамма-распределение или распределение Вейбулла — логнормальное лишь одна из моделей для положительных асимметричных данных.