Weibull-Verteilung: Rechner
Geben Sie Form- und Skalenparameter einer Weibull-Verteilung ein, um Dichte, Ausfall- und Überlebenswahrscheinlichkeit, Ausfallrate, mittlere und mediane Lebensdauer oder die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls innerhalb eines Intervalls zu berechnen.
Ausfall- und Überlebenswahrscheinlichkeiten im Zeitverlauf schätzen
Formeln der Weibull-Verteilung
Dabei bedeuten:
- \(k\) — Formparameter; er steuert, wie sich die Ausfallrate über die Zeit verändert (\(k > 0\))
- \(λ\) — Skalenparameter, in derselben Zeiteinheit wie \(t\); ungefähr die charakteristische Lebensdauer (\(λ > 0\))
- \(T\) — die zufällige Zeit bis zum Ausfall
- \(\Gamma\) — die Gammafunktion
Die Weibull-Verteilung beschreibt die Zeit bis zu einem Ereignis, etwa dem Ausfall einer Komponente. Die Verteilungsfunktion \(F(t)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass es bis zum Zeitpunkt \(t\) zum Ausfall kommt, die Überlebensfunktion \(S(t)\) die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil noch funktioniert, und die Ausfallrate \(h(t)\) die momentane Ausfallhäufigkeit eines Bauteils, das bis zu diesem Zeitpunkt überlebt hat.
Weibull-Verteilung – Rechenbeispiel
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Beispiel: Eine Komponente hat eine weibullverteilte Lebensdauer mit dem Formparameter \(k = 2\) und dem Skalenparameter \(λ = 10\) (in Tausend Stunden). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie innerhalb von \(t = 5\) Tausend Stunden ausfällt, und wie hoch ist ihre Ausfallrate zu diesem Zeitpunkt?
\[ \left(\frac{t}{λ}\right)^k = \left(\frac{5}{10}\right)^2 = 0.25 \]
\[ F(5) = 1 - e^{-0.25} \approx 0.22120 \quad S(5) = e^{-0.25} \approx 0.77880 \]
\[ f(5) = \frac{2}{10}\cdot 0.5 \cdot e^{-0.25} \approx 0.07788 \quad h(5) = \frac{2}{10}\cdot 0.5 = 0.1 \]
\[ \mathrm{MTTF} = 10\,\Gamma(1.5) \approx 8.8623 \quad t_{\mathrm{median}} = 10\sqrt{\ln 2} \approx 8.3255 \]
Ergebnis: Rund 22,12 % solcher Komponenten fallen bis zum Zeitpunkt 5 aus (78,88 % überleben), die Dichte beträgt zu diesem Zeitpunkt \(f(5) \approx 0.07788\), die Ausfallrate 0,1 pro Zeiteinheit, und die mittlere bzw. mediane Lebensdauer liegt bei etwa 8,86 bzw. 8,33 Zeiteinheiten.
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So verwenden Sie den Rechner für die Weibull-Verteilung
- Geben Sie den Formparameter \(k\) ein. Werte unter 1 beschreiben sinkende Ausfallraten, \(k = 1\) eine konstante Rate und Werte über 1 eine steigende Rate (Verschleiß).
- Geben Sie den Skalenparameter \(λ\) in derselben Zeiteinheit ein, die Sie auch für die Zeitangaben verwenden.
- Wählen Sie im Feld Was soll berechnet werden, was Sie berechnen möchten: Zu einem Zeitpunkt t oder Über ein Intervall [a, b].
- Für einen einzelnen Zeitpunkt geben Sie die Zeit \(t\) ein. Für ein Intervall geben Sie die Untergrenze \(a\) und die Obergrenze \(b\) ein (mit \(b > a\)).
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Dichte \(f(t)\), die Ausfallwahrscheinlichkeit \(F(t)\), die Überlebenswahrscheinlichkeit \(S(t)\), die Ausfallrate, die Intervallwahrscheinlichkeit (im Intervallmodus) sowie die mittlere und die mediane Zeit bis zum Ausfall.
Was ist die Weibull-Verteilung?
Die Weibull-Verteilung ist eines der am häufigsten verwendeten Modelle in der Zuverlässigkeitstechnik und der Survival-Analyse. Sie beschreibt die Zeit bis zu einem Ausfall oder Ereignis — die Lebensdauer eines Lagers, einer Glühbirne, eines elektronischen Bauteils oder die Zeit bis zum Rückfall nach einer Behandlung. Ihre Beliebtheit verdankt sie ihrer Flexibilität: Schon mit einem einzigen Parameter lassen sich die drei klassischen Ausfallmuster im Lebensverlauf eines Produkts darstellen.
Der Formparameter \(k\) bestimmt das Verhalten der Ausfallrate. Bei \(k < 1\) sinkt die Ausfallrate mit der Zeit, was dem Muster der „Frühausfälle“ entspricht: fehlerhafte Exemplare fallen meist früh aus, und die überlebenden Stücke werden zunehmend zuverlässiger. Bei \(k = 1\) ist die Ausfallrate konstant, und die Weibull-Verteilung geht in die Exponentialverteilung über, bei der das Alter keinerlei Information über das künftige Risiko liefert. Bei \(k > 1\) steigt die Ausfallrate, was Verschleißprozesse wie Ermüdung, Korrosion oder Materialalterung beschreibt; bei \(k \approx 3.4\) wirkt die Verteilung ungefähr symmetrisch und ähnelt einer Normalverteilung.
Der Skalenparameter \(λ\) staucht oder streckt die Zeitachse. Eine hilfreiche Deutung: Zum Zeitpunkt \(t = λ\) sind genau \(1 - e^{-1} \approx 63.2\%\) der Exemplare ausgefallen — unabhängig von \(k\). Deshalb wird \(λ\) oft als charakteristische Lebensdauer bezeichnet. Verdoppeln Sie \(λ\) bei festem \(k\), verdoppeln sich schlicht alle Lebensdauern.
Bei der Interpretation der Ergebnisse sollten Sie sich die dahinterstehende Frage vor Augen führen. \(F(t)\) beantwortet „Welcher Anteil fällt bis zum Zeitpunkt t aus?“ — nützlich etwa für die Garantieplanung. \(S(t)\) beantwortet „Welcher Anteil funktioniert noch?“ — also die Zuverlässigkeit im Alter \(t\). Die Ausfallrate beantwortet eine bedingte Frage: Wenn ein Exemplar das Alter \(t\) bereits erreicht hat, mit welcher Rate fällt es gerade jetzt aus? Eine Ausfallrate von 0,1 pro Zeiteinheit bei \(t = 5\) bedeutet, dass von den Exemplaren, die dieses Alter noch erleben, im nächsten kurzen Zeitabschnitt etwa 10 % pro Zeiteinheit ausfallen.
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Zweiparametriges Modell. Dieser Rechner geht von der zweiparametrigen Weibull-Verteilung aus, deren Träger bei null beginnt. Wenn Ihre Daten auf eine minimale Schwellenzeit vor dem ersten möglichen Ausfall hindeuten, wäre eine dreiparametrige Weibull-Verteilung (mit Lageparameter) erforderlich.
- Unabhängige, gleichartige Einheiten. Die Wahrscheinlichkeiten beschreiben eine Gesamtheit von nominell identischen Einheiten unter ähnlichen Bedingungen. Einflussgrößen wie Last, Temperatur oder Nutzungsintensität bleiben unberücksichtigt; dafür braucht es regressionsartige Weibull-Modelle.
- Konsistente Einheiten. \(t\), \(a\), \(b\) und \(λ\) müssen dieselbe Einheit haben (Stunden, Tage, Zyklen). Vermischte Einheiten sind die häufigste Quelle falscher Ergebnisse.
- Parameter stammen aus Daten. In der Praxis werden \(k\) und \(λ\) aus Ausfalldaten geschätzt (etwa durch Medianrang-Regression oder Maximum-Likelihood). Der Rechner wertet die Verteilung für vorgegebene Parameter aus; er schätzt sie nicht.
- Schiefe Lebensdauern. Wenn Ausfalldaten stark rechtssteil sind, die Ausfallrate aber kein Potenzgesetz befolgt, ist die Lognormalverteilung in der Zuverlässigkeitsanalyse eine gängige Alternative; beide Anpassungen zu vergleichen ist gute Praxis.
- Extreme Parameterwerte. Sehr kleines oder sehr großes \(k\) kann den über die Gammafunktion berechneten Mittelwert in numerisch extreme Bereiche treiben; solche Ergebnisse sind mit Vorsicht zu interpretieren.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich Weibull-Wahrscheinlichkeiten von Hand oder in Excel?
Von Hand berechnen Sie \((t/λ)^k\), dann \(F(t) = 1 - e^{-(t/λ)^k}\) und \(S(t) = e^{-(t/λ)^k}\). In Excel oder Google Sheets verwenden Sie WEIBULL.DIST(t; k; λ; WAHR) für die Ausfallwahrscheinlichkeit und FALSCH für die Dichte. Beispiel mit \(k = 2\), \(λ = 10\), \(t = 5\): WEIBULL.DIST(5; 2; 10; WAHR) liefert etwa 0,2212.
Welcher Wert ist für den Formparameter k typisch?
Das hängt vom Ausfallmechanismus ab. \(k < 1\) passt zu Frühausfällen, \(k = 1\) zu zufälligen Ausfällen, \(k > 1\) zu Verschleiß. Empirisch zeigen Wälzlager oft \(k \approx 1.5\text{–}3\), Materialermüdung etwa \(k = 2\text{–}4\), elektronische Bauteile häufig Werte nahe 1. Einen allgemein „guten“ Wert gibt es nicht — er widerspiegelt einfach, wie das Bauteil tatsächlich ausfällt.
Wie rechne ich Ergebnisse um, wenn meine Skala in Stunden liegt, ich aber Tage oder Zyklen brauche?
Alle Eingaben müssen eine gemeinsame Einheit haben — rechnen Sie also vorher um. Beträgt \(λ\) 240 Stunden und Sie möchten Tage, teilen Sie durch 24 und erhalten \(λ = 10\) Tage; geben Sie auch \(t\), \(a\) und \(b\) in Tagen ein. Wahrscheinlichkeiten und \(k\) ändern sich durch die Einheit nie; nur \(λ\), die Zeitangaben, MTTF und Median skalieren proportional. Die Ausfallrate rechnet sich umgekehrt um: eine Rate pro Stunde entspricht \(1/24\) der Rate pro Tag.
Was ist der Unterschied zwischen der Ausfallrate und der Dichte f(t)?
Die Dichte \(f(t)\) ist die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für ein neues Exemplar. Die Ausfallrate \(h(t)\) ist bedingt: Sie gilt nur für Exemplare, die den Zeitpunkt \(t\) bereits überlebt haben. Verknüpft sind beide durch \(h(t) = f(t)/S(t)\). In der Praxis beantwortet die Ausfallrate die Frage „Wie riskant ist das Leben im Alter t gerade jetzt?“, während die Dichte die Ausfälle über die gesamte Gesamtheit ab Alter null verteilt.
Warum unterscheiden sich mittlere und mediane Zeit bis zum Ausfall?
Die Weibull-Verteilung ist in der Regel schief, daher fallen Mittelwert und Median selten zusammen. Der Median ist \(λ(\ln 2)^{1/k}\) — das Alter, in dem 50 % ausgefallen sind —, während der Mittelwert \(λ\,\Gamma(1+1/k)\) beträgt, der durch den langen oder kurzen Rand der Verteilung verzerrt wird. Für die Garantie- oder Ersatzteilplanung ist der Median (oder ein anderes Perzentil) oft nützlicher, weil er beschreibt, was ein typisches Exemplar erlebt.
Kann ich den Zeitpunkt bestimmen, bis zu dem ein bestimmter Prozentsatz ausfällt, etwa die B10-Lebensdauer?
Ja — durch Umkehren der Verteilungsfunktion. Der Zeitpunkt, bis zu dem ein Anteil \(p\) ausfällt, ist \(t_p = λ[-\ln(1-p)]^{1/k}\). Für die B10-Lebensdauer (10 % ausgefallen) setzen Sie \(p = 0.1\): \(t_{10} = λ(-\ln 0.9)^{1/k}\). Der Rechner arbeitet in der Vorwärtsrichtung, aber Sie können diese Formel selbst einsetzen oder \(t\) so lange anpassen, bis \(F(t)\) den gewünschten Prozentsatz erreicht.
Welche Fehler treten bei der Nutzung dieses Rechners häufig auf?
Die häufigsten Fehler sind vermischte Einheiten (z. B. \(λ\) in Stunden, \(t\) in Tagen), das Ablesen von \(F(t)\) als Überlebenswahrscheinlichkeit (beide ergänzen sich zu 1) und die Deutung der Ausfallrate als Wahrscheinlichkeit — sie ist eine Rate pro Zeiteinheit und kann über 1 liegen. Denken Sie außerdem daran: Dieses Werkzeug wertet eine Verteilung für vorgegebene \(k\) und \(λ\) aus; es schätzt die Parameter nicht aus Ihren Ausfalldaten und setzt voraus, dass Ausfälle ab dem Zeitpunkt null möglich sind.