Калькулятор распределения Вейбулла

Оценка вероятностей отказа и безотказной работы во времени

Параметр формы

Параметр формы k: при k < 1 интенсивность отказов убывает (отказы приработки, «детская смертность»), при k = 1 она постоянна (экспоненциальное распределение), при k > 1 возрастает (износ).

Параметр масштаба

Параметр масштаба λ задаётся в тех же единицах времени, что и t; он равен времени, к которому откажут 63,2 % изделий. Должен быть больше 0.

Что рассчитать

Рассчитывать автоматическиЕсли включено, результат будет автоматически обновляться при изменении любого значения.

Результаты для распределения Вейбулла

Плотность в момент времениf(t)

Накопленная вероятность P(T ≤ t)F(t)

Вероятность безотказной работы P(T > t)S(t)

Интенсивность отказов (мгновенная)

Вероятность отказа на интервале P(a ≤ T ≤ b)P(a≤T≤b)

Средняя наработка до отказа

Медианная наработка до отказа

Принцип работы и интерпретация результатов

Формула распределения Вейбулла

Формула

\[ F(t) = 1 - e^{-(t/λ)^k} \ \ \ S(t) = e^{-(t/λ)^k} \\ f(t) = \frac{k}{λ}\left(\frac{t}{λ}\right)^{k-1} e^{-(t/λ)^k} \ \ \ h(t) = \frac{k}{λ}\left(\frac{t}{λ}\right)^{k-1} \\ \mathrm{MTTF} = λ\,\Gamma\!\left(1+\frac{1}{k}\right) \ \ \ t_{\mathrm{median}} = λ\,(\ln 2)^{1/k} \\ P(a \le T \le b) = e^{-(a/λ)^k} - e^{-(b/λ)^k} \]

Обозначения:

\(k\) — параметр формы; определяет, как интенсивность отказов меняется со временем (\(k > 0\))
\(λ\) — параметр масштаба, выраженный в тех же единицах времени, что и \(t\); грубо говоря, это характеристический ресурс (\(λ > 0\))
\(T\) — случайное время до отказа
\(\Gamma\) — гамма-функция

Распределение Вейбулла описывает время до наступления события, например отказа детали. Функция распределения \(F(t)\) даёт вероятность отказа к моменту \(t\), функция выживания \(S(t)\) — вероятность, что объект всё ещё работает, а интенсивность отказов \(h(t)\) — мгновенную скорость отказов объекта, дожившего до этого момента.

Распределение Вейбулла — пример расчёта

{example}

Пример: ресурс детали описывается распределением Вейбулла с параметром формы \(k = 2\) и параметром масштаба \(λ = 10\) (в тысячах часов). Какова вероятность, что она откажет в течение \(t = 5\) тысяч часов, и какова в этот момент интенсивность отказов?

\[ \left(\frac{t}{λ}\right)^k = \left(\frac{5}{10}\right)^2 = 0.25 \]

\[ F(5) = 1 - e^{-0.25} \approx 0.22120 \quad S(5) = e^{-0.25} \approx 0.77880 \]

\[ f(5) = \frac{2}{10}\cdot 0.5 \cdot e^{-0.25} \approx 0.07788 \quad h(5) = \frac{2}{10}\cdot 0.5 = 0.1 \]

\[ \mathrm{MTTF} = 10\,\Gamma(1.5) \approx 8.8623 \quad t_{\mathrm{median}} = 10\sqrt{\ln 2} \approx 8.3255 \]

Результат: около 22,12 % таких деталей отказывают к 5 единицам времени (77,88 % продолжают работать), плотность в этот момент \(f(5) \approx 0.07788\), интенсивность отказов — 0,1 на единицу времени, а среднее и медианное время жизни составляют примерно 8,86 и 8,33 единицы времени.

{/example}

Как пользоваться калькулятором распределения Вейбулла

Введите параметр формы \(k\). Значения меньше 1 описывают убывающую интенсивность отказов, \(k = 1\) — постоянную, а значения больше 1 — возрастающую (износ).
Введите параметр масштаба \(λ\) в тех же единицах времени, которые будете использовать при вводе времени.
В поле «Что вычислить» выберите режим: «В одной точке t» или «На интервале [a, b]».
Для одной точки введите время \(t\). Для интервала — нижнюю границу \(a\) и верхнюю границу \(b\) (при \(b > a\)).
Прочитайте результаты: плотность \(f(t)\), вероятность отказа \(F(t)\), вероятность выживания \(S(t)\), интенсивность отказов, вероятность на интервале (в режиме интервала), а также среднее и медианное время до отказа.

Что такое распределение Вейбулла?

Распределение Вейбулла — одна из самых распространённых моделей в теории надёжности и анализе выживаемости. Оно описывает время до отказа или иного события: срок службы подшипника, лампочки, электронного компонента, время до рецидива после лечения. Популярность объясняется гибкостью: меняя всего один параметр, можно описать все три классические картины отказов на протяжении жизни изделия.

Параметр формы \(k\) определяет поведение интенсивности отказов. При \(k < 1\) интенсивность со временем убывает — это картина «детской смертности»: дефектные изделия отказывают рано, а выжившие становятся всё надёжнее. При \(k = 1\) интенсивность постоянна, и распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, где возраст ничего не говорит о будущем риске. При \(k > 1\) интенсивность растёт, что описывает износ — усталость, коррозию, старение материала; при \(k \approx 3.4\) распределение становится примерно симметричным и близким к нормальному.

Параметр масштаба \(λ\) растягивает или сжимает ось времени. Полезная интерпретация: к моменту \(t = λ\) отказывает ровно \(1 - e^{-1} \approx 63.2\%\) изделий — независимо от \(k\). Именно поэтому \(λ\) часто называют характеристическим ресурсом. Если удвоить \(λ\) при неизменном \(k\), все времена жизни просто удвоятся.

Интерпретируя результаты, держите в голове, какой именно вопрос вы задаёте. \(F(t)\) отвечает на вопрос «какая доля отказывает к моменту \(t\)?» — это полезно при планировании гарантии. \(S(t)\) — «какая доля ещё работает?», то есть надёжность в возрасте \(t\). Интенсивность отказов отвечает на условный вопрос: если изделие уже дожило до \(t\), с какой скоростью оно отказывает прямо сейчас? Интенсивность 0,1 на единицу времени при \(t = 5\) означает, что среди изделий, доживших до этого возраста, в ближайший момент около 10 % отказывает за единицу времени.

Допущения, ограничения и практические советы

Двухпараметрическая модель. Калькулятор использует двухпараметрическое распределение Вейбулла с носителем, начинающимся с нуля. Если данные указывают, что существует минимальный срок, раньше которого отказ невозможен, потребуется трёхпараметрическая модель (с параметром сдвига).
Независимые однотипные изделия. Вероятности описывают совокупность номинально одинаковых изделий, работающих в схожих условиях. Они не учитывают влияющие факторы вроде нагрузки, температуры или интенсивности эксплуатации — для этого нужны регрессионные модели на основе Вейбулла.
Согласованные единицы. Величины \(t\), \(a\), \(b\) и \(λ\) должны быть выражены в одних единицах (часы, дни, циклы). Смешение единиц — самая частая причина неверных ответов.
Параметры берутся из данных. На практике \(k\) и \(λ\) оценивают по данным об отказах (например, методом медианных рангов или максимального правдоподобия). Калькулятор вычисляет распределение для заданных параметров, но не подбирает их.
Асимметричные времена жизни. Если данные об отказах сильно скошены вправо, а интенсивность не следует степенному закону, в задачах надёжности часто используют логнормальное распределение; полезно сравнить обе модели.
Экстремальные значения параметров. При очень малых или очень больших \(k\) среднее, вычисляемое через гамма-функцию, может уходить в численно экстремальные значения — такие результаты интерпретируйте с осторожностью.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить вероятности распределения Вейбулла вручную или в Excel?

Вручную сначала найдите \((t/λ)^k\), затем \(F(t) = 1 - e^{-(t/λ)^k}\) и \(S(t) = e^{-(t/λ)^k}\). В Excel или Google Таблицах используйте WEIBULL.DIST(t, k, λ, TRUE) для функции распределения и FALSE для плотности. Например, при \(k = 2\), \(λ = 10\), \(t = 5\) функция WEIBULL.DIST(5, 2, 10, TRUE) вернёт примерно 0,2212.

Каким обычно бывает значение параметра формы k?

Это зависит от механизма отказов: \(k > 1\) соответствует износу. Эмпирически подшипники часто показывают \(k \approx 1.5\text{–}3\), усталость металлов — около \(k = 2\text{–}4\), а электронные компоненты — значения, близкие к 1. Универсально «правильного» значения не существует — оно отражает то, как изделие отказывает на самом деле.

Как перевести результаты, если масштаб задан в часах, а нужны дни или циклы?

Все исходные данные должны быть в одних единицах, поэтому переведите их заранее. Если \(λ\) равна 240 часам, а вам нужны дни, разделите на 24 и получите \(λ = 10\) дней; \(t\), \(a\), \(b\) тоже вводите в днях. Вероятности и \(k\) от единиц не зависят; пропорционально меняются только \(λ\), времена, среднее время до отказа и медиана. Интенсивность отказов пересчитывается обратно: значение «в час» составит \(1/24\) от значения «в день».

Чем интенсивность отказов отличается от плотности f(t)?

Плотность \(f(t)\) — это безусловная вероятность отказа за единицу времени для нового изделия. Интенсивность \(h(t)\) условна: она относится только к изделиям, уже дожившим до момента \(t\). Они связаны соотношением \(h(t) = f(t)/S(t)\). На практике интенсивность отвечает на вопрос «насколько рискованна жизнь прямо сейчас, в возрасте \(t\)?», а плотность распределяет отказы по всей совокупности с нулевого возраста.

Почему среднее и медианное время до отказа различаются?

Распределение Вейбулла обычно асимметрично, поэтому среднее и медиана почти никогда не совпадают. Медиана \(λ(\ln 2)^{1/k}\) — это возраст, к которому отказывает 50 % изделий, а среднее \(λ\,\Gamma(1+1/k)\) смещается из-за длинного или короткого «хвоста». При планировании гарантии и запасных частей медиана (или другие перцентили) часто полезнее: она показывает, что переживает типичное изделие.

Можно ли найти время, к которому отказает заданный процент изделий, например ресурс B10?

Да — обратите функцию распределения. Время, к которому отказает доля \(p\), равно \(t_p = λ[-\ln(1-p)]^{1/k}\). Например, для ресурса B10 (10 % отказавших) возьмите \(p = 0.1\): \(t_{10} = λ(-\ln 0.9)^{1/k}\). Калькулятор работает в прямом направлении, но эту формулу можно применить самостоятельно или подбирать \(t\) в калькуляторе, пока \(F(t)\) не достигнет нужного процента.

Какие ошибки чаще всего совершают при работе с этим калькулятором?

Самые частые ошибки — смешение единиц (например, \(λ\) в часах при \(t\) в днях), чтение \(F(t)\) как вероятности выживания (в сумме они дают 1) и трактовка интенсивности как вероятности — на самом деле это скорость на единицу времени, и она может превышать 1. Также помните: инструмент вычисляет распределение для заданных \(k\) и \(λ\), но не оценивает параметры по вашим данным об отказах и предполагает, что отказы возможны начиная с нулевого момента времени.