Kalkulator rozkładu Weibulla

Q: Jak obliczyć prawdopodobieństwa rozkładu Weibulla ręcznie lub w Excelu?

Ręcznie oblicz (t/λ)^k, a następnie F(t) = 1 - e^-(t/λ)^k i S(t) = e^-(t/λ)^k. W Excelu lub Arkuszach Google użyj funkcji WEIBULL.DIST(t, k, λ, TRUE) dla dystrybuanty, a FALSE dla gęstości. Na przykład dla k = 2, λ = 10, t = 5: WEIBULL.DIST(5, 2, 10, TRUE) zwraca około 0,2212.

Q: Jakie typowe wartości przyjmuje parametr kształtu k?

Zależy od mechanizmu uszkodzenia. k > 1 pasuje do procesów zużywania. Empirycznie łożyska często wykazują k ≈ 1.5–3, zmęczenie metali około k = 2–4, a elementy elektroniczne często wartości bliskie 1. Nie istnieje „dobra” wartość uniwersalna — parametr odzwierciedla to, jak element faktycznie się psuje.

Q: Czym różni się intensywność uszkodzeń od gęstości f(t)?

Gęstość f(t) to bezwarunkowe prawdopodobieństwo uszkodzenia na jednostkę czasu dla nowego elementu. Intensywność h(t) jest warunkowa: dotyczy wyłącznie elementów, które przetrwały już do chwili t. Łączy je zależność h(t) = f(t)/S(t). W praktyce intensywność odpowiada na pytanie „jak ryzykowne jest życie właśnie teraz, w wieku t?”, podczas gdy gęstość rozkłada uszkodzenia na całą populację licząc od zera.

Q: Jakie błędy najczęściej popełnia się przy korzystaniu z tego kalkulatora?

Najczęstsze pomyłki to mieszanie jednostek (np. λ w godzinach przy t w dniach), odczytywanie F(t) jako prawdopodobieństwa przetrwania (obie wartości sumują się do 1) oraz traktowanie intensywności uszkodzeń jak prawdopodobieństwa — to częstość na jednostkę czasu i może przekraczać 1. Pamiętaj też, że narzędzie wyznacza wartości rozkładu dla podanych k i λ; nie szacuje parametrów na podstawie Twoich danych o uszkodzeniach i zakłada, że uszkodzenia mogą następować już od chwili zero.

Zaktualizowano: 8 października 2026

Wpisz parametr kształtu i parametr skali rozkładu Weibulla, aby obliczyć gęstość, prawdopodobieństwo uszkodzenia i przetrwania, intensywność uszkodzeń, średni i medianowy czas do uszkodzenia albo prawdopodobieństwo uszkodzenia w przedziale czasu.

Szacowanie prawdopodobieństwa uszkodzenia lub przeżycia w czasie

Parametr kształtu

Parametr kształtu k: k < 1 — malejąca intensywność uszkodzeń (wczesne uszkodzenia), k = 1 — stała (rozkład wykładniczy), k > 1 — rosnąca (zużycie).

Parametr skali

Skala λ w tej samej jednostce czasu co t; to czas, po którym ulegnie uszkodzeniu 63,2% elementów. Musi być większa od 0.

Co chcesz obliczyć

Obliczaj automatyczniePo włączeniu wynik aktualizuje się automatycznie po zmianie dowolnej wartości.

Wyniki rozkładu Weibulla

Gęstość w chwili tf(t)

Prawdopodobieństwo skumulowane P(T ≤ t)F(t)

Prawdopodobieństwo przeżycia P(T > t)S(t)

Intensywność uszkodzeń (chwilowa)

Prawdopodobieństwo na przedziale P(a ≤ T ≤ b)P(a≤T≤b)

Średni czas do uszkodzenia

Mediana czasu do uszkodzenia

Jak to działa i jak interpretować wyniki

Wzór rozkładu Weibulla

Wzór

\[ F(t) = 1 - e^{-(t/λ)^k} \ \ \ S(t) = e^{-(t/λ)^k} \\ f(t) = \frac{k}{λ}\left(\frac{t}{λ}\right)^{k-1} e^{-(t/λ)^k} \ \ \ h(t) = \frac{k}{λ}\left(\frac{t}{λ}\right)^{k-1} \\ \mathrm{MTTF} = λ\,\Gamma\!\left(1+\frac{1}{k}\right) \ \ \ t_{\mathrm{median}} = λ\,(\ln 2)^{1/k} \\ P(a \le T \le b) = e^{-(a/λ)^k} - e^{-(b/λ)^k} \]

Objaśnienia symboli:

\(k\) — parametr kształtu, który decyduje o tym, jak intensywność uszkodzeń zmienia się w czasie (\(k > 0\))
\(λ\) — parametr skali, wyrażony w tej samej jednostce czasu co \(t\); w przybliżeniu odpowiada czasowi charakterystycznemu (\(λ > 0\))
\(T\) — losowy czas do uszkodzenia
\(\Gamma\) — funkcja gamma

Rozkład Weibulla opisuje czas do wystąpienia zdarzenia, na przykład awarii elementu. Funkcja dystrybuanty \(F(t)\) podaje prawdopodobieństwo uszkodzenia przed chwilą \(t\), funkcja przetrwania \(S(t)\) — prawdopodobieństwo, że element nadal działa, a intensywność uszkodzeń \(h(t)\) — chwilową częstość uszkodzeń elementu, który dotąd przetrwał.

Rozkład Weibulla – przykład obliczenia

{example}

Przykład: żywotność elementu ma rozkład Weibulla z parametrem kształtu \(k = 2\) i parametrem skali \(λ = 10\) (w tysiącach godzin). Jakie jest prawdopodobieństwo, że ulegnie uszkodzeniu w ciągu \(t = 5\) tysięcy godzin, i jaka jest w tym momencie jego intensywność uszkodzeń?

\[ \left(\frac{t}{λ}\right)^k = \left(\frac{5}{10}\right)^2 = 0.25 \]

\[ F(5) = 1 - e^{-0.25} \approx 0.22120 \quad S(5) = e^{-0.25} \approx 0.77880 \]

\[ f(5) = \frac{2}{10}\cdot 0.5 \cdot e^{-0.25} \approx 0.07788 \quad h(5) = \frac{2}{10}\cdot 0.5 = 0.1 \]

\[ \mathrm{MTTF} = 10\,\Gamma(1.5) \approx 8.8623 \quad t_{\mathrm{median}} = 10\sqrt{\ln 2} \approx 8.3255 \]

Wynik: około 22,12% takich elementów ulega uszkodzeniu przed 5 jednostkami czasu (78,88% przetrwa), gęstość w tym momencie wynosi \(f(5) \approx 0.07788\), intensywność uszkodzeń 0,1 na jednostkę czasu, a średni i medianowy czas życia to odpowiednio około 8,86 i 8,33 jednostki czasu.

{/example}

Jak korzystać z kalkulatora rozkładu Weibulla

Wpisz parametr kształtu \(k\). Wartości poniżej 1 opisują malejącą intensywność uszkodzeń, \(k = 1\) — stałą, a wartości powyżej 1 — rosnącą (związaną ze zużywaniem się).
Wpisz parametr skali \(λ\) w tej samej jednostce czasu, której będziesz używać przy wpisywaniu czasu.
Wybierz w polu Co obliczyć: Dla pojedynczego czasu t albo Dla przedziału [a, b].
Dla pojedynczego czasu wpisz czas \(t\). Dla przedziału wpisz granice dolną \(a\) i górną \(b\) (przy czym \(b > a\)).
Odczytaj wyniki: gęstość \(f(t)\), dystrybuantę \(F(t)\), prawdopodobieństwo przetrwania \(S(t)\), intensywność uszkodzeń, prawdopodobieństwo dla przedziału (w trybie przedziałowym) oraz średni i medianowy czas do uszkodzenia.

Czym jest rozkład Weibulla?

Rozkład Weibulla to jeden z najczęściej stosowanych modeli w inżynierii niezawodności i analizie przeżywalności. Opisuje czas do awarii lub innego zdarzenia — żywotność łożyska, żarówki, elementu elektronicznego albo czas do nawrotu choroby po leczeniu. Zawdzięcza swoją popularność elastyczności: zmiana jednego parametru pozwala odwzorować wszystkie trzy klasyczne wzorce uszkodzeń występujące podczas życia wyrobu.

Parametr kształtu \(k\) decyduje o zachowaniu intensywności uszkodzeń. Przy \(k < 1\) częstość uszkodzeń maleje w czasie, co odpowiada zjawisku „śmiertelności niemowląt”: elementy wadliwe psują się szybko, a te, które przetrwają, stają się coraz bardziej niezawodne. Przy \(k = 1\) intensywność uszkodzeń jest stała, a rozkład Weibulla sprowadza się do rozkładu wykładniczego, w którym wiek nie niesie żadnej informacji o przyszłym ryzyku. Przy \(k > 1\) częstość uszkodzeń rośnie, co opisuje procesy zużywania, takie jak zmęczenie materiału, korozja czy starzenie; przy \(k \approx 3.4\) rozkład staje się z grubsza symetryczny, zbliżony do rozkładu normalnego.

Parametr skali \(λ\) rozciąga lub kurczy oś czasu. Przydatna interpretacja: do chwili \(t = λ\) psuje się dokładnie \(1 - e^{-1} \approx 63.2\%\) elementów, niezależnie od \(k\). Dlatego \(λ\) nazywa się często czasem charakterystycznym. Jeśli podwoisz \(λ\), zachowując stałe \(k\), wszystkie czasy życia po prostu się podwoją.

Interpretując wyniki, miej na uwadze, na które pytanie odpowiadasz. \(F(t)\) odpowiada na pytanie „jaka część elementów psuje się do chwili \(t\)?” — przydatne przy planowaniu gwarancji. \(S(t)\) odpowiada na pytanie „jaka część nadal działa?” — to niezawodność w wieku \(t\). Intensywność uszkodzeń dotyczy pytania warunkowego: jeśli element przetrwał już do chwili \(t\), z jaką szybkością psuje się właśnie teraz? Intensywność 0,1 na jednostkę czasu przy \(t = 5\) oznacza, że wśród elementów wciąż sprawnych w tym wieku psuje się około 10% na jednostkę czasu.

Założenia, ograniczenia i praktyczne wskazówki

Model dwuparametrowy. Kalkulator zakłada dwuparametrowy rozkład Weibulla o nośności zaczynającej się od zera. Jeśli dane sugerują istnienie minimalnego czasu, przed którym żadne uszkodzenie nie może nastąpić, konieczny będzie trójparametrowy rozkład Weibulla (z parametrem położenia).
Niezależne, identyczne elementy. Prawdopodobieństwa opisują populację nominalnie identycznych elementów pracujących w zbliżonych warunkach. Nie uwzględniają zmiennych towarzyszących, takich jak obciążenie, temperatura czy intensywność użytkowania; do tego potrzebne są modele Weibulla typu regresyjnego.
Spójne jednostki. \(t\), \(a\), \(b\) i \(λ\) muszą być wyrażone w tej samej jednostce (godziny, dni, cykle). Mieszanie jednostek to najczęstsze źródło błędnych wyników.
Parametry pochodzą z danych. W praktyce \(k\) i \(λ\) szacuje się na podstawie danych o uszkodzeniach (np. metodą regresji rang medianowych lub maksymalnej wiarygodności). Kalkulator wyznacza wartości rozkładu dla podanych parametrów, ale ich nie dopasowuje.
Skosne rozkłady żywotności. Gdy dane o uszkodzeniach są mocno prawostronnie skośne, ale intensywność uszkodzeń nie jest funkcją potęgową, w badaniach niezawodności często stosuje się jako alternatywę rozkład lognormalny; porównanie obu dopasowań to dobra praktyka.
Ekstremalne wartości parametrów. Bardzo małe lub bardzo duże \(k\) może doprowadzić średnią — wyznaczaną przez funkcję gamma — do wartości liczbowo ekstremalnych; takie wyniki należy interpretować ostrożnie.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć prawdopodobieństwa rozkładu Weibulla ręcznie lub w Excelu?

Ręcznie oblicz \((t/λ)^k\), a następnie \(F(t) = 1 - e^{-(t/λ)^k}\) i \(S(t) = e^{-(t/λ)^k}\). W Excelu lub Arkuszach Google użyj funkcji WEIBULL.DIST(t, k, λ, TRUE) dla dystrybuanty, a FALSE dla gęstości. Na przykład dla \(k = 2\), \(λ = 10\), \(t = 5\): WEIBULL.DIST(5, 2, 10, TRUE) zwraca około 0,2212.

Jakie typowe wartości przyjmuje parametr kształtu k?

Zależy od mechanizmu uszkodzenia. \(k > 1\) pasuje do procesów zużywania. Empirycznie łożyska często wykazują \(k \approx 1.5\text{–}3\), zmęczenie metali około \(k = 2\text{–}4\), a elementy elektroniczne często wartości bliskie 1. Nie istnieje „dobra” wartość uniwersalna — parametr odzwierciedla to, jak element faktycznie się psuje.

Jak przeliczyć wyniki, jeśli skalę mam w godzinach, a potrzebuję dni lub cykli?

Wszystkie dane wejściowe muszą być w jednej jednostce, więc najpierw przelicz je na wspólną. Jeśli \(λ\) wynosi 240 godzin, a chcesz dni, podziel przez 24, aby otrzymać \(λ = 10\) dni, i wpisz \(t\), \(a\), \(b\) również w dniach. Prawdopodobieństwa i \(k\) nie zmieniają się wraz z jednostką; tylko \(λ\), czasy, MTTF i mediana skalują się proporcjonalnie. Intensywność uszkodzeń przelicza się odwrotnie: intensywność na godzinę staje się \(1/24\) tej wartości na dzień.

Czym różni się intensywność uszkodzeń od gęstości f(t)?

Gęstość \(f(t)\) to bezwarunkowe prawdopodobieństwo uszkodzenia na jednostkę czasu dla nowego elementu. Intensywność \(h(t)\) jest warunkowa: dotyczy wyłącznie elementów, które przetrwały już do chwili \(t\). Łączy je zależność \(h(t) = f(t)/S(t)\). W praktyce intensywność odpowiada na pytanie „jak ryzykowne jest życie właśnie teraz, w wieku \(t\)?”, podczas gdy gęstość rozkłada uszkodzenia na całą populację licząc od zera.

Dlaczego średni i medianowy czas do uszkodzenia są różne?

Rozkład Weibulla jest zwykle skośny, dlatego średnia i mediana rzadko się pokrywają. Mediana to \(λ(\ln 2)^{1/k}\) — wiek, w którym 50% elementów już uległo uszkodzeniu — natomiast średnia \(λ\,\Gamma(1+1/k)\) jest przyciągana przez długi lub krótki ogon rozkładu. Przy planowaniu gwarancji czy zapasów części zamiennych mediana (lub inne percentyle) bywa bardziej przydatna, bo opisuje to, czego doświadcza typowy egzemplarz.

Czy można wyznaczyć czas, do którego psuje się określony procent elementów, np. trwałość B10?

Tak — wystarczy odwrócić dystrybuantę. Czas, do którego ulega uszkodzeniu część \(p\), wynosi \(t_p = λ[-\ln(1-p)]^{1/k}\). Na przykład trwałość B10 (10% uszkodzonych) odpowiada \(p = 0.1\): \(t_{10} = λ(-\ln 0.9)^{1/k}\). Kalkulator działa „w przód”, ale możesz samodzielnie użyć tego wzoru albo tak dobierać \(t\), aż \(F(t)\) osiągnie zadany procent.

Jakie błędy najczęściej popełnia się przy korzystaniu z tego kalkulatora?

Najczęstsze pomyłki to mieszanie jednostek (np. \(λ\) w godzinach przy \(t\) w dniach), odczytywanie \(F(t)\) jako prawdopodobieństwa przetrwania (obie wartości sumują się do 1) oraz traktowanie intensywności uszkodzeń jak prawdopodobieństwa — to częstość na jednostkę czasu i może przekraczać 1. Pamiętaj też, że narzędzie wyznacza wartości rozkładu dla podanych \(k\) i \(λ\); nie szacuje parametrów na podstawie Twoich danych o uszkodzeniach i zakłada, że uszkodzenia mogą następować już od chwili zero.