Gammaverteilung-Rechner

Q: Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten der Gammaverteilung von Hand?

Skalieren Sie zunächst Ihren Wert, indem Sie x/θ berechnen. Für die Verteilungsfunktion benötigen Sie die regularisierte unvollständige Gammafunktion P(k, x/θ), die üblicherweise in Tabellen oder mit Software nachgeschlagen wird. Ist k eine ganze Zahl, gelingt die Berechnung von Hand mit der endlichen Summe F(x) = 1 - e^-x/θsum_j=0^k-1 (x/θ)^j / j!. Die Dichte selbst ist unproblematisch: Setzen Sie einfach in f(x) = x^k-1 e^-x/θ / (Gamma(k)θ^k) ein.

Q: Meine Software liefert einen Ratenparameter — wie rechne ich ihn in die Skala θ um?

Die Rate β ist schlicht der Kehrwert der Skala: β = 1/θ, also θ = 1/β. Excels GAMMA.VERT, Pythons scipy.stats.gamma und pgamma in R verwenden standardmäßig die Ratenparametrisierung. Eine als Gamma(shape 2, rate 0.5) angegebene Verteilung ist beispielsweise identisch mit dem Formparameter k = 2 und dem Skalenparameter θ = 2 — tragen Sie hier 2 in das Skalenfeld ein. Die Verwechslung der beiden Parametrisierungen ist mit Abstand die häufigste Quelle falscher Ergebnisse.

Q: Wie finde ich k und θ, wenn ich nur Erwartungswert und Varianz kenne?

Nutzen Sie die Momentenformeln μ = kθ und σ^2 = kθ^2. Auflösen liefert k = μ^2/σ^2 und θ = σ^2/μ. Betragen die Wartezeiten im Mittel beispielsweise 10 Stunden bei einer Varianz von 50, so ergibt sich k = 100/50 = 2 und θ = 50/10 = 5. Diese Schätzung nach der Momentenmethode ist ein guter Ausgangspunkt; für höhere Genauigkeit passen Sie die Parameter per Maximum-Likelihood mit entsprechender Statistiksoftware an.

Q: Worin unterscheiden sich die Gamma-, die Exponential-, die Erlang- und die Chi-Quadrat-Verteilung?

Sie bilden allesamt eine einzige Familie. Die Exponentialverteilung ist der Spezialfall k = 1. Die Erlang-Verteilung ist die Gammaverteilung mit ganzzahligem k — sie beschreibt die Wartezeit bis zum k-ten Ereignis in einem Poisson-Prozess. Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit k = n/2 und θ = 2. Jede Wahrscheinlichkeit, die Sie hier für diese Spezialfälle berechnen, stimmt daher mit der zugehörigen Exponential-, Erlang- oder Chi-Quadrat-Tabelle überein.

Q: Warum liefert der Rechner den Modus 0, wenn k kleiner als 1 ist?

Die Modusformel (k-1)θ ist nur für k ≥ 1 sinnvoll. Bei k < 1 ist der Exponent k - 1 negativ, sodass die Dichte gegen unendlich steigt, je näher x an null heranrückt — ein endlicher Peak existiert nicht. Der „wahrscheinlichste“ Bereich liegt beliebig nahe bei 0, weshalb der Rechner 0 ausgibt. Das ist mathematisch völlig korrekt, und solche Verlaufsformen kommen in der Praxis durchaus vor, etwa bei der Modellierung stark unregelmäßiger Versicherungsschäden oder von Niederschlag.

Q: Kann ich mit diesem Rechner Perzentile bestimmen, oder brauche ich die inverse Verteilungsfunktion?

Der Rechner wertet die Verteilungsfunktion F(x) aus, nicht ihre Umkehrung, und kann daher den Wert zu einem gegebenen Perzentil nicht direkt berechnen. Ein Perzentil lässt sich aber durch Probieren finden: Geben Sie Kandidaten für x ein und passen Sie sie an, bis die kumulierte Wahrscheinlichkeit Ihrem Zielwert entspricht, etwa 0,5 für den Median. Ein guter erster Schätzwert für den Median ist näherungsweise kθ(1 - 1/(3k))^3, die Wilson-Hilferty-Näherung, die für k > 1 auf etwa 1 % genau ist.

Aktualisiert: 8 Oktober 2026

Berechnen Sie die Dichte der Gammaverteilung, kumulierte und obere Wahrscheinlichkeiten, Intervallwahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Varianz und Modus. Geben Sie den Formparameter k, den Skalenparameter θ sowie einen Wert oder ein Intervall ein.

Gamma-Wahrscheinlichkeiten, Dichte und Momente berechnen

Formparameter

Form k: steuert die Form der Kurve. k = 1 ergibt die Exponentialverteilung; ganzzahliges k ergibt die Erlang-Verteilung (Wartezeit bis zum k-ten Ereignis).

Skalenparameter

Skala θ in derselben Einheit wie x. Muss größer als 0 sein.

Was soll berechnet werden

Automatisch berechnenWenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert ändern.

Ergebnisse der Gammaverteilung

Dichte am Wertf(x)

Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x)F(x)

Überschreitungswahrscheinlichkeit P(X > x)S(x)

Intervallwahrscheinlichkeit P(a ≤ X ≤ b)P(a≤X≤b)

Erwartungswert

Varianz

Modus (wahrscheinlichster Wert)

Funktionsweise und Interpretation

Formel der Gammaverteilung

Formel

\[ f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\,\theta^k}, \qquad F(x) = P\!\left(k, \frac{x}{\theta}\right), \quad x \ge 0 \\ \mu = k\theta, \qquad \sigma^2 = k\theta^2, \qquad \text{Modus} = (k-1)\theta \ \text{für } k \ge 1 \]

Dabei gilt:

\(k\) — Formparameter, \(k > 0\); er bestimmt die Gestalt der Kurve
\(\theta\) — Skalenparameter, \(\theta > 0\), in derselben Einheit wie \(x\)
\(\Gamma(k)\) — die Gammafunktion, die die Fakultät verallgemeinert (\(\Gamma(n) = (n-1)!\) für ganze Zahlen)
\(P(k, x/\theta)\) — die regularisierte untere unvollständige Gammafunktion, welche die Verteilungsfunktion liefert

Die erste Zeile definiert die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Verteilungsfunktion der Gammaverteilung in der Skalenparametrisierung; die zweite Zeile enthält Erwartungswert, Varianz und Modus. Die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls ergibt sich aus \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\).

Gammaverteilung – Rechenbeispiel

Beispiel: Die Wartezeit für ein System ist gammaverteilt mit dem Formparameter \(k = 2\) und dem Skalenparameter \(\theta = 3\) Stunden. Gesucht sind die Dichte, die kumulierte Wahrscheinlichkeit und die obere Wahrscheinlichkeit bei \(x = 4\) Stunden.

\[ f(4) = \frac{4^{1} e^{-4/3}}{\Gamma(2)\cdot 3^2} = \frac{4 \cdot 0{,}2636}{1 \cdot 9} \approx 0{,}1172 \]

Weil \(k\) eine ganze Zahl ist, besitzt die Verteilungsfunktion die geschlossene Form \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\left(1 + x/\theta\right)\):

\[ F(4) = 1 - e^{-4/3}\left(1 + \tfrac{4}{3}\right) = 1 - 0{,}2636 \cdot 2{,}3333 \approx 0{,}3849 \]

\[ P(X > 4) = 1 - F(4) \approx 0{,}6151 \]

Ergebnis: \(f(4) \approx 0{,}1172\) pro Einheit, \(P(X \le 4) \approx 0{,}3849\) (38,49 %), \(P(X > 4) \approx 0{,}6151\) (61,51 %). Der Erwartungswert beträgt \(k\theta = 6\) Stunden, die Varianz \(k\theta^2 = 18\) und der Modus \((k-1)\theta = 3\) Stunden.

So bedienen Sie den Rechner

Geben Sie den Formparameter \(k\) ein. Er muss positiv sein; \(k = 1\) ergibt die Exponentialverteilung, ganzzahliges \(k\) die Erlang-Verteilung.
Geben Sie den Skalenparameter \(\theta\) ein, eine positive Zahl in derselben Einheit wie Ihre Daten.
Wählen Sie unter Was soll berechnet werden entweder „Bei einem einzelnen Wert x“ oder „Über ein Intervall [a, b]“.
Geben Sie für einen einzelnen Wert den Wert \(x \ge 0\) ein. Der Rechner liefert die Dichte, die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le x)\), die obere Wahrscheinlichkeit \(P(X > x)\) sowie Erwartungswert, Varianz und Modus.
Geben Sie für ein Intervall die Untergrenze \(a\) und die Obergrenze \(b\) ein (mit \(b > a\)). Sie erhalten \(P(a \le X \le b)\) zusammen mit den Dichten und kumulierten Wahrscheinlichkeiten an beiden Endpunkten.
Werfen Sie einen Blick in den Bereich „Funktionsweise und Interpretation“, um Ihre Zahlen in verständlicher Sprache erklärt zu bekommen.

Was ist die Gammaverteilung?

Die Gammaverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung für positive Größen — etwa Wartezeiten, Schadenssummen in der Versicherung, Niederschlagsmengen oder Betriebszeiten. Sie besitzt zwei Parameter: den Formparameter \(k\), der die grundlegende Gestalt der Kurve bestimmt, und den Skalenparameter \(\theta\), der sie entlang der x-Achse streckt oder staucht. Das Ergebnis ist eine außerordentlich flexible Verteilungsfamilie: Bei kleinem \(k\) ist die Dichte stark rechtssteil mit einem Peak nahe null, bei großem \(k\) wird sie nahezu symmetrisch und glockenförmig.

Die Verteilung lässt sich anschaulich als Wartezeit deuten. Treffen Ereignisse zufällig mit konstanter durchschnittlicher Rate ein (ein Poisson-Prozess), so folgt die Gesamtzeit bis zum \(k\)-ten Ereignis einer Gammaverteilung mit dem Formparameter \(k\) und dem Skalenparameter \(\theta\), der der mittleren Zeit zwischen zwei Ereignissen entspricht. Für \(k = 1\) ergibt sich die Exponentialverteilung (die Wartezeit auf ein einzelnes Ereignis); mit ganzzahligem \(k\) spricht man von der Erlang-Verteilung.

Die Ausgaben lassen sich leicht deuten: Die Dichte \(f(x)\) gibt an, wie wahrscheinlich Werte in der Nähe von \(x\) sind — je Messeinheit. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(F(x)\) ist die Chance auf einen Wert von höchstens \(x\), und die obere Wahrscheinlichkeit \(S(x) = 1 - F(x)\) ist die Chance, \(x\) zu überschreiten — in Zuverlässigkeitsanalysen und Warteschlangenmodellen oft die eigentlich gesuchte Größe. Der Erwartungswert \(k\theta\) ist der mittlere Wert, die Varianz \(k\theta^2\) misst die Streuung, und der Modus \((k-1)\theta\) ist der wahrscheinlichste einzelne Wert. Da die Verteilung rechtssteil ist, liegt der Modus unterhalb des Erwartungswerts.

Parametrisierung, Annahmen und praktische Hinweise

Skala oder Rate: Dieser Rechner verwendet die Skala \(\theta\). Viele Lehrbücher und Softwarepakete nutzen stattdessen die Rate \(\beta = 1/\theta\). Wenn Ihre Quelle eine Rate angibt, tragen Sie \(\theta = 1/\beta\) in das Feld Skalenparameter ein. Bei festem \(k\) streckt eine größere Skala die Verteilung (größere Werte), eine größere Rate staucht sie.
Definitionsbereich: Die Gammaverteilung ist nur für \(x \ge 0\) definiert. Negative Eingaben werden abgelehnt; geben Sie null oder positive Werte ein.
Modus bei kleinem k: Der Modus \((k-1)\theta\) existiert nur für \(k \ge 1\). Für \(k < 1\) ist die Dichte bei null unbeschränkt, weshalb der Rechner den Modus 0 angibt.
Normalapproximation: Für großes \(k\) (ungefähr \(k > 30\)) lässt sich die Gammaverteilung gut durch eine Normalverteilung mit Erwartungswert \(k\theta\) und Varianz \(k\theta^2\) annähern.
Parameterwahl: Wenn Sie den angestrebten Erwartungswert \(\mu\) und die Varianz \(\sigma^2\) kennen, schätzen Sie \(k = \mu^2/\sigma^2\) und \(\theta = \sigma^2/\mu\). Anschließend können Sie die Werte verfeinern, indem Sie sie an die beobachteten kumulierten Wahrscheinlichkeiten angleichen.
Verwandte Modelle: Die Gammaverteilung ist eine gängige Alternative zur Weibull-Verteilung und zur Lognormalverteilung, wenn es um positive, rechtssteile Daten wie Lebensdauern und Schadenshöhen geht — die drei unterscheiden sich hauptsächlich in der Form ihrer Verteilungsenden.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten der Gammaverteilung von Hand?

Skalieren Sie zunächst Ihren Wert, indem Sie \(x/\theta\) berechnen. Für die Verteilungsfunktion benötigen Sie die regularisierte unvollständige Gammafunktion \(P(k, x/\theta)\), die üblicherweise in Tabellen oder mit Software nachgeschlagen wird. Ist \(k\) eine ganze Zahl, gelingt die Berechnung von Hand mit der endlichen Summe \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\sum_{j=0}^{k-1} (x/\theta)^j / j!\). Die Dichte selbst ist unproblematisch: Setzen Sie einfach in \(f(x) = x^{k-1} e^{-x/\theta} / (\Gamma(k)\theta^k)\) ein.

Meine Software liefert einen Ratenparameter — wie rechne ich ihn in die Skala θ um?

Die Rate \(\beta\) ist schlicht der Kehrwert der Skala: \(\beta = 1/\theta\), also \(\theta = 1/\beta\). Excels GAMMA.VERT, Pythons scipy.stats.gamma und pgamma in R verwenden standardmäßig die Ratenparametrisierung. Eine als Gamma(shape 2, rate 0.5) angegebene Verteilung ist beispielsweise identisch mit dem Formparameter \(k = 2\) und dem Skalenparameter \(\theta = 2\) — tragen Sie hier 2 in das Skalenfeld ein. Die Verwechslung der beiden Parametrisierungen ist mit Abstand die häufigste Quelle falscher Ergebnisse.

Was ist ein guter oder typischer Wert für den Formparameter k?

Einen universell „guten“ Wert gibt es nicht — es hängt von Ihren Daten ab. Kleines \(k < 1\) ergibt eine Dichte, die nahe null abrupt ansteigt (stark schief, etwa bei unregelmäßigen Schadensprozessen). \(k = 1\) entspricht der Exponentialverteilung, ganzzahliges \(k\) liefert das Erlang-Modell für Wartezeiten. Sobald \(k\) deutlich über 30 liegt, wird die Verteilung nahezu symmetrisch und glockenförmig. Schätzen Sie \(k\) aus Daten mit \(k \approx \mu^2/\sigma^2\), wobei \(\mu\) und \(\sigma^2\) Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz sind.

Wie finde ich k und θ, wenn ich nur Erwartungswert und Varianz kenne?

Nutzen Sie die Momentenformeln \(\mu = k\theta\) und \(\sigma^2 = k\theta^2\). Auflösen liefert \(k = \mu^2/\sigma^2\) und \(\theta = \sigma^2/\mu\). Betragen die Wartezeiten im Mittel beispielsweise 10 Stunden bei einer Varianz von 50, so ergibt sich \(k = 100/50 = 2\) und \(\theta = 50/10 = 5\). Diese Schätzung nach der Momentenmethode ist ein guter Ausgangspunkt; für höhere Genauigkeit passen Sie die Parameter per Maximum-Likelihood mit entsprechender Statistiksoftware an.

Worin unterscheiden sich die Gamma-, die Exponential-, die Erlang- und die Chi-Quadrat-Verteilung?

Sie bilden allesamt eine einzige Familie. Die Exponentialverteilung ist der Spezialfall \(k = 1\). Die Erlang-Verteilung ist die Gammaverteilung mit ganzzahligem \(k\) — sie beschreibt die Wartezeit bis zum \(k\)-ten Ereignis in einem Poisson-Prozess. Die Chi-Quadrat-Verteilung mit \(n\) Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit \(k = n/2\) und \(\theta = 2\). Jede Wahrscheinlichkeit, die Sie hier für diese Spezialfälle berechnen, stimmt daher mit der zugehörigen Exponential-, Erlang- oder Chi-Quadrat-Tabelle überein.

Warum liefert der Rechner den Modus 0, wenn k kleiner als 1 ist?

Die Modusformel \((k-1)\theta\) ist nur für \(k \ge 1\) sinnvoll. Bei \(k < 1\) ist der Exponent \(k - 1\) negativ, sodass die Dichte gegen unendlich steigt, je näher \(x\) an null heranrückt — ein endlicher Peak existiert nicht. Der „wahrscheinlichste“ Bereich liegt beliebig nahe bei 0, weshalb der Rechner 0 ausgibt. Das ist mathematisch völlig korrekt, und solche Verlaufsformen kommen in der Praxis durchaus vor, etwa bei der Modellierung stark unregelmäßiger Versicherungsschäden oder von Niederschlag.

Kann ich mit diesem Rechner Perzentile bestimmen, oder brauche ich die inverse Verteilungsfunktion?

Der Rechner wertet die Verteilungsfunktion \(F(x)\) aus, nicht ihre Umkehrung, und kann daher den Wert zu einem gegebenen Perzentil nicht direkt berechnen. Ein Perzentil lässt sich aber durch Probieren finden: Geben Sie Kandidaten für \(x\) ein und passen Sie sie an, bis die kumulierte Wahrscheinlichkeit Ihrem Zielwert entspricht, etwa 0,5 für den Median. Ein guter erster Schätzwert für den Median ist näherungsweise \(k\theta(1 - 1/(3k))^3\), die Wilson-Hilferty-Näherung, die für \(k > 1\) auf etwa 1 % genau ist.