Калькулятор гамма-распределения
Вычислите плотность гамма-распределения, накопленную и «хвостовые» вероятности, вероятность попадания в интервал, математическое ожидание, дисперсию и моду. Задайте параметр формы k, параметр масштаба θ и значение или интервал.
Расчёт вероятностей, плотности и моментов гамма-распределения
Формула гамма-распределения
Обозначения:
- \(k\) — параметр формы, \(k > 0\); он задаёт форму кривой
- \(\theta\) — параметр масштаба, \(\theta > 0\), измеряется в тех же единицах, что и \(x\)
- \(\Gamma(k)\) — гамма-функция, обобщающая факториал (\(\Gamma(n) = (n-1)!\) для целых \(n\))
- \(P(k, x/\theta)\) — регуляризированная нижняя неполная гамма-функция, задающая функцию распределения
В первой строке записаны плотность вероятности и функция распределения гамма-распределения в параметризации через масштаб; во второй — его математическое ожидание, дисперсия и мода. Вероятность попадания в интервал вычисляется как \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\).
Гамма-распределение — пример расчёта
Пример: время ожидания в системе подчиняется гамма-распределению с параметром формы \(k = 2\) и масштабом \(\theta = 3\) часа. Найдите плотность, накопленную вероятность и вероятность «правого хвоста» в точке \(x = 4\) часа.
\[ f(4) = \frac{4^{1} e^{-4/3}}{\Gamma(2)\cdot 3^2} = \frac{4 \cdot 0.2636}{1 \cdot 9} \approx 0.1172 \]
Поскольку \(k\) — целое число, функцию распределения можно записать в явном виде: \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\left(1 + x/\theta\right)\):
\[ F(4) = 1 - e^{-4/3}\left(1 + \tfrac{4}{3}\right) = 1 - 0.2636 \cdot 2.3333 \approx 0.3849 \]
\[ P(X > 4) = 1 - F(4) \approx 0.6151 \]
Результат: \(f(4) \approx 0.1172\) на единицу измерения, \(P(X \le 4) \approx 0.3849\) (38,49 %), \(P(X > 4) \approx 0.6151\) (61,51 %). Математическое ожидание равно \(k\theta = 6\) часов, дисперсия — \(k\theta^2 = 18\), а мода — \((k-1)\theta = 3\) часа.
Как пользоваться калькулятором
- Введите параметр формы \(k\). Он должен быть положительным; при \(k = 1\) получается экспоненциальное распределение, а при целом \(k\) — распределение Эрланга.
- Введите параметр масштаба \(\theta\) — положительное число в тех же единицах, что и ваши данные.
- Выберите, что нужно вычислить: «В одной точке x» или «На интервале [a, b]».
- Для одной точки введите значение \(x \ge 0\). Калькулятор вернёт плотность, накопленную вероятность \(P(X \le x)\), вероятность правого хвоста \(P(X > x)\), а также математическое ожидание, дисперсию и моду.
- Для интервала укажите нижнюю границу \(a\) и верхнюю границу \(b\) (при \(b > a\)). Вы получите \(P(a \le X \le b)\) вместе с плотностями и накопленными вероятностями в обеих граничных точках.
- Загляните в панель «Как это работает и как интерпретировать результат» — там простыми словами объясняются ваши числа.
Что такое гамма-распределение?
Гамма-распределение — это непрерывное распределение вероятностей для положительных величин: времён ожидания, сумм страховых выплат, объёмов осадков, сроков службы. У него два параметра: форма \(k\), определяющая общий вид кривой, и масштаб \(\theta\), растягивающий или сжимающий её вдоль оси x. В итоге получается чрезвычайно гибкое семейство: при малых \(k\) плотность сильно скошена вправо с пиком у нуля, а при больших \(k\) становится почти симметричной и колоколообразной.
У распределения есть естественная интерпретация как времени ожидания. Если события происходят случайно с постоянной средней интенсивностью (пуассоновский поток), то суммарное время до \(k\)-го события подчиняется гамма-распределению с формой \(k\) и масштабом \(\theta\), равным среднему времени между событиями. При \(k = 1\) оно сводится к экспоненциальному распределению (ожидание одного события), а при целом \(k\) называется распределением Эрланга.
Интерпретировать результаты несложно. Плотность \(f(x)\) показывает, насколько вероятны значения вблизи \(x\) — в расчёте на единицу измерения. Накопленная вероятность \(F(x)\) — это шанс получить значение не больше \(x\), а правый хвост \(S(x) = 1 - F(x)\) — шанс превысить \(x\); именно он чаще всего нужен в задачах надёжности и теории очередей. Математическое ожидание \(k\theta\) — это ожидаемое значение, дисперсия \(k\theta^2\) характеризует разброс, а мода \((k-1)\theta\) — единственное наиболее вероятное значение. Поскольку распределение скошено вправо, мода лежит ниже математического ожидания.
Параметризация, допущения и практические советы
- Масштаб или интенсивность: этот калькулятор использует масштаб \(\theta\). Во многих учебниках и программах вместо него применяется параметр интенсивности \(\beta = 1/\theta\). Если в вашем источнике указана интенсивность, введите \(\theta = 1/\beta\) в поле параметра масштаба. При фиксированном \(k\) больший \(\theta\) растягивает распределение (сдвигает его к большим значениям), а большая интенсивность — сжимает.
- Область определения: гамма-распределение определено только при \(x \ge 0\). Отрицательные значения не принимаются — вводите ноль или положительные числа.
- Мода при малых k: мода \((k-1)\theta\) существует лишь при \(k \ge 1\). При \(k < 1\) плотность неограниченно возрастает у нуля, поэтому калькулятор выдаёт моду, равную 0.
- Нормальное приближение: при больших \(k\) (примерно \(k > 30\)) гамма-распределение хорошо приближается нормальным с математическим ожиданием \(k\theta\) и дисперсией \(k\theta^2\).
- Подбор параметров: если известны нужное среднее \(\mu\) и дисперсия \(\sigma^2\), оцените \(k = \mu^2/\sigma^2\) и \(\theta = \sigma^2/\mu\). Затем их можно уточнить, добиваясь совпадения с наблюдаемыми накопленными вероятностями.
- Родственные модели: гамма-распределение — распространённая альтернатива распределению Вейбулла и логнормальному распределению при моделировании положительных скошенных вправо данных — сроков службы, размеров выплат. Три распределения различаются главным образом формой «хвостов».
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить вероятности гамма-распределения вручную?
Сначала приведите значение к нужному масштабу: вычислите \(x/\theta\). Для функции распределения нужна регуляризированная неполная гамма-функция \(P(k, x/\theta)\) — её обычно берут из таблиц или программ. Если \(k\) — целое число, справитесь и вручную с помощью конечной суммы \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\sum_{j=0}^{k-1} (x/\theta)^j / j!\). Плотность вычисляется совсем просто: подставьте значения в \(f(x) = x^{k-1} e^{-x/\theta} / (\Gamma(k)\theta^k)\).
Моя программа выдаёт параметр интенсивности — как перевести его в масштаб θ?
Параметр интенсивности \(\beta\) — это просто обратная величина масштаба: \(\beta = 1/\theta\), то есть \(\theta = 1/\beta\). Функция ГАММА.РАСП в Excel, scipy.stats.gamma в Python и pgamma в R по умолчанию работают с параметризацией через интенсивность. Например, распределение Gamma(shape 2, rate 0.5) — то же самое, что форма \(k = 2\) и масштаб \(\theta = 2\): введите 2 в поле параметра масштаба. Путаница между этими двумя параметрами — самая частая причина неверных ответов.
Каким обычно бывает значение параметра формы k?
Универсально «правильного» значения нет — всё зависит от данных. При \(k < 1\) плотность резко возрастает вблизи нуля (сильная асимметрия — например, при «взрывных» потоках страховых выплат). \(k = 1\) — экспоненциальное распределение, а целое \(k\) даёт модель Эрланга для времён ожидания. Когда \(k\) превышает 30, распределение становится почти симметричным и колоколообразным. Оцените \(k\) по данным как \(k \approx \mu^2/\sigma^2\), где \(\mu\) и \(\sigma^2\) — выборочное среднее и дисперсия.
Как найти k и θ, если известны только среднее и дисперсия?
Воспользуйтесь формулами метода моментов \(\mu = k\theta\) и \(\sigma^2 = k\theta^2\). Решая их, получаем \(k = \mu^2/\sigma^2\) и \(\theta = \sigma^2/\mu\). Например, если среднее время ожидания равно 10 часам при дисперсии 50, то \(k = 100/50 = 2\) и \(\theta = 50/10 = 5\). Такая оценка — хорошая отправная точка; для большей точности подберите параметры методом максимального правдоподобия в специальной статистической программе.
Чем различаются гамма-, экспоненциальное распределения, распределение Эрланга и хи-квадрат?
Это одно семейство. Экспоненциальное распределение — частный случай при \(k = 1\). Распределение Эрланга — гамма-распределение с целым \(k\); оно описывает время ожидания до \(k\)-го события в пуассоновском потоке. Распределение хи-квадрат с \(n\) степенями свободы — это гамма-распределение с \(k = n/2\) и \(\theta = 2\). Поэтому любая вероятность, вычисленная здесь для этих частных случаев, совпадает с соответствующей таблицей экспоненциального, эрланговского распределения или хи-квадрат.
Почему калькулятор возвращает моду 0, когда k меньше 1?
Формула моды \((k-1)\theta\) имеет смысл только при \(k \ge 1\). Когда \(k < 1\), показатель степени \(k - 1\) отрицателен, и плотность неограниченно растёт при приближении \(x\) к нулю — конечного пика не существует. Наиболее «вероятная» область сколь угодно близка к нулю, поэтому калькулятор выдаёт 0. Математически это корректно, и подобные формы встречаются на практике — например, при моделировании сильно «взрывных» страховых выплат или осадков.
Можно ли найти с помощью этого калькулятора перцентили, или нужна обратная функция распределения?
Калькулятор вычисляет функцию распределения \(F(x)\), а не обратную к ней, поэтому напрямую вернуть значение по заданному перцентилю он не может. Однако перцентиль можно найти подбором: вводите пробные значения \(x\) и корректируйте их, пока накопленная вероятность не совпадёт с нужной — например, 0,5 для медианы. Хорошее первое приближение для медианы — \(k\theta(1 - 1/(3k))^3\), аппроксимация Уилсона — Хилферти; она точна примерно до 1 % при \(k > 1\).