Calculadora da distribuição gama

Q: Como calcular probabilidades da distribuição gama manualmente?

Primeiro reescale o seu valor: calcule x/θ. Para a FDA, você precisa da função gama incompleta regularizada P(k, x/θ), que normalmente se consulta em tabelas ou softwares. Se k for um número inteiro, dá para fazer à mão com a soma finita F(x) = 1 - e^-x/θsum_j=0^k-1 (x/θ)^j / j!. A densidade em si é simples: basta substituir em f(x) = x^k-1 e^-x/θ / (Gamma(k)θ^k).

Q: Meu software informa um parâmetro de taxa — como converto para a escala θ?

A taxa β é simplesmente o inverso da escala: β = 1/θ, logo θ = 1/β. As funções GAMMA.DIST do Excel, scipy.stats.gamma do Python e pgamma do R usam por padrão a parametrização por taxa. Por exemplo, uma distribuição informada como Gama(forma 2, taxa 0,5) é o mesmo que forma k = 2 com escala θ = 2 — digite 2 no campo do parâmetro de escala aqui. Confundir as duas é a causa mais comum de respostas erradas.

Q: Como encontrar k e θ sabendo apenas a média e a variância?

Use as fórmulas dos momentos μ = kθ e σ^2 = kθ^2. Resolvendo-as, obtém-se k = μ^2/σ^2 e θ = σ^2/μ. Por exemplo, se os tempos de espera têm média de 10 horas e variância 50, então k = 100/50 = 2 e θ = 50/10 = 5. Essa estimativa por método dos momentos é um bom ponto de partida; para maior precisão, ajuste os parâmetros por máxima verossimilhança com um software estatístico adequado.

Q: Qual a diferença entre as distribuições gama, exponencial, Erlang e qui-quadrado?

Todas pertencem a uma mesma família. A distribuição exponencial é o caso particular k = 1. A distribuição de Erlang é a gama com k inteiro — ela modela o tempo de espera até o k-ésimo evento em um processo de Poisson. A distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade equivale a uma gama com k = n/2 e θ = 2. Assim, qualquer probabilidade calculada aqui nesses casos especiais coincide com a tabela exponencial, de Erlang ou qui-quadrado correspondente.

Q: Por que a calculadora retorna moda 0 quando k é menor que 1?

A fórmula da moda (k-1)θ só faz sentido para k ≥ 1. Quando k < 1, o expoente k - 1 é negativo, e a densidade cresce sem limite à medida que x se aproxima de zero — não há um pico finito. A região mais “provável” fica arbitrariamente perto de 0, e é por isso que a calculadora informa 0. Isso é matematicamente legítimo, e tais formas realmente ocorrem na prática, por exemplo ao modelar sinistros de seguro muito intermitentes ou precipitações de chuva.

Q: Posso usar esta calculadora para percentis ou preciso da FDA inversa?

A calculadora avalia a FDA F(x), e não a sua inversa, então ela não devolve diretamente o valor de um dado percentil. Você pode, porém, encontrar um percentil por tentativa e erro: digite valores candidatos de x e ajuste até a probabilidade acumulada atingir seu alvo, como 0,5 para a mediana. Um bom palpite inicial para a mediana é aproximadamente kθ(1 - 1/(3k))^3, a aproximação de Wilson–Hilferty, com precisão de cerca de 1% para k > 1.

Atualizado: 8 outubro 2026

Calcule a densidade, a probabilidade acumulada e da cauda, a probabilidade de intervalo, média, variância e moda da distribuição gama. Informe o parâmetro de forma k, a escala θ e um valor ou intervalo.

Calcule probabilidades, densidade e momentos da distribuição gama

Parâmetro de forma

Forma k: controla o formato da curva. k = 1 dá a distribuição exponencial; k inteiro dá a distribuição Erlang (tempo de espera até o k-ésimo evento).

Parâmetro de escala

Escala θ na mesma unidade de x. Deve ser maior que 0.

O que calcular

Calcular automaticamenteSe ativado, o resultado é atualizado automaticamente quando você altera qualquer valor.

Resultados da distribuição gama

Densidade no valorf(x)

Probabilidade acumulada P(X ≤ x)F(x)

Probabilidade da cauda superior P(X > x)S(x)

Probabilidade no intervalo P(a ≤ X ≤ b)P(a≤X≤b)

Média

Variância

Moda (valor mais provável)

Como funciona e interpretação

Fórmula da distribuição gama

Fórmula

\[ f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\,\theta^k}, \qquad F(x) = P\!\left(k, \frac{x}{\theta}\right), \quad x \ge 0 \\ \mu = k\theta, \qquad \sigma^2 = k\theta^2, \qquad \text{moda} = (k-1)\theta \ \text{para } k \ge 1 \]

Onde:

\(k\) — parâmetro de forma, \(k > 0\); controla o formato da curva
\(\theta\) — parâmetro de escala, \(\theta > 0\), na mesma unidade de \(x\)
\(\Gamma(k)\) — a função gama, que generaliza o fatorial (\(\Gamma(n) = (n-1)!\) para inteiros)
\(P(k, x/\theta)\) — a função gama incompleta inferior regularizada, que fornece a FDA

A primeira linha define a densidade de probabilidade e a função de distribuição acumulada da distribuição gama com parametrização por escala; a segunda linha traz a média, a variância e a moda. A probabilidade de um intervalo é \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\).

Distribuição gama – Exemplo de cálculo

Exemplo: o tempo de espera de um sistema segue uma distribuição gama com forma \(k = 2\) e escala \(\theta = 3\) horas. Encontre a densidade, a probabilidade acumulada e a probabilidade da cauda superior em \(x = 4\) horas.

\[ f(4) = \frac{4^{1} e^{-4/3}}{\Gamma(2)\cdot 3^2} = \frac{4 \cdot 0{,}2636}{1 \cdot 9} \approx 0{,}1172 \]

Como \(k\) é inteiro, a FDA tem forma fechada: \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\left(1 + x/\theta\right)\):

\[ F(4) = 1 - e^{-4/3}\left(1 + \tfrac{4}{3}\right) = 1 - 0{,}2636 \cdot 2{,}3333 \approx 0{,}3849 \]

\[ P(X > 4) = 1 - F(4) \approx 0{,}6151 \]

Resultado: \(f(4) \approx 0{,}1172\) por unidade, \(P(X \le 4) \approx 0{,}3849\) (38,49%), \(P(X > 4) \approx 0{,}6151\) (61,51%). A média é \(k\theta = 6\) horas, a variância é \(k\theta^2 = 18\) e a moda é \((k-1)\theta = 3\) horas.

Como usar a calculadora

Informe o parâmetro de forma \(k\). Ele deve ser positivo; \(k = 1\) resulta na distribuição exponencial e valores inteiros de \(k\) dão a distribuição de Erlang.
Informe o parâmetro de escala \(\theta\), um número positivo na mesma unidade dos seus dados.
Escolha o que calcular: “Em um único valor x” ou “Em um intervalo [a, b]”.
Para um único valor, informe o valor \(x \ge 0\). A calculadora devolve a densidade, a probabilidade acumulada \(P(X \le x)\), a probabilidade da cauda superior \(P(X > x)\), além da média, da variância e da moda.
Para um intervalo, informe o limite inferior \(a\) e o limite superior \(b\) (com \(b > a\)). Você obtém \(P(a \le X \le b)\) junto com as densidades e os valores acumulados nos dois extremos.
Consulte o painel “Como funciona e interpretação” para uma leitura em linguagem simples dos seus números.

O que é a distribuição gama?

A distribuição gama é uma distribuição de probabilidade contínua para grandezas positivas — tempos de espera, totais de sinistros de seguro, volumes de chuva, tempos de vida útil. Ela tem dois parâmetros: a forma \(k\), que determina o formato geral da curva, e a escala \(\theta\), que a estica ou comprime ao longo do eixo x. O resultado é uma família extremamente flexível: para \(k\) pequeno, a densidade é fortemente assimétrica à direita, com pico próximo de zero; para \(k\) grande, ela se torna quase simétrica e em forma de sino.

A distribuição tem uma interpretação natural como tempo de espera. Se eventos ocorrem aleatoriamente a uma taxa média constante (um processo de Poisson), o tempo total até o \(k\)-ésimo evento segue uma distribuição gama com forma \(k\) e escala \(\theta\) igual ao tempo médio entre eventos. Com \(k = 1\), ela se reduz à distribuição exponencial (a espera por um único evento); com \(k\) inteiro, ela é chamada de distribuição de Erlang.

Interpretar os resultados é simples. A densidade \(f(x)\) mostra o quão prováveis são valores próximos de \(x\), por unidade de medida. A probabilidade acumulada \(F(x)\) é a chance de um valor no máximo igual a \(x\), e a cauda superior \(S(x) = 1 - F(x)\) é a chance de ultrapassar \(x\) — muitas vezes a grandeza de interesse em problemas de confiabilidade e filas. A média \(k\theta\) é o valor esperado, a variância \(k\theta^2\) mede a dispersão e a moda \((k-1)\theta\) é o valor isolado mais provável. Como a distribuição é assimétrica à direita, a moda fica abaixo da média.

Parametrização, premissas e dicas práticas

Escala vs. taxa: esta calculadora usa a escala \(\theta\). Muitos livros e programas usam em vez disso a taxa \(\beta = 1/\theta\). Se a sua fonte informa uma taxa, digite \(\theta = 1/\beta\) no campo do parâmetro de escala. Com \(k\) fixo, um \(\theta\) maior estica a distribuição (valores maiores), e uma taxa maior a encolhe.
Domínio: a distribuição gama está definida apenas para \(x \ge 0\). Valores negativos são rejeitados; informe zero ou valores positivos.
Moda para k pequeno: a moda \((k-1)\theta\) só existe quando \(k \ge 1\). Para \(k < 1\), a densidade é ilimitada em zero, e por isso a calculadora informa moda igual a 0.
Aproximação normal: para \(k\) grande (aproximadamente \(k > 30\)), a distribuição gama é bem aproximada por uma distribuição normal com média \(k\theta\) e variância \(k\theta^2\).
Escolha dos parâmetros: se você conhece a média \(\mu\) e a variância \(\sigma^2\) desejadas, estime \(k = \mu^2/\sigma^2\) e \(\theta = \sigma^2/\mu\). Depois você pode refiná-los ajustando as probabilidades acumuladas que observa.
Modelos relacionados: a distribuição gama é uma alternativa comum à distribuição de Weibull e à distribuição lognormal para modelar dados positivos e assimétricos à direita, como tempos de vida e valores de sinistros — as três diferem principalmente no formato das caudas.

Perguntas frequentes

Como calcular probabilidades da distribuição gama manualmente?

Primeiro reescale o seu valor: calcule \(x/\theta\). Para a FDA, você precisa da função gama incompleta regularizada \(P(k, x/\theta)\), que normalmente se consulta em tabelas ou softwares. Se \(k\) for um número inteiro, dá para fazer à mão com a soma finita \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\sum_{j=0}^{k-1} (x/\theta)^j / j!\). A densidade em si é simples: basta substituir em \(f(x) = x^{k-1} e^{-x/\theta} / (\Gamma(k)\theta^k)\).

Meu software informa um parâmetro de taxa — como converto para a escala θ?

A taxa \(\beta\) é simplesmente o inverso da escala: \(\beta = 1/\theta\), logo \(\theta = 1/\beta\). As funções GAMMA.DIST do Excel, scipy.stats.gamma do Python e pgamma do R usam por padrão a parametrização por taxa. Por exemplo, uma distribuição informada como Gama(forma 2, taxa 0,5) é o mesmo que forma \(k = 2\) com escala \(\theta = 2\) — digite 2 no campo do parâmetro de escala aqui. Confundir as duas é a causa mais comum de respostas erradas.

Qual é um valor bom ou típico para o parâmetro de forma k?

Não existe um valor “bom” universal — depende dos seus dados. \(k < 1\) pequeno produz uma densidade que dispara perto de zero (fortemente assimétrica, como em processos de sinistros intermitentes). \(k = 1\) corresponde à distribuição exponencial, e \(k\) inteiro dá o modelo de Erlang para tempos de espera. Conforme \(k\) passa de 30, a distribuição se torna quase simétrica e em forma de sino. Ajuste \(k\) a partir dos dados usando \(k \approx \mu^2/\sigma^2\), onde \(\mu\) e \(\sigma^2\) são a média e a variância amostrais.

Como encontrar k e θ sabendo apenas a média e a variância?

Use as fórmulas dos momentos \(\mu = k\theta\) e \(\sigma^2 = k\theta^2\). Resolvendo-as, obtém-se \(k = \mu^2/\sigma^2\) e \(\theta = \sigma^2/\mu\). Por exemplo, se os tempos de espera têm média de 10 horas e variância 50, então \(k = 100/50 = 2\) e \(\theta = 50/10 = 5\). Essa estimativa por método dos momentos é um bom ponto de partida; para maior precisão, ajuste os parâmetros por máxima verossimilhança com um software estatístico adequado.

Qual a diferença entre as distribuições gama, exponencial, Erlang e qui-quadrado?

Todas pertencem a uma mesma família. A distribuição exponencial é o caso particular \(k = 1\). A distribuição de Erlang é a gama com \(k\) inteiro — ela modela o tempo de espera até o \(k\)-ésimo evento em um processo de Poisson. A distribuição qui-quadrado com \(n\) graus de liberdade equivale a uma gama com \(k = n/2\) e \(\theta = 2\). Assim, qualquer probabilidade calculada aqui nesses casos especiais coincide com a tabela exponencial, de Erlang ou qui-quadrado correspondente.

Por que a calculadora retorna moda 0 quando k é menor que 1?

A fórmula da moda \((k-1)\theta\) só faz sentido para \(k \ge 1\). Quando \(k < 1\), o expoente \(k - 1\) é negativo, e a densidade cresce sem limite à medida que \(x\) se aproxima de zero — não há um pico finito. A região mais “provável” fica arbitrariamente perto de 0, e é por isso que a calculadora informa 0. Isso é matematicamente legítimo, e tais formas realmente ocorrem na prática, por exemplo ao modelar sinistros de seguro muito intermitentes ou precipitações de chuva.

Posso usar esta calculadora para percentis ou preciso da FDA inversa?

A calculadora avalia a FDA \(F(x)\), e não a sua inversa, então ela não devolve diretamente o valor de um dado percentil. Você pode, porém, encontrar um percentil por tentativa e erro: digite valores candidatos de \(x\) e ajuste até a probabilidade acumulada atingir seu alvo, como 0,5 para a mediana. Um bom palpite inicial para a mediana é aproximadamente \(k\theta(1 - 1/(3k))^3\), a aproximação de Wilson–Hilferty, com precisão de cerca de 1% para \(k > 1\).