Kalkulator rozkładu gamma

Q: Jak ręcznie obliczyć prawdopodobieństwa z rozkładu gamma?

Najpierw przeskaluj swoją wartość, czyli oblicz x/θ. Do dystrybuanty potrzebna jest znormalizowana niezupełna funkcja gamma P(k, x/θ), którą zwykle odczytuje się z tablic lub za pomocą programu. Jeśli k jest liczbą całkowitą, możesz policzyć ją ręcznie ze skończoną sumą F(x) = 1 - e^-x/θsum_j=0^k-1 (x/θ)^j / j!. Samą gęstość oblicza się wprost: wystarczy podstawić do wzoru f(x) = x^k-1 e^-x/θ / (Gamma(k)θ^k).

Q: Mój program podaje parametr intensywności — jak zamienić go na skalę θ?

Intensywność β to po prostu odwrotność skali: β = 1/θ, czyli θ = 1/β. Funkcja GAMMA.DIST w Excelu, scipy.stats.gamma w Pythonie i pgamma w R domyślnie korzystają z parametryzacji przez intensywność. Na przykład rozkład podany jako Gamma(kształt 2, intensywność 0,5) to to samo, co kształt k = 2 przy skali θ = 2 — wpisz tutaj 2 w polu skali. Pomylienie tych dwóch parametryzacji to zdecydowanie najczęstsze źródło błędnych wyników.

Q: Jak wyznaczyć k i θ, jeśli znam tylko średnią i wariancję?

Skorzystaj ze wzorów na momenty μ = kθ i σ^2 = kθ^2. Po ich rozwiązaniu otrzymasz k = μ^2/σ^2 oraz θ = σ^2/μ. Na przykład jeśli czasy oczekiwania mają średnią 10 godzin i wariancję 50, to k = 100/50 = 2 i θ = 50/10 = 5. Takie wyliczenie metodą momentów to dobry punkt wyjścia; jeśli potrzebujesz większej dokładności, dopasuj parametry metodą największej wiarygodności w dedykowanym oprogramowaniu statystycznym.

Q: Czym różnią się rozkłady gamma, wykładniczy, Erlanga i chi-kwadrat?

To wszystko jedna rodzina. Rozkład wykładniczy to przypadek szczególny dla k = 1. Rozkład Erlanga to rozkład gamma o całkowitym k — opisuje czas oczekiwania do k-tego zdarzenia w procesie Poissona. Rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody to gamma z k = n/2 i θ = 2. Każde prawdopodobieństwo obliczone tutaj dla tych przypadków szczególnych będzie więc zgodne z odpowiednią tabelą wykładniczą, Erlanga albo chi-kwadrat.

Q: Dlaczego kalkulator zwraca dominantę równą 0, gdy k jest mniejsze od 1?

Wzór na dominantę (k-1)θ ma sens tylko dla k ≥ 1. Gdy k < 1, wykładnik k - 1 jest ujemny, więc gęstość rośnie bez ograniczeń, gdy x zbliża się do zera — nie istnieje skończony szczyt. Najbardziej „prawdopodobny” obszar leży dowolnie blisko zera i dlatego kalkulator podaje 0. Jest to matematycznie poprawne, a takie kształty rzeczywiście występują w praktyce, na przykład przy modelowaniu bardzo gwałtownych szkodów ubezpieczeniowych albo opadów.

Q: Czy mogę użyć tego kalkulatora do wyznaczania percentyli, czy potrzebna jest odwrotna dystrybuanta?

Kalkulator oblicza dystrybuantę F(x), a nie jej odwrotność, więc bezpośrednio nie zwróci wartości dla zadanego percentyla. Percentyl można jednak znaleźć metodą prób i błędów: wpisuj kolejne wartości x i koryguj je, aż prawdopodobieństwo skumulowane osiągnie poziom docelowy, np. 0,5 dla mediany. Dobrym pierwszym przybliżeniem mediany jest kθ(1 - 1/(3k))^3 — przybliżenie Wilsona–Hilferty’ego, dokładna do około 1% dla k > 1.

Zaktualizowano: 8 października 2026

Oblicz gęstość, dystrybuantę i prawdopodobieństwa ogonowe rozkładu gamma, prawdopodobieństwa przedziałowe, średnią, wariancję i dominantę. Wpisz parametr kształtu k, skalę θ oraz wartość lub przedział.

Obliczanie prawdopodobieństw, gęstości i momentów rozkładu gamma

Parametr kształtu

Parametr kształtu k decyduje o formie krzywej. Dla k = 1 otrzymujemy rozkład wykładniczy, a dla k całkowitego — rozkład Erlanga (czas oczekiwania do k-tego zdarzenia).

Parametr skali

Skala θ w tej samej jednostce co x. Musi być większa od 0.

Co obliczyć

Obliczaj automatyczniePo włączeniu wynik aktualizuje się automatycznie po zmianie dowolnej wartości.

Wyniki rozkładu gamma

Gęstość w podanym punkcief(x)

Prawdopodobieństwo skumulowane P(X ≤ x)F(x)

Prawdopodobieństwo w prawym ogonie P(X > x)S(x)

Prawdopodobieństwo przedziałowe P(a ≤ X ≤ b)P(a≤X≤b)

Wartość oczekiwana

Wariancja

Moda (najbardziej prawdopodobna wartość)

Jak to działa i jak interpretować wyniki

Wzór rozkładu gamma

Wzór

\[ f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\,\theta^k}, \qquad F(x) = P\!\left(k, \frac{x}{\theta}\right), \quad x \ge 0 \\ \mu = k\theta, \qquad \sigma^2 = k\theta^2, \qquad \text{dominanta} = (k-1)\theta \ \text{dla } k \ge 1 \]

gdzie:

\(k\) — parametr kształtu, \(k > 0\); decyduje o formie krzywej
\(\theta\) — parametr skali, \(\theta > 0\), wyrażony w tej samej jednostce co \(x\)
\(\Gamma(k)\) — funkcja gamma, uogólnienie silni (dla liczb całkowitych \(\Gamma(n) = (n-1)!\))
\(P(k, x/\theta)\) — znormalizowana dolna niezupełna funkcja gamma, która wyznacza dystrybuantę

Pierwszy wiersz określa gęstość prawdopodobieństwa i dystrybuantę rozkładu gamma w parametryzacji ze skalą; drugi wiersz podaje jego wartość oczekiwaną, wariancję i dominantę. Prawdopodobieństwo przedziału oblicza się jako \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\).

Rozkład gamma – przykład obliczenia

Przykład: czas oczekiwania na reakcję systemu ma rozkład gamma o parametrze kształtu \(k = 2\) i skali \(\theta = 3\) godziny. Oblicz gęstość, dystrybuantę i prawdopodobieństwo górnego ogona dla \(x = 4\) godzin.

\[ f(4) = \frac{4^{1} e^{-4/3}}{\Gamma(2)\cdot 3^2} = \frac{4 \cdot 0.2636}{1 \cdot 9} \approx 0.1172 \]

Ponieważ \(k\) jest liczbą całkowitą, dystrybuantę można zapisać w postaci zamkniętej \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\left(1 + x/\theta\right)\):

\[ F(4) = 1 - e^{-4/3}\left(1 + \tfrac{4}{3}\right) = 1 - 0.2636 \cdot 2.3333 \approx 0.3849 \]

\[ P(X > 4) = 1 - F(4) \approx 0.6151 \]

Wynik: \(f(4) \approx 0.1172\) na jednostkę, \(P(X \le 4) \approx 0.3849\) (38,49%), \(P(X > 4) \approx 0.6151\) (61,51%). Wartość oczekiwana wynosi \(k\theta = 6\) godzin, wariancja \(k\theta^2 = 18\), a dominanta \((k-1)\theta = 3\) godziny.

Jak korzystać z kalkulatora

Wpisz parametr kształtu \(k\). Musi być dodatni; \(k = 1\) daje rozkład wykładniczy, a całkowite \(k\) — rozkład Erlanga.
Wpisz parametr skali \(\theta\), czyli liczbę dodatnią w tej samej jednostce, w jakiej wyrażone są Twoje dane.
Wybierz co obliczyć: „Dla pojedynczej wartości x” albo „Dla przedziału [a, b]”.
Dla pojedynczej wartości wpisz wartość \(x \ge 0\). Kalkulator zwróci gęstość, prawdopodobieństwo skumulowane \(P(X \le x)\), prawdopodobieństwo górnego ogona \(P(X > x)\), a także wartość oczekiwaną, wariancję i dominantę.
Dla przedziału wpisz granicę dolną \(a\) i granicę górną \(b\) (przy czym \(b > a\)). Otrzymasz \(P(a \le X \le b)\) wraz z gęstościami i wartościami dystrybuanty na obu krańcach.
Zajrzyj do panelu „Jak to działa i jak interpretować wyniki”, aby przeczytać wyjaśnienie swoich liczb prostym językiem.

Czym jest rozkład gamma?

Rozkład gamma to ciągły rozkład prawdopodobieństwa dla wielkości przyjmujących wyłącznie wartości dodatnie — czasów oczekiwania, sum odszkowań ubezpieczeniowych, opadów atmosferycznych, czasów pracy urządzeń do awarii. Ma dwa parametry: kształt \(k\), który określa ogólną formę krzywej, oraz skalę \(\theta\), która rozciąga ją lub ściska wzdłuż osi x. W efekcie powstaje niezwykle elastyczna rodzina rozkładów: przy małym \(k\) gęstość jest mocno prawostronnie skośna, ze szczytem blisko zera, natomiast przy dużym \(k\) staje się niemal symetryczna i dzwonowa.

Ten rozkład ma naturalną interpretację jako czas oczekiwania. Jeśli zdarzenia zachodzą losowo ze stałą średnią intensywnością (proces Poissona), to całkowity czas do \(k\)-tego zdarzenia ma rozkład gamma o parametrze kształtu \(k\) i skali \(\theta\) równej średniemu czasowi między zdarzeniami. Dla \(k = 1\) rozkład sprowadza się do rozkładu wykładniczego (czas oczekiwania na pojedyncze zdarzenie), a dla całkowitego \(k\) nosi nazwę rozkładu Erlanga.

Interpretacja wyników jest prosta. Gęstość \(f(x)\) mówi, jak prawdopodobne są wartości w pobliżu \(x\), w przeliczeniu na jednostkę miary. Dystrybuanta \(F(x)\) to szansa na wartość co najwyżej \(x\), a górny ogon \(S(x) = 1 - F(x)\) to szansa przekroczenia \(x\) — często właśnie ta wielkość interesuje nas w zagadnieniach niezawodności i teorii kolejek. Wartość oczekiwana \(k\theta\) to średnia, wariancja \(k\theta^2\) mierzy rozrzut, a dominanta \((k-1)\theta\) to pojedyncza najbardziej prawdopodobna wartość. Ponieważ rozkład jest prawostronnie skośny, dominanta leży poniżej średniej.

Parametryzacja, założenia i praktyczne wskazówki

Skala czy intensywność: ten kalkulator korzysta ze skali \(\theta\). Wiele podręczników i programów używa zamiast niej intensywności \(\beta = 1/\theta\). Jeśli Twoje źródło podaje intensywność, wpisz \(\theta = 1/\beta\) w polu parametru skali. Przy ustalonym \(k\) większa skala \(\theta\) rozciąga rozkład (większe wartości), a większa intensywność go ściska.
Dziedzina: rozkład gamma jest określony tylko dla \(x \ge 0\). Wartości ujemne są odrzucane; wpisuj zero lub liczby dodatnie.
Dominanta przy małym k: dominanta \((k-1)\theta\) istnieje tylko dla \(k \ge 1\). Gdy \(k < 1\), gęstość jest nieograniczona w zerze, dlatego kalkulator podaje dominantę równą 0.
Przybliżenie normalne: dla dużych \(k\) (mniej więcej \(k > 30\)) rozkład gamma dobrze przybliża rozkład normalny o wartości oczekiwanej \(k\theta\) i wariancji \(k\theta^2\).
Dobór parametrów: jeśli znasz docelową średnią \(\mu\) i wariancję \(\sigma^2\), oszacuj \(k = \mu^2/\sigma^2\) oraz \(\theta = \sigma^2/\mu\). Następnie możesz je doprecyzować, dopasowując do obserwowanych prawdopodobieństw skumulowanych.
Pokrewne modele: rozkład gamma jest popularną alternatywą dla rozkładu Weibulla i rozkładu logarytmicznie normalnego przy modelowaniu dodatnich, prawostronnie skośnych danych, takich jak czasy pracy do awarii czy wielkości odszkowań — te trzy rozkłady różnią się głównie kształtem ogonów.

Najczęściej zadawane pytania

Jak ręcznie obliczyć prawdopodobieństwa z rozkładu gamma?

Najpierw przeskaluj swoją wartość, czyli oblicz \(x/\theta\). Do dystrybuanty potrzebna jest znormalizowana niezupełna funkcja gamma \(P(k, x/\theta)\), którą zwykle odczytuje się z tablic lub za pomocą programu. Jeśli \(k\) jest liczbą całkowitą, możesz policzyć ją ręcznie ze skończoną sumą \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\sum_{j=0}^{k-1} (x/\theta)^j / j!\). Samą gęstość oblicza się wprost: wystarczy podstawić do wzoru \(f(x) = x^{k-1} e^{-x/\theta} / (\Gamma(k)\theta^k)\).

Mój program podaje parametr intensywności — jak zamienić go na skalę θ?

Intensywność \(\beta\) to po prostu odwrotność skali: \(\beta = 1/\theta\), czyli \(\theta = 1/\beta\). Funkcja GAMMA.DIST w Excelu, scipy.stats.gamma w Pythonie i pgamma w R domyślnie korzystają z parametryzacji przez intensywność. Na przykład rozkład podany jako Gamma(kształt 2, intensywność 0,5) to to samo, co kształt \(k = 2\) przy skali \(\theta = 2\) — wpisz tutaj 2 w polu skali. Pomylienie tych dwóch parametryzacji to zdecydowanie najczęstsze źródło błędnych wyników.

Jaka jest dobra, typowa wartość parametru kształtu k?

Nie ma uniwersalnej „dobrej” wartości — to zależy od danych. Małe \(k < 1\) daje gęstość ze skokiem blisko zera (bardzo duża skośność, np. przy gwałtownych procesach szkodowych). \(k = 1\) to rozkład wykładniczy, a całkowite \(k\) daje model Erlanga dla czasów oczekiwania. Gdy \(k\) przekroczy 30, rozkład staje się niemal symetryczny i dzwonowy. Parametr \(k\) dopasuj do danych ze wzoru \(k \approx \mu^2/\sigma^2\), gdzie \(\mu\) i \(\sigma^2\) to średnia i wariancja z Twojej próby.

Jak wyznaczyć k i θ, jeśli znam tylko średnią i wariancję?

Skorzystaj ze wzorów na momenty \(\mu = k\theta\) i \(\sigma^2 = k\theta^2\). Po ich rozwiązaniu otrzymasz \(k = \mu^2/\sigma^2\) oraz \(\theta = \sigma^2/\mu\). Na przykład jeśli czasy oczekiwania mają średnią 10 godzin i wariancję 50, to \(k = 100/50 = 2\) i \(\theta = 50/10 = 5\). Takie wyliczenie metodą momentów to dobry punkt wyjścia; jeśli potrzebujesz większej dokładności, dopasuj parametry metodą największej wiarygodności w dedykowanym oprogramowaniu statystycznym.

Czym różnią się rozkłady gamma, wykładniczy, Erlanga i chi-kwadrat?

To wszystko jedna rodzina. Rozkład wykładniczy to przypadek szczególny dla \(k = 1\). Rozkład Erlanga to rozkład gamma o całkowitym \(k\) — opisuje czas oczekiwania do \(k\)-tego zdarzenia w procesie Poissona. Rozkład chi-kwadrat o \(n\) stopniach swobody to gamma z \(k = n/2\) i \(\theta = 2\). Każde prawdopodobieństwo obliczone tutaj dla tych przypadków szczególnych będzie więc zgodne z odpowiednią tabelą wykładniczą, Erlanga albo chi-kwadrat.

Dlaczego kalkulator zwraca dominantę równą 0, gdy k jest mniejsze od 1?

Wzór na dominantę \((k-1)\theta\) ma sens tylko dla \(k \ge 1\). Gdy \(k < 1\), wykładnik \(k - 1\) jest ujemny, więc gęstość rośnie bez ograniczeń, gdy \(x\) zbliża się do zera — nie istnieje skończony szczyt. Najbardziej „prawdopodobny” obszar leży dowolnie blisko zera i dlatego kalkulator podaje 0. Jest to matematycznie poprawne, a takie kształty rzeczywiście występują w praktyce, na przykład przy modelowaniu bardzo gwałtownych szkodów ubezpieczeniowych albo opadów.

Czy mogę użyć tego kalkulatora do wyznaczania percentyli, czy potrzebna jest odwrotna dystrybuanta?

Kalkulator oblicza dystrybuantę \(F(x)\), a nie jej odwrotność, więc bezpośrednio nie zwróci wartości dla zadanego percentyla. Percentyl można jednak znaleźć metodą prób i błędów: wpisuj kolejne wartości \(x\) i koryguj je, aż prawdopodobieństwo skumulowane osiągnie poziom docelowy, np. 0,5 dla mediany. Dobrym pierwszym przybliżeniem mediany jest \(k\theta(1 - 1/(3k))^3\) — przybliżenie Wilsona–Hilferty’ego, dokładna do około 1% dla \(k > 1\).