Rechner für das Snelliussche Brechungsgesetz
Geben Sie den Einfallswinkel und die Brechzahlen der beiden Medien ein, um den Brechungswinkel nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz zu berechnen. Der Rechner zeigt außerdem den Grenzwinkel an und warnt Sie, wenn Totalreflexion auftritt.
Brechungswinkel nach dem snelliusschen Gesetz berechnen
Formel des Snelliusschen Brechungsgesetzes
Dabei gilt:
- \(n_1\) — Brechzahl des ersten Mediums (dem Medium, aus dem das Licht kommt)
- \(\theta_1\) — Einfallswinkel, gemessen zwischen dem einfallenden Strahl und dem Lot auf der Oberfläche
- \(n_2\) — Brechzahl des zweiten Mediums (dem Medium, das das Licht durchdringt)
- \(\theta_2\) — Brechungswinkel, gemessen zwischen dem gebrochenen Strahl und dem Lot
Nach dem Brechungswinkel aufgelöst ergibt sich \(\theta_2 = \arcsin\!\big(\tfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\big)\). Beide Winkel werden stets vom Lot (der Senkrechten auf der Oberfläche) aus gemessen, nicht von der Oberfläche selbst.
Wandert Licht von einem optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium (\(n_1 > n_2\)), so existiert ein Grenzwinkel:
\[ \theta_c = \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \]
Für jeden Einfallswinkel größer als \(\theta_c\) hat das Snelliussche Brechungsgesetz keine Lösung, und der Strahl wird vollständig zurückreflektiert — das ist die Totalreflexion.
Snelliussches Brechungsgesetz – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Lichtstrahl in Luft trifft unter einem Winkel von 40° zum Lot auf die ebene Oberfläche eines Wasserbeckens. Luft hat \(n_1 = 1\), Wasser \(n_2 = 1.33\). Gesucht ist der Winkel des gebrochenen Strahls im Wasser.
\[ \sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 = \frac{1}{1.33} \times \sin 40^\circ = 0.7519 \times 0.6428 = 0.4833 \]
\[ \theta_2 = \arcsin(0.4833) = 28.90^\circ \]
Ergebnis: Der Strahl wird unter 28,90° (etwa 28° 54′ bzw. 0,5044 rad) zum Lot gebrochen. Da Wasser optisch dichter als Luft ist, wird der Strahl zum Lot hin gebrochen — 40° hinein, 28,90° heraus.
So benutzen Sie den Rechner
- Geben Sie den Einfallswinkel (θ₁) ein und wählen Sie im Dropdown die Einheit (Grad oder Radiant). Der Winkel muss vom Lot auf der Oberfläche aus gemessen werden und zwischen 0° und 90° liegen.
- Geben Sie die Brechzahl von Medium 1 (n₁) ein — das Medium, aus dem das Licht kommt (für Luft genügt der Wert 1 völlig).
- Geben Sie die Brechzahl von Medium 2 (n₂) ein — das Medium, in das das Licht eintritt.
- Lesen Sie den Brechungswinkel (θ₂) in Grad, Grad und Bogenminuten sowie Radiant ab.
- Sehen Sie sich das zweite Ergebnis zu Grenzwinkel und Totalreflexion an: Existiert er, so wird jeder darüber liegende Einfallswinkel total reflektiert.
Was das Snelliussche Brechungsgesetz beschreibt
Das Snelliussche Brechungsgesetz (auch einfach Brechungsgesetz genannt) beschreibt, wie Licht seine Richtung ändert, wenn es die Grenzfläche zwischen zwei transparenten Stoffen durchquert. Licht breitet sich in verschiedenen Medien mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aus, und die Brechzahl \(n\) drückt genau das aus: \(n = c/v\), wobei \(c\) die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und \(v\) die Geschwindigkeit im Material ist. Tritt ein Strahl in ein Medium mit höherer Brechzahl ein, wird er langsamer und zum Lot hin gebrochen; beim Eintritt in ein Medium mit niedrigerer Brechzahl wird er schneller und vom Lot weg gebrochen.
Das Gesetz wurde 1621 vom niederländischen Astronomen Willebrord Snellius experimentell entdeckt und später theoretisch hergeleitet, am elegantesten aus dem Fermatschen Prinzip der kürzesten Zeit: Licht nimmt den Weg, der die Laufzeit zwischen zwei Punkten minimiert. Das Brechungsgesetz erklärt vertraute Effekte wie die scheinbare Knickung eines Strohhalms im Wasserglas, die scheinbare Flachheit von Becken (Objekte unter Wasser erscheinen näher an der Oberfläche, als sie sind) und die Art, wie Linsen Licht in Brillen, Kameras und Mikroskopen bündeln.
Die Deutung des Ergebnisses ist unkompliziert: Ist \(\theta_2 < \theta_1\), ist der Strahl in ein dichteres Medium eingetreten und zum Lot hin gebrochen; ist \(\theta_2 > \theta_1\), ist er in ein dünneres Medium eingetreten und vom Lot weg gebrochen. Beachten Sie, dass ein Strahl, der die Oberfläche senkrecht trifft (\(\theta_1 = 0\)), ungebrochen gerade hindurchgeht — unabhängig von den Brechzahlen.
Grenzwinkel und Totalreflexion
Geht Licht von einem dichteren in ein dünneres Medium (\(n_1 > n_2\), z. B. von Wasser in Luft oder von Glas in Luft), wird der gebrochene Strahl vom Lot weg gebrochen. Mit wachsendem \(\theta_1\) erreicht \(\theta_2\) irgendwann 90° — dieser Einfallswinkel ist der Grenzwinkel \(\theta_c\). Oberhalb davon kann kein gebrochener Strahl mehr existieren: Das gesamte Licht wird nahezu verlustfrei in das erste Medium zurückreflektiert. Das ist die Totalreflexion.
Für eine Wasser-Luft-Grenzfläche gilt \(\theta_c = \arcsin(1/1.33) \approx 48.75^\circ\); für gewöhnliches Glas-Luft liegt er bei etwa 41,8°. Die Totalreflexion ist das Funktionsprinzip von Glasfasern, die den Internetverkehr transportieren, von Prismenferngläsern und Periskopen sowie des brillanten Funkelns geschliffener Diamanten (\(n \approx 2.42\), Grenzwinkel nur 24,4°).
Typische Brechzahlen
| Medium | Brechzahl (ca., sichtbares Licht) |
|---|---|
| Vakuum | 1.0000 |
| Luft | 1.0003 |
| Eis | 1.31 |
| Wasser | 1.33 |
| Ethanol | 1.36 |
| Kronglas | 1.52 |
| Saphir | 1.77 |
| Diamant | 2.42 |
Annahmen und Grenzen
- Die Berechnung setzt eine ebene, glatte Grenzfläche und monochromatisches Licht voraus. Reale Materialien sind dispersiv: Die Brechzahl variiert leicht mit der Wellenlänge (blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes), weshalb Prismen weißes Licht in ein Spektrum zerlegen.
- An der Grenzfläche wird stets ein Teil des Lichts reflektiert, auch unterhalb des Grenzwinkels (typischerweise 4–8 % für Glas-Luft bei mittleren Winkeln); das Brechungsgesetz beschreibt nur die Richtung des durchgelassenen Strahls, nicht die Aufteilung der Energie.
- Die Winkel müssen vom Lot aus gemessen werden. Ein häufiger Fehler ist die Eingabe des Winkels zur Oberfläche statt zum Lot — ziehen Sie ihn vor der Eingabe von 90° ab.
- Die Brechzahlen müssen positiv sein; der Wert 0 für eines der Medien ist physikalisch sinnlos und wird abgelehnt.
- Der Rechner modelliert keine Absorption, keine Streuung und kein Verhalten in anisotropen (doppelbrechenden) Materialien wie Calcit, wo eine einzige Brechzahl nicht definiert ist.
Weitere Physik-Werkzeuge finden Sie in unserem Rechner für kinematische Gleichungen oder im Rechner zum Energieerhaltungssatz.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich den Brechungswinkel von Hand?
Schreiben Sie \( n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \) auf und stellen Sie um zu \( \sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1 \). Berechnen Sie die rechte Seite mit einer Sinustafel oder einem wissenschaftlichen Taschenrechner und ziehen Sie dann den Arkussinus (arcsin) des Ergebnisses. Achten Sie darauf, dass Ihr Rechner auf Gradmodus steht, wenn Ihre Winkel in Grad angegeben sind. Beispiel: von Luft in Glas mit \(\theta_1 = 30^\circ\): \( \sin\theta_2 = (1/1.52) \times 0.5 \approx 0.329 \), also \( \theta_2 \approx 19.2^\circ \).
Gilt das Snelliussche Brechungsgesetz auch umgekehrt, für Licht, das von Wasser oder Glas in Luft geht?
Ja. Die Brechung ist umkehrbar: Wird ein Strahl beim Übergang von Medium A nach B um einen bestimmten Betrag gebrochen, so durchläuft ein Strahl auf dem exakt umgekehrten Weg von B nach A dieselbe Bahn. Tauschen Sie einfach die beiden Brechzahlen und die beiden Winkel — dieselbe Gleichung gilt. Der einzige Unterschied ist die Brechungsrichtung und das mögliche Auftreten der Totalreflexion beim Übergang vom dichteren ins dünnere Medium.
Warum sagt der Rechner, dass es für Licht von Luft in Glas keinen Grenzwinkel gibt?
Ein Grenzwinkel existiert nur, wenn Licht von einem dichteren in ein dünneres Medium wandert (\( n_1 > n_2 \)), denn nur dann kann der Brechungswinkel mit wachsendem Einfallswinkel 90° erreichen. Beim Übergang von Luft in Glas wird der Strahl zum Lot hin gebrochen, sodass der Brechungswinkel den Einfallswinkel nie überschreitet und niemals 90° erreichen kann — Totalreflexion ist in dieser Richtung unmöglich.
Was, wenn ich den Winkel zur Oberfläche statt zum Lot gemessen habe?
Ziehen Sie ihn vor der Eingabe von 90° ab. Das Brechungsgesetz verlangt Winkel, die vom Lot aus gemessen werden — der gedachten Senkrechten auf der Oberfläche. Trifft z. B. ein Strahl das Wasser unter 50° zur Oberfläche, so tritt er unter \( 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \) zum Lot ein. Dies ist die mit Abstand häufigste Fehlerquelle bei Brechungsaufgaben, und es gilt auch für die Ausgabe: Das Ergebnis ist ebenfalls vom Lot aus angegeben.
Kann ich diesen Rechner für Schall, Wasserwellen oder andere Wellen verwenden?
Ja, sofern sich jedes Medium durch eine einzige Kennzahl (Verhältnis der Wellengeschwindigkeiten) beschreiben lässt. Das Brechungsgesetz gilt für jede Welle, die eine Grenzfläche zwischen zwei Medien durchquert — Schall zwischen Luft und Wasser, seismische Wellen zwischen Gesteinsschichten oder Wasserwellen zwischen Bereichen unterschiedlicher Tiefe. Verwenden Sie \( n = v_{ref}/v \) für jedes Medium, wobei \( v \) die Wellengeschwindigkeit ist; dieselbe Formel gilt.
Wie rechne ich zwischen Grad und Radiant um?
Multiplizieren Sie Grad mit \( \pi/180 \), um Radiant zu erhalten, und Radiant mit \( 180/\pi \), um Grad zu erhalten. Zum Beispiel ist \( 40^\circ = 40 \times 0{,}01745 \approx 0{,}6981 \) rad und \( 1 \) rad \( \approx 57.3^\circ \). Der Rechner akzeptiert über das Dropdown beide Einheiten für den Eingabewinkel und gibt die Ergebnisse in beiden an, sodass eine manuelle Umrechnung meist unnötig ist.
Ändert sich die Brechzahl mit der Farbe des Lichts?
Ja, leicht — eine Eigenschaft namens Dispersion. In fast allen Materialien ist die Brechzahl für blaues Licht höher als für rotes, weshalb ein Prisma weißes Licht in ein Spektrum zerlegt. Der Unterschied ist gering (einige Prozent bei Glas), daher genügt für die meisten Zwecke ein einzelner Tabellenwert. Wenn Sie Präzision benötigen, suchen Sie die Brechzahl bei Ihrer spezifischen Wellenlänge nach, etwa bei der Natrium-D-Linie (589 nm), die in Referenztabellen üblich ist.