Calculadora de Distribuição Binomial

Q: Como calculo uma probabilidade binomial à mão, sem calculadora?

Use a fórmula P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k . Primeiro calcule o coeficiente binomial, por exemplo binom105 = (10!)/(5! · 5!) = 252 . Depois multiplique por p^k e por (1-p)^n-k . Para n pequenos, também pode listar todos os resultados, mas os fatoriais crescem extremamente depressa, pelo que o cálculo manual se torna impraticável a partir de cerca de n = 20 .

Q: Qual é a diferença entre “pelo menos”, “no máximo” e “exatamente” k sucessos?

“Exatamente” é uma probabilidade única: P(X = k) . “No máximo” significa k ou menos: P(X ≤ k) . “Pelo menos” significa k ou mais: P(X ≥ k) . Um erro comum é confundir “pelo menos k ” com “mais do que k ” — o primeiro inclui o próprio k , o segundo é P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) . O bloco de interpretação nos resultados mostra ambas as versões.

Q: Como converto chances ou probabilidades de “1 em N” na probabilidade p?

A calculadora espera p como uma percentagem. Se tiver chances de “a para b”, converta com p = a/(a+b) e multiplique por 100. Uma chance de “1 em 6” (como um lançamento de dado) significa p ≈ 16.67% ; “1 em 100” significa introduzir 1. As probabilidades decimais convertem-se diretamente: 0,35 equivale a 35%.

Q: O que me diz a média np, e pode o resultado real estar longe dela?

A média μ = np é o número médio esperado de sucessos ao longo de muitas repetições — não uma previsão para um único experimento. Os resultados individuais situam-se tipicamente dentro de cerca de μ ± 2σ (aproximadamente 95% das vezes), onde σ = √(np(1-p)) . Por exemplo, com n = 100 , p = 0.5 : espere cerca de 50 sucessos, normalmente entre 40 e 60.

Atualizado: 3 outubro 2026

Calcule probabilidades binomiais: P(X = k), acumulada P(X ≤ k), P(X ≥ k) ou um intervalo de sucessos. Introduza o número de ensaios, a probabilidade de sucesso e k para obter também a média, a variância e o desvio padrão.

Calcular Probabilidades Binomiais

Fórmula da Distribuição Binomial

Fórmula

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \\ P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \qquad P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) \\ \mu = np, \qquad \sigma^2 = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

Onde:

\(n\) — número de ensaios independentes
\(p\) — probabilidade de sucesso num único ensaio (entre 0 e 1)
\(k\) — número de sucessos de interesse (\(0 \le k \le n\))
\(\binom{n}{k}\) — coeficiente binomial, o número de formas de escolher \(k\) sucessos entre \(n\) ensaios
\(\mu\), \(\sigma^2\), \(\sigma\) — média, variância e desvio padrão da distribuição

A primeira fórmula dá a função massa de probabilidade (fmp): a probabilidade de obter exatamente \(k\) sucessos em \(n\) ensaios. A segunda dá a distribuição acumulada (fda), a probabilidade de obter no máximo \(k\) sucessos, obtida somando a fmp de 0 a \(k\).

Distribuição Binomial – Exemplo de Cálculo

Exemplo: uma moeda equilibrada é lançada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 5 caras? Aqui \(n = 10\), \(p = 0.5\), \(k = 5\).

\[ P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^{10-5} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = 0.246094 \approx 24.61\% \]

\[ P(X \le 5) = \sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}(0.5)^{10} = \frac{638}{1024} = 0.623047 \approx 62.30\% \]

\[ \mu = 10 \cdot 0.5 = 5, \qquad \sigma^2 = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5, \qquad \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811 \]

Resultado: P(X = 5) = 0,246094 (24,61%), P(X ≤ 5) = 0,623047 (62,30%), P(X ≥ 5) = 0,623047 (62,30%), média = 5, variância = 2,5, desvio padrão ≈ 1,5811.

Como utilizar a calculadora

Introduza o Número de ensaios (n) — um número inteiro de 1 a 10 000.
Introduza a Probabilidade de sucesso (p) como uma porcentagem entre 0% e 100% (por exemplo, introduza 50 para uma moeda equilibrada).
Escolha o modo em Sucessos de interesse: “Exatamente k sucessos” para um único valor, ou “Entre k₁ e k₂ sucessos” para um intervalo.
Introduza o Número de sucessos (k). No modo de intervalo, este é o limite inferior k₁.
Se selecionou o modo de intervalo, introduza também o Limite superior (k₂), que deve ser pelo menos k₁.
Leia os resultados: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) e, no modo de intervalo, P(k₁ ≤ X ≤ k₂), além da média, da variância e do desvio padrão. O bloco de interpretação também lista probabilidades complementares como P(X < k) e P(X > k).

O que é a distribuição binomial?

A distribuição binomial modela o número de sucessos num número fixo de ensaios independentes, em que cada ensaio tem a mesma probabilidade de sucesso \(p\). Cada ensaio tem exatamente dois resultados — sucesso ou insucesso — pelo que se chama um ensaio de Bernoulli. Exemplos clássicos incluem o número de caras numa série de lançamentos de uma moeda, o número de artigos defeituosos numa amostra ou o número de pacientes que respondem a um tratamento.

A média da distribuição é \(\mu = np\): em média, espera-se \(n \cdot p\) sucessos. A dispersão é medida pela variância \(\sigma^2 = np(1-p)\) e pelo desvio padrão \(\sigma\). Quando \(p = 0.5\), a distribuição é simétrica em torno de \(n/2\); quando \(p\) está próximo de 0 ou de 1, torna-se assimétrica, acumulando-se perto de 0 ou de \(n\).

A calculadora distingue entre probabilidades exatas e acumuladas. A fmp responde “qual é a probabilidade de obter exatamente k sucessos”, enquanto a fda responde “qual é a probabilidade de obter no máximo k sucessos”. Os valores acumulados são frequentemente mais úteis na prática: por exemplo, se k for um limite de qualidade, P(X ≤ k) indica a probabilidade de manter-se dentro do limite, e 1 − P(X ≤ k) indica a probabilidade de o exceder. Note que P(X ≥ k) inclui o próprio k; se precisar de um valor estritamente maior que k, use P(X > k) = 1 − P(X ≤ k), apresentado no bloco de interpretação.

Pressupostos, limitações e dicas

Número fixo de ensaios. \(n\) deve ser definido de antemão. Se o número de ensaios for em si aleatório, um modelo diferente (por exemplo, a distribuição de Poisson) é mais adequado.
Independência. O resultado de um ensaio não deve afetar outro. A amostragem sem reposição de uma população pequena viola este pressuposto; use a distribuição hipergeométrica.
Probabilidade de sucesso constante. \(p\) deve ser a mesma em todos os ensaios. Se variar de ensaio para ensaio, o modelo binomial deixa de se aplicar.
n grande. A calculadora usa um método de log-gama numericamente estável, pelo que processa \(n\) grandes (até 10 000) sem overflow. Para probabilidades muito pequenas, o resultado é apresentado em notação científica.
Interpretação de probabilidades minúsculas. Um resultado como “≈ 0%” não significa impossível — pode simplesmente significar que a probabilidade é inferior a cerca de \(10^{-8}\). Verifique o valor decimal apresentado junto à porcentagem.
Regra prática para a aproximação. Para \(n\) grandes com \(np\) e \(n(1-p)\) ambos superiores a cerca de 5, a distribuição binomial é bem aproximada por uma distribuição normal com média \(np\) e desvio padrão \(\sqrt{np(1-p)}\) — útil para estimativas mentais rápidas.

Perguntas frequentes

Como calculo uma probabilidade binomial à mão, sem calculadora?

Use a fórmula \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \). Primeiro calcule o coeficiente binomial, por exemplo \( \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \). Depois multiplique por \( p^k \) e por \( (1-p)^{n-k} \). Para \( n \) pequenos, também pode listar todos os resultados, mas os fatoriais crescem extremamente depressa, pelo que o cálculo manual se torna impraticável a partir de cerca de \( n = 20 \).

Qual é a diferença entre “pelo menos”, “no máximo” e “exatamente” k sucessos?

“Exatamente” é uma probabilidade única: \( P(X = k) \). “No máximo” significa \( k \) ou menos: \( P(X \le k) \). “Pelo menos” significa \( k \) ou mais: \( P(X \ge k) \). Um erro comum é confundir “pelo menos \( k \)” com “mais do que \( k \)” — o primeiro inclui o próprio \( k \), o segundo é \( P(X > k) = 1 - P(X \le k) \). O bloco de interpretação nos resultados mostra ambas as versões.

Como converto chances ou probabilidades de “1 em N” na probabilidade p?

A calculadora espera \( p \) como uma percentagem. Se tiver chances de “a para b”, converta com \( p = \frac{a}{a+b} \) e multiplique por 100. Uma chance de “1 em 6” (como um lançamento de dado) significa \( p \approx 16.67\% \); “1 em 100” significa introduzir 1. As probabilidades decimais convertem-se diretamente: 0,35 equivale a 35%.

Como encontro a probabilidade de um intervalo, como entre 3 e 7 sucessos?

Selecione o modo “Entre k₁ e k₂ sucessos”, introduza 3 como número de sucessos e 7 como limite superior. A calculadora calcula \( P(k_1 \le X \le k_2) \) somando as probabilidades individuais. À mão, o mesmo resultado obtém-se com \( P(X \le k_2) - P(X \le k_1 - 1) \). Ambos os limites estão incluídos, pelo que o intervalo 3–7 cobre 3, 4, 5, 6 e 7 sucessos.

Quando devo usar a distribuição binomial em vez de Poisson, normal ou hipergeométrica?

Use a binomial quando o número de ensaios é fixo e os resultados são independentes com um \( p \) constante. Use a distribuição hipergeométrica quando faz amostragem sem reposição de uma população pequena (por exemplo, ao retirar cartas). Use Poisson quando conta eventos num intervalo fixo em vez de um número fixo de ensaios. A distribuição normal é uma aproximação, precisa quando \( np \) e \( n(1-p) \) são ambos superiores a 5.

O que me diz a média np, e pode o resultado real estar longe dela?

A média \( \mu = np \) é o número médio esperado de sucessos ao longo de muitas repetições — não uma previsão para um único experimento. Os resultados individuais situam-se tipicamente dentro de cerca de \( \mu \pm 2\sigma \) (aproximadamente 95% das vezes), onde \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \). Por exemplo, com \( n = 100 \), \( p = 0.5 \): espere cerca de 50 sucessos, normalmente entre 40 e 60.

Por que é que o meu resultado aparece como “≈ 0%” — o resultado é realmente impossível?

Não, não é impossível. “≈ 0%” significa apenas que a probabilidade é inferior a cerca de \( 10^{-8} \). Verifique o valor decimal apresentado junto à porcentagem — as probabilidades muito pequenas aparecem em notação científica, como \( 2.5 \times 10^{-12} \). Com \( n \) grandes, valores distantes da média \( np \) podem ser astronomicamente improváveis, mas ainda matematicamente possíveis.