Калькулятор биномиального распределения

Обновлено: 3 октября, 2026

Вычислите биномиальные вероятности: P(X = k), накопленные P(X ≤ k), P(X ≥ k) или вероятность диапазона числа успехов. Введите число испытаний, вероятность успеха и k, чтобы также получить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Вычислить биномиальные вероятности

Число испытаний (n)

Количество независимых испытаний Бернулли. Целое число от 1 до 10 000.

Вероятность успеха (p)

Шанс успеха в одном испытании, от 0% до 100%.

Интересующие успехи

Число успехов (k)

Целое число от 0 до n. В режиме диапазона это нижняя граница k₁.

Рассчитывать автоматическиЕсли включено, результат будет автоматически обновляться при изменении любого значения.

Ваши результаты

P(X = k)pmf

P(X ≤ k)cdf

P(X ≥ k)

P(k₁ ≤ X ≤ k₂)

Среднееμ

Дисперсияσ²

Стандартное отклонениеσ

Интерпретация и подробности

Формула биномиального распределения

Формула

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \\ P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \qquad P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) \\ \mu = np, \qquad \sigma^2 = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

Где:

\(n\) — число независимых испытаний
\(p\) — вероятность успеха в одном испытании (от 0 до 1)
\(k\) — интересующее число успехов (\(0 \le k \le n\))
\(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, число способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) испытаний
\(\mu\), \(\sigma^2\), \(\sigma\) — математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение распределения

Первая формула задаёт функцию вероятности (ряд распределения): вероятность ровно \(k\) успехов в \(n\) испытаниях. Вторая даёт функцию распределения (накопленную вероятность) — вероятность не более чем \(k\) успехов, получаемую суммированием вероятностей от 0 до \(k\).

Биномиальное распределение — пример расчёта

Пример: симметричную монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность получить ровно 5 орлов? Здесь \(n = 10\), \(p = 0.5\), \(k = 5\).

\[ P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^{10-5} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = 0.246094 \approx 24.61\% \]

\[ P(X \le 5) = \sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}(0.5)^{10} = \frac{638}{1024} = 0.623047 \approx 62.30\% \]

\[ \mu = 10 \cdot 0.5 = 5, \qquad \sigma^2 = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5, \qquad \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811 \]

Результат: P(X = 5) = 0.246094 (24.61%), P(X ≤ 5) = 0.623047 (62.30%), P(X ≥ 5) = 0.623047 (62.30%), среднее = 5, дисперсия = 2.5, среднее квадратическое отклонение ≈ 1.5811.

Как пользоваться калькулятором

Введите Число испытаний (n) — целое число от 1 до 10 000.
Введите Вероятность успеха (p) в процентах от 0% до 100% (например, введите 50 для симметричной монеты).
Выберите режим в поле Интересующее число успехов: «Ровно k успехов» для одного значения или «От k₁ до k₂ успехов» для диапазона.
Введите Число успехов (k). В режиме диапазона это нижняя граница k₁.
Если выбран режим диапазона, также введите Верхнюю границу (k₂), которая должна быть не меньше k₁.
Прочитайте результаты: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k), а в режиме диапазона P(k₁ ≤ X ≤ k₂), а также математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. В блоке интерпретации также приведены дополнительные вероятности, например P(X < k) и P(X > k).

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение описывает число успехов в фиксированном количестве независимых испытаний, где каждое испытание имеет одну и ту же вероятность успеха \(p\). Каждое испытание имеет ровно два исхода — успех или неудачу — поэтому оно называется испытанием Бернулли. Классические примеры: число орлов при серии подбрасываний монеты, число бракованных изделий в выборке или число пациентов, ответивших на лечение.

Математическое ожидание распределения равно \(\mu = np\): в среднем ожидается \(n \cdot p\) успехов. Разброс измеряется дисперсией \(\sigma^2 = np(1-p)\) и средним квадратическим отклонением \(\sigma\). При \(p = 0.5\) распределение симметрично относительно \(n/2\); когда \(p\) близко к 0 или 1, оно становится асимметричным, сгущаясь около 0 или около \(n\).

Калькулятор различает точные и накопленные вероятности. Функция вероятности отвечает на вопрос «какова вероятность ровно k успехов», а функция распределения — «какова вероятность не более k успехов». Накопленные значения часто полезнее на практике: например, если k — порог качества, то P(X ≤ k) показывает вероятность остаться в пределах нормы, а 1 − P(X ≤ k) — вероятность её превысить. Обратите внимание, что P(X ≥ k) включает само k; если нужно строго больше k, используйте P(X > k) = 1 − P(X ≤ k), которое показано в блоке интерпретации.

Допущения, ограничения и советы

Фиксированное число испытаний. \(n\) должно быть задано заранее. Если само число испытаний случайно, больше подходит другая модель (например, распределение Пуассона).
Независимость. Исход одного испытания не должен влиять на другое. Выборка без возвращения из небольшой генеральной совокупности нарушает это условие; используйте вместо этого гипергеометрическое распределение.
Постоянная вероятность успеха. \(p\) должна быть одинаковой для каждого испытания. Если она меняется от испытания к испытанию, биномиальная модель уже неприменима.
Большое n. Калькулятор использует численно устойчивый метод на основе логарифмической гамма-функции, поэтому он работает с большими \(n\) (до 10 000) без переполнения. Для очень малых вероятностей результат выводится в экспоненциальной записи.
Интерпретация малых вероятностей. Результат вида «≈ 0%» не означает невозможность — это может просто означать, что вероятность меньше примерно \(10^{-8}\). Проверьте десятичное значение, показанное рядом с процентами.
Правило для приближения. При больших \(n\), когда \(np\) и \(n(1-p)\) оба больше примерно 5, биномиальное распределение хорошо приближается нормальным распределением с математическим ожиданием \(np\) и средним квадратическим отклонением \(\sqrt{np(1-p)}\) — удобно для быстрых прикидок в уме.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить биномиальную вероятность вручную без калькулятора?

Используйте формулу \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \). Сначала вычислите биномиальный коэффициент, например \( \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \). Затем умножьте на \( p^k \) и \( (1-p)^{n-k} \). При малых \( n \) можно также перечислить все исходы, но факториалы растут крайне быстро, поэтому ручной расчёт становится непрактичным примерно после \( n = 20 \).

В чём разница между «не менее», «не более» и «ровно» k успехов?

«Ровно» — это единичная вероятность: \( P(X = k) \). «Не более» означает \( k \) или меньше: \( P(X \le k) \). «Не менее» означает \( k \) или больше: \( P(X \ge k) \). Частая ошибка — путать «не менее \( k \)» с «больше \( k \)»: первое включает само \( k \), второе равно \( P(X > k) = 1 - P(X \le k) \). В блоке интерпретации показаны оба варианта.

Как перевести шансы или вероятность «1 из N» в вероятность p?

Калькулятор ожидает \( p \) в процентах. Если у вас шансы «a к b», переведите их по формуле \( p = \frac{a}{a+b} \) и умножьте на 100. Вероятность «1 из 6» (как при броске кубика) означает \( p \approx 16.67\% \); «1 из 100» — введите 1. Десятичные вероятности переводятся напрямую: 0.35 равняется 35%.

Как найти вероятность диапазона, например от 3 до 7 успехов?

Выберите режим «От k₁ до k₂ успехов», введите 3 как число успехов и 7 как верхнюю границу. Калькулятор вычислит \( P(k_1 \le X \le k_2) \), суммируя отдельные вероятности. Вручную тот же результат получается как \( P(X \le k_2) - P(X \le k_1 - 1) \). Обе границы включаются, поэтому диапазон 3–7 охватывает 3, 4, 5, 6 и 7 успехов.

Когда использовать биномиальное распределение, а когда Пуассона, нормальное или гипергеометрическое?

Используйте биномиальное распределение, когда число испытаний фиксировано, а исходы независимы с постоянным \( p \). Используйте гипергеометрическое распределение при выборе без возвращения из небольшой совокупности (например, при вытягивании карт). Используйте распределение Пуассона, когда подсчитываются события за фиксированный интервал, а не за фиксированное число испытаний. Нормальное распределение — это приближение, точное, когда \( np \) и \( n(1-p) \) оба больше 5.

Что говорит математическое ожидание np и может ли фактический результат сильно от него отличаться?

Математическое ожидание \( \mu = np \) — это среднее ожидаемое число успехов при большом числе повторений, а не прогноз для одного эксперимента. Отдельные исходы обычно попадают примерно в интервал \( \mu \pm 2\sigma \) (примерно в 95% случаев), где \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \). Например, при \( n = 100 \), \( p = 0.5\): ожидается около 50 успехов, обычно от 40 до 60.

Почему результат показан как «≈ 0%» — действительно ли такой исход невозможен?

Нет, он не невозможен. «≈ 0%» означает лишь, что вероятность меньше примерно \( 10^{-8} \). Проверьте десятичное значение, показанное рядом с процентами, — очень малые вероятности выводятся в экспоненциальной записи, например \( 2.5 \times 10^{-12} \). При больших \( n\) значения, далёкие от среднего \( np \), могут быть астрономически маловероятными, но всё же математически возможными.