Calculateur de la règle des signes de Descartes

Q: Comment calcule-t-on le nombre minimal de racines complexes ?

Un polynôme de degré n possède exactement n racines au total, comptées avec leur multiplicité. Additionnez le nombre maximal possible de racines positives (les changements de signe dans f(x)), le nombre maximal possible de racines négatives (les changements de signe dans f(-x)) et, le cas échéant, la multiplicité de zéro. Soustrayez ensuite cette somme du degré. Le résultat est le nombre minimal de racines non réelles ; il est toujours pair, car les racines complexes vont par paires conjuguées.

Mis à jour : 03.10.2026

Estimez le nombre de racines positives, négatives et non réelles d’un polynôme à l’aide de la règle des signes de Descartes. Saisissez les coefficients par ordre décroissant des puissances pour voir tous les nombres de racines possibles.

Analyser les racines réelles positives et négatives des polynômes

Formule de la règle des signes de Descartes

Formule

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \\[1em] V(x) = \text{nombre de changements de signe dans les coefficients de } P(x) \\[1em] N_{\text{pos}} \le V(x), \quad N_{\text{pos}} \equiv V(x) \pmod{2} \\[1em] N_{\text{neg}} \le V(-x), \quad N_{\text{neg}} \equiv V(-x) \pmod{2} \]

Où :

\(P(x)\) — le polynôme, dont les coefficients sont écrits par ordre décroissant des puissances
\(V(x)\) — le nombre de changements de signe entre les coefficients non nuls consécutifs de \(P(x)\)
\(V(-x)\) — le nombre de changements de signe dans \(P(-x)\), c’est-à-dire dans le polynôme obtenu en inversant le signe de tous les coefficients des puissances impaires
\(N_{\text{pos}}\), \(N_{\text{neg}}\) — les nombres de racines réelles positives et négatives, comptées avec leur multiplicité

La règle indique que le nombre de racines réelles positives est égal au nombre de changements de signe dans \(P(x)\), ou lui est inférieur d’un nombre pair. Il en va de même pour les racines négatives après avoir remplacé \(x\) par \(-x\).

Règle des signes de Descartes – exemple de calcul

Exemple : prenons le polynôme \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\), saisi sous la forme des coefficients 1 -6 11 -6.

Étape 1 — racines positives. Les signes des coefficients de \(f(x)\) sont :

\[ +,\ -,\ +,\ - \quad \Rightarrow \quad 3 \text{ changements de signe} \]

Il y a donc exactement 3 ou exactement 1 racine réelle positive.

Étape 2 — racines négatives. Remplaçons \(x\) par \(-x\) :

\[ f(-x) = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6 \]

Les signes sont \(-, -, -, -\), soit 0 changement de signe : il n’y a donc aucune racine réelle négative.

Résultat : 3 ou 1 racine positive, 0 racine négative et au moins \(3 - 3 = 0\) racine non réelle. En fait, \(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\) : les trois racines (1, 2, 3) sont donc positives.

Comment utiliser le calculateur

Dans le champ Coefficients du polynôme, saisissez les coefficients de votre polynôme par ordre décroissant des puissances, séparés par des espaces. Par exemple, 1 -6 11 -6 correspond à \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).
Indiquez un coefficient nul lorsqu’une puissance est absente : 2 0 -5 1 correspond à \(2x^3 - 5x + 1\). Les zéros en début et en fin de liste sont traités automatiquement.
Appuyez sur Calculer.
Consultez les résultats : le calculateur affiche votre polynôme sous sa forme standard, la multiplicité de zéro en tant que racine (si le terme constant est nul), les nombres possibles de racines réelles positives, les nombres possibles de racines réelles négatives et le nombre minimal de racines non réelles (complexes).

Ce que révèle la règle des signes de Descartes

La règle des signes de Descartes, publiée par René Descartes en 1637, permet de déterminer rapidement des bornes pour le nombre de racines réelles positives et négatives d’un polynôme, sans résoudre l’équation. Écrivez le polynôme sous sa forme standard et comptez les changements de signe entre ses coefficients non nuls consécutifs. Le nombre exact de racines positives est égal à ce total, éventuellement diminué d’un nombre pair. En répétant le comptage pour \(f(-x)\), vous obtenez les nombres possibles de racines négatives.

Le fait que l’écart soit un nombre pair est important. S’il y a 3 changements de signe, le polynôme possède 3 ou 1 racine positive — jamais 2 ni 0. S’il y a exactement 1 changement de signe, le polynôme possède exactement 1 racine positive : c’est l’un des cas particuliers les plus utiles de la règle.

En combinant ces deux comptages avec le degré du polynôme, vous pouvez aussi déterminer le nombre minimal de racines non réelles. Un polynôme de degré \(n\) possède exactement \(n\) racines au total (comptées avec leur multiplicité, d’après le théorème fondamental de l’algèbre), et les racines non réelles vont toujours par paires conjuguées. Il suffit donc de soustraire du degré les nombres maximaux possibles de racines réelles pour obtenir le nombre minimal de racines complexes. Pour étudier celles-ci, consultez le calculateur de racines complexes et le calculateur de conjugué complexe.

Interpréter les résultats

Chaque ligne de résultat présente toutes les possibilités compatibles avec la règle. « 3 ou 1 » pour les racines positives signifie que ces deux résultats sont compatibles avec la suite des signes. Il faut des informations supplémentaires (un graphique, une recherche de racines rationnelles ou des méthodes numériques) pour déterminer le nombre réel de racines. En revanche, un résultat d’exactement 0 est définitif : si \(f(-x)\) ne présente aucun changement de signe, le polynôme ne possède aucune racine réelle négative.

Si le terme constant est nul, \(x = 0\) est une racine. Le calculateur indique sa multiplicité en comptant les coefficients nuls en fin de liste. Dans ce cas, appliquez la règle à la partie restante du polynôme après avoir mis \(x^k\) en facteur.

Hypothèses, limites et conseils

Les coefficients doivent être réels. La règle ne s’applique pas aux polynômes à coefficients complexes.
Les coefficients nuls sont ignorés lors du comptage des changements de signe. Pour \(x^3 + 1\), les signes sont \(+, +\) — un changement de signe, donc exactement 1 racine négative après vérification de \(f(-x)\).
La règle tient compte de la multiplicité. Une racine double en \(x = 2\) compte comme deux racines positives.
Elle donne des possibilités, pas les valeurs exactes. La règle ne donne jamais les racines elles-mêmes, mais seulement le nombre de racines de chaque signe qui peuvent exister. Utilisez-la pour réduire le champ de recherche avant de recourir à d’autres outils.
L’absence de certaines racines permet une vérification rapide : si un polynôme de degré impair ne présente aucun changement de signe dans \(f(x)\), il doit avoir au moins une racine négative, car tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.
La règle est particulièrement utile avec des outils de résolution d’équations comme le calculateur d’équations cubiques et le calculateur d’équations quartiques. Elle peut également confirmer la répartition des racines trouvée avec le calculateur d’équations du second degré.

Questions fréquentes

Comment appliquer la règle des signes de Descartes à la main ?

Écrivez le polynôme sous sa forme standard, en classant les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible. Relevez les signes des coefficients non nuls et comptez les changements de signe entre coefficients consécutifs. Le nombre de racines réelles positives peut être égal à ce total ou à ce total diminué d’un nombre pair. Remplacez ensuite x par −x, simplifiez et comptez à nouveau les changements de signe pour obtenir les nombres possibles de racines réelles négatives. Ignorez les coefficients nuls lors du comptage.

Pourquoi le nombre de racines diffère-t-il du nombre de changements de signe d’un nombre pair ?

Les racines non réelles vont par paires conjuguées, et les racines qui passent par zéro modifient la suite des signes par paires. Ainsi, chaque paire de racines positives qui « disparaît » (en devenant complexe ou négative) réduit le nombre de 2 exactement. C’est pourquoi 4 changements de signe correspondent à 4, 2 ou 0 racine positive — jamais 3 ni 1. La parité du nombre de changements de signe est toujours la même que celle du nombre réel de racines positives.

Un seul changement de signe signifie-t-il toujours qu’il y a exactement une racine positive ?

Oui — c’est le cas particulier le plus puissant de la règle. Si les coefficients d’un polynôme présentent exactement un changement de signe, celui-ci possède nécessairement exactement une racine réelle positive (comptée avec sa multiplicité). Contrairement au cas général, qui ne donne qu’une liste de possibilités, un seul changement de signe fournit une réponse définitive. On l’utilise souvent pour démontrer qu’une équation possède au moins une solution positive, par exemple en économie ou dans les problèmes d’optimisation.

Comment les coefficients nuls influent-ils sur le comptage ?

Les coefficients nuls sont simplement ignorés : seuls les coefficients non nuls sont comparés. Par exemple, dans \(x^3 + 1\), les signes des termes \(x^3\) et \(1\) sont \(+, +\), soit 0 changement de signe : il n’y a donc aucune racine positive. Si le terme constant est nul, mettez d’abord en facteur la puissance de \(x\) la plus élevée possible (le calculateur indique sa multiplicité), puis appliquez la règle au polynôme restant.

La règle peut-elle me donner le nombre exact de racines réelles ?

Pas toujours. Elle réduit les possibilités à une liste de nombres qui diffèrent d’un nombre pair, par exemple « 3 ou 1 racine positive ». Certains résultats sont toutefois définitifs : 0 changement de signe signifie exactement 0 racine du signe considéré, et 1 changement de signe signifie exactement 1 racine. Pour trancher dans les cas ambigus, associez la règle à un graphique, à une recherche de racines rationnelles ou à des méthodes numériques.

Comment calcule-t-on le nombre minimal de racines complexes ?

Un polynôme de degré \(n\) possède exactement \(n\) racines au total, comptées avec leur multiplicité. Additionnez le nombre maximal possible de racines positives (les changements de signe dans \(f(x)\)), le nombre maximal possible de racines négatives (les changements de signe dans \(f(-x)\)) et, le cas échéant, la multiplicité de zéro. Soustrayez ensuite cette somme du degré. Le résultat est le nombre minimal de racines non réelles ; il est toujours pair, car les racines complexes vont par paires conjuguées.

Quelles sont les erreurs courantes lors de l’utilisation de la règle ?

Les erreurs les plus fréquentes consistent à oublier de classer les termes du polynôme par ordre décroissant des puissances avant de compter, à inclure les coefficients nuls dans le comptage (ils doivent être ignorés), à oublier que les racines sont comptées avec leur multiplicité (une racine double compte deux fois) et à mal calculer \(f(-x)\) : seuls les coefficients des puissances impaires changent de signe, tandis que \(x^2\) et le terme constant restent inchangés. N’oubliez pas non plus que la règle exige des coefficients réels.