Calculateur de collision élastique (1D)
Calculez les vitesses finales de deux objets après une collision élastique unidimensionnelle. Saisissez la masse et la vitesse initiale de chaque objet : le calculateur applique les lois de conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique.
Calculateur de collision élastique 1D
Formules de collision élastique (1D)
Où :
- \(m_1\), \(m_2\) — masses des deux objets (kg)
- \(u_1\), \(u_2\) — vitesses initiales des objets avant la collision (m/s)
- \(v_1\), \(v_2\) — vitesses finales des objets après la collision (m/s)
Ces formules s’obtiennent en résolvant simultanément deux équations : celle de la conservation de la quantité de mouvement, \(m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2\), et celle de la conservation de l’énergie cinétique, \(\tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2\). Toutes deux doivent être vérifiées pour une collision parfaitement élastique.
Collision élastique (1D) – exemple de calcul
Exemple : un objet de 2 kg se déplaçant à 5 m/s entre en collision frontale avec un objet de 1 kg au repos.
\[ m_1 = 2\text{ kg},\quad u_1 = 5\text{ m/s},\quad m_2 = 1\text{ kg},\quad u_2 = 0\text{ m/s} \]
\[ v_1 = \frac{2 - 1}{2 + 1} \cdot 5 + \frac{2 \cdot 1}{2 + 1} \cdot 0 = \frac{1}{3} \cdot 5 \approx 1.667\text{ m/s} \]
\[ v_2 = \frac{2 \cdot 2}{2 + 1} \cdot 5 + \frac{1 - 2}{2 + 1} \cdot 0 = \frac{4}{3} \cdot 5 \approx 6.667\text{ m/s} \]
Résultat : \(v_1 \approx 1.667\text{ m/s}\) et \(v_2 \approx 6.667\text{ m/s}\). L’objet le plus lourd ralentit mais continue d’avancer, tandis que l’objet le plus léger est propulsé vers l’avant à une vitesse supérieure à celle de l’objet incident.
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez la Masse 1 (m₁) et sélectionnez son unité (kg ou g).
- Saisissez la Vitesse initiale 1 (u₁) et choisissez m/s ou km/h.
- Saisissez la Masse 2 (m₂) et son unité.
- Saisissez la Vitesse initiale 2 (u₂) et son unité. Utilisez une valeur négative si le deuxième objet se déplace dans la direction opposée.
- Lisez les résultats : la Vitesse finale de l’objet 1 (v₁) et la Vitesse finale de l’objet 2 (v₂), toutes deux en m/s.
Toutes les valeurs saisies sont converties en interne en kilogrammes et en mètres par seconde. Vous pouvez donc mélanger les unités librement — par exemple, exprimer une masse en grammes et l’autre en kilogrammes — sans fausser les résultats.
Qu’est-ce qu’une collision élastique ?
Une collision est dite élastique lorsque la quantité de mouvement et l’énergie cinétique sont toutes deux conservées. Autrement dit, aucune énergie cinétique n’est dissipée sous forme de chaleur, de son, de déformation ou de vibration : l’énergie totale du mouvement avant le choc est égale à celle après le choc. Il s’agit d’une idéalisation : les collisions réelles entraînent toujours une certaine perte d’énergie, mais les objets durs et élastiques, comme les billes d’acier ou les boules de billard, se rapprochent beaucoup de ce cas idéal.
Le calculateur traite les collisions unidimensionnelles (1D) : les deux objets se déplacent sur une même ligne droite, dans la même direction ou l’un vers l’autre. Le mouvement étant limité à un seul axe, deux nombres suffisent à décrire le résultat : la vitesse finale de chaque objet. Un résultat négatif signifie simplement que l’objet se déplace dans le sens négatif après la collision.
Certains cas particuliers méritent d’être retenus. Si deux objets de même masse entrent en collision élastique, ils échangent simplement leurs vitesses. Si un objet en mouvement heurte un objet beaucoup plus lourd au repos, il rebondit presque à la même vitesse. S’il heurte un objet beaucoup plus léger au repos, il ralentit à peine, tandis que l’objet léger est propulsé à une vitesse pouvant atteindre le double de la vitesse incidente — exactement comme lorsqu’un club de golf frappe une balle.
Interpréter les résultats
Le signe de chaque vitesse finale indique le sens du mouvement. Dans l’exemple ci-dessus, les deux valeurs sont positives : les deux objets se déplacent donc dans le sens initial de l’objet 1. Si un résultat est négatif, l’objet rebondit et repart en sens inverse. Vous pouvez vérifier que la quantité de mouvement est conservée en contrôlant que \(m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2\) — un moyen rapide de confirmer que vous avez correctement saisi les données.
Hypothèses et limites
- Collision parfaitement élastique : aucune énergie n’est dissipée sous forme de chaleur, de son ou de déformation. Les collisions réelles ne sont, au mieux, qu’approximativement élastiques ; pour les problèmes où de l’énergie est perdue, il faut plutôt utiliser un coefficient de restitution.
- Une seule dimension : tous les mouvements suivent une même ligne droite. Les collisions bidimensionnelles, comme les chocs obliques entre boules de billard, nécessitent des composantes vectorielles et dépassent le cadre de cet outil.
- Aucune force extérieure : les frottements, la gravité le long de la trajectoire et les autres impulsions pendant la brève collision sont négligés — une bonne approximation, car les collisions ne durent que quelques millisecondes.
- Masses ponctuelles ou corps sans rotation : le mouvement de rotation est ignoré. Pour les systèmes en rotation, consultez le calculateur de moment cinétique.
- Convention de signe : les vitesses doivent être signées. Si les deux objets se dirigent l’un vers l’autre, l’une des vitesses initiales doit être saisie comme une valeur négative.
Conseils pratiques
Les problèmes de collision élastique sont courants dans les cours d’introduction à la mécanique : le pendule de Newton, les expériences sur rail à coussin d’air, les collisions entre molécules de gaz et la diffusion de particules reposent tous sur les mêmes équations. Lorsque vous résolvez un problème à la main, définissez toujours d’abord une convention de signe claire (généralement, droite = positif) et appliquez-la à toutes les vitesses. Après la collision, vous pouvez calculer la vitesse moyenne de chaque objet sur une distance connue, ou sa chute libre ultérieure s’il quitte une table ou un rail, à l’aide de nos autres calculateurs de physique, notamment le calculateur de mouvement d’un projectile.
Questions fréquentes
Existe-t-il une méthode plus rapide pour résoudre à la main les problèmes de collision élastique ?
Oui. Dans une collision élastique 1D, la vitesse relative des objets change simplement de signe : \( v_1 - v_2 = -(u_1 - u_2) \). Associez cette relation à la conservation de la quantité de mouvement, \( m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \), et vous obtenez deux équations linéaires, généralement plus rapides à résoudre que l’application directe des formules complètes. C’est aussi un excellent moyen de vérifier une réponse.
Comment savoir s’il faut utiliser une formule de collision élastique ou inélastique ?
Utilisez les formules de collision élastique uniquement lorsque l’énergie cinétique est conservée — une bonne approximation pour les corps durs et élastiques, comme les billes d’acier, les boules de billard ou les chariots sur rail à coussin d’air. Si les objets restent collés l’un à l’autre, se déforment visiblement, s’échauffent ou produisent du bruit, de l’énergie est perdue et il faut plutôt utiliser le coefficient de restitution. Les collisions parfaitement élastiques sont une idéalisation : aucune collision réelle ne conserve exactement l’énergie cinétique.
Puis-je saisir des vitesses en mph ou en ft/s, ou des masses en livres ?
Le calculateur accepte les vitesses en m/s et en km/h, ainsi que les masses en kg ou en g. Pour les autres unités, effectuez d’abord la conversion : divisez les mph par 2,237 pour obtenir des m/s, et les ft/s par 3,281. Attention aux livres : ils mesurent le poids, pas la masse. Si vos données sont en livres, vous devez utiliser le slug (1 slug \(\approx\) 14.59 kg) ou d’abord convertir les livres-force en une masse exprimée en kg.
Que se passe-t-il si les deux objets s’éloignent déjà l’un de l’autre ou ont la même vitesse ?
Si \( u_1 = u_2 \), les objets n’entrent jamais en collision : les formules donnent néanmoins les mêmes vitesses, donc rien ne change. Si l’objet situé derrière est plus lent que celui qui le précède, alors qu’ils se déplacent dans le même sens, il ne le rattrape jamais et aucune collision ne se produit. Dans ce cas, les « vitesses finales » fournies par les formules décrivent une interaction hypothétique, et non un événement réel.
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes dans le calcul des collisions élastiques ?
Les erreurs de signe sont les plus courantes : on oublie de saisir une vitesse négative lorsque les objets se rapprochent de face. Choisissez toujours d’abord un sens positif et appliquez cette convention à toutes les vitesses. Parmi les autres erreurs fréquentes figurent l’inversion de \( v_1 \) et \( v_2 \) dans les formules, le mélange d’unités de masse (une en g et l’autre en kg, sans conversion) et l’utilisation de valeurs de vitesse sans signe au lieu de vitesses signées.
Comment vérifier mes résultats ?
Vérifiez trois points : la quantité de mouvement totale avant et après la collision doit être la même, \( m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \) ; l’énergie cinétique totale doit également être égale, \( \tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2 \) ; et la vitesse relative doit changer de signe, \( v_1 - v_2 = -(u_1 - u_2) \). Si ces trois conditions sont vérifiées, vos calculs sont presque certainement corrects.
Ce calculateur peut-il modéliser une balle qui rebondit contre un mur ?
Oui, comme cas limite. Un mur fixe se comporte comme un deuxième objet de masse infinie. Si \( m_2 \) devient très grand avec \( u_2 = 0 \), les formules montrent que la balle rebondit avec \( v_1 \approx -u_1 \) — à la même vitesse, mais en sens inverse. Pour un mur de masse finie, saisissez simplement sa masse réelle ; le mur acquerra lui aussi une très faible vitesse de recul \( v_2 \).