Calculateur de grandissement
Entrez les hauteurs de l'objet et de l'image, ou leurs distances par rapport à une lentille ou à un miroir, pour obtenir le grandissement linéaire, la taille de l'image, et savoir si l'image est droite ou renversée.
Calculez le grandissement d'une lentille ou d'un miroir
Formule du grandissement
Où :
- \(m\) — grandissement linéaire (transversal), un nombre sans dimension
- \(h'\) — hauteur de l'image ; une valeur négative signifie que l'image est renversée
- \(h\) — hauteur de l'objet (toujours positive pour un objet réel)
- \(v\) — distance de l'image à la lentille ou au miroir ; positive pour une image réelle, négative pour une image virtuelle
- \(u\) — distance de l'objet à la lentille ou au miroir ; positive pour un objet réel
La formule traduit le fait que les triangles semblables formés par l'objet, l'image et les rayons passant par le centre optique (ou par le sommet du miroir) rendent le rapport des hauteurs égal au rapport des distances. Le signe moins dans \(m = -v/u\) découle de la convention « le réel est positif » et rend automatiquement le grandissement négatif pour une image réelle renversée.
Grandissement – Exemple de calcul
Exemple : un objet de 5 cm de hauteur est placé devant une lentille convergente et forme une image renversée de 10 cm de haut (saisie avec une hauteur d'image négative, car elle est à l'envers).
\[ m = \frac{h'}{h} = \frac{-10 \text{ cm}}{5 \text{ cm}} = -2 \]
Résultat : \(m = -2\). L'image est renversée, deux fois plus haute que l'objet (200 % de sa taille), soit 10 cm de haut. Comme le grandissement est négatif et qu'il s'agit d'une seule lentille mince, l'image est également réelle.
Vérification avec les distances : le même montage donne une distance objet de 20 cm et une distance image de 40 cm (image réelle, donc \(v > 0\)) :
\[ m = -\frac{v}{u} = -\frac{40 \text{ cm}}{20 \text{ cm}} = -2 \]
Résultat : les deux méthodes concordent : \(m = -2\), hauteur de l'image \(h' = m \cdot h = -2 \times 5\text{ cm} = -10\text{ cm}\).
Comment utiliser le calculateur de grandissement
- Ouvrez le menu déroulant Mode de calcul et choisissez Hauteur de l'objet et de l'image ou Distance de l'objet et de l'image, selon la paire de valeurs que vous connaissez.
- En mode hauteur, saisissez la Hauteur de l'objet (h) et la Hauteur de l'image (h′) avec leurs unités. Tapez la hauteur de l'image sous forme d'un nombre négatif si l'image est renversée.
- En mode distance, saisissez la Distance de l'objet (u) et la Distance de l'image (v). Gardez \(v\) positif pour une image réelle et négatif pour une image virtuelle. Vous pouvez aussi renseigner la hauteur de l'objet pour que le calculateur indique également la taille de l'image.
- Lisez les Résultats du grandissement : le grandissement signé \(m\), sa valeur absolue \(|m|\), la taille de l'image en pourcentage de l'objet, et — lorsqu'une hauteur d'objet est fournie — la hauteur de l'image dans plusieurs unités.
Qu'est-ce que le grandissement ?
Le grandissement indique à quel point une image est plus grande ou plus petite que l'objet qui l'a produite, et dans quelle orientation elle apparaît. Le grandissement linéaire (transversal) \(m\) est un rapport de hauteurs, il n'a donc pas d'unité : \(m = 3\) signifie que l'image est trois fois plus haute que l'objet, et \(m = 0,5\) qu'elle est deux fois plus petite.
Le signe porte l'orientation. Un \(m\) négatif signifie que l'image est renversée (à l'envers) ; un \(m\) positif signifie qu'elle est droite. Pour une seule lentille mince ou un seul miroir, ce signe indique aussi la nature de l'image : une image renversée est réelle — elle peut être projetée sur un écran — tandis qu'une image droite est virtuelle et ne peut être vue qu'en regardant à travers la lentille ou dans le miroir.
Les deux formes équivalentes de la formule viennent de la géométrie. Les rayons tracés depuis le sommet de l'objet et passant par le centre optique de la lentille (ou se réfléchissant sur un miroir) créent deux triangles semblables, de sorte que le rapport des hauteurs égale le rapport des distances : \(h'/h = -v/u\). Le signe moins existe parce qu'une image réelle, située du côté opposé d'une lentille (ou devant un miroir), est renversée par rapport à l'objet.
En pratique, le grandissement intervient partout où l'optique apparaît : choisir l'objectif d'un microscope ou d'un télescope, concevoir un projecteur, dimensionner une loupe, ou vérifier l'image formée par l'objectif d'un appareil photo. Combiné à la distance de l'image, il permet aussi de prédire la taille de l'image sur un capteur ou un écran à partir de la seule taille de l'objet.
Interpréter le résultat
| Grandissement | Taille de l'image | Orientation | Nature (une seule lentille/miroir) |
|---|---|---|---|
| \(|m| < 1\) | Réduite (plus petite que l'objet) | Dépend du signe | — |
| \(|m| = 1\) | Même taille que l'objet | Dépend du signe | — |
| \(|m| > 1\) | Agrandie (plus grande que l'objet) | Dépend du signe | — |
| \(m < 0\) | — | Renversée | Réelle |
| \(m > 0\) | — | Droite | Virtuelle |
Hypothèses, limites et conseils
- Les formules s'appliquent à une seule lentille mince ou à un miroir sphérique dans l'approximation paraxiale (petits angles). Les lentilles épaisses, les systèmes composés et les rayons très inclinés introduisent des aberrations dont le simple rapport ne peut pas rendre compte.
- Ce calculateur utilise la convention « le réel est positif » : les objets et les images réels reçoivent des distances positives. Certains manuels utilisent la convention cartésienne, où la formule s'écrit \(m = v/u\) au lieu de \(m = -v/u\) — vérifiez la convention de votre cours avant de comparer les résultats.
- En mode hauteur, la nature réelle ou virtuelle de l'image ne peut pas être déterminée à partir des seules hauteurs ; le calculateur énonce la règle habituelle (renversée → réelle, droite → virtuelle pour un seul élément), mais les systèmes à plusieurs lentilles peuvent la contourner.
- Le grandissement linéaire calculé ici est différent du grandissement angulaire indiqué pour les microscopes et les télescopes, qui compare des angles de visée plutôt que des hauteurs.
- Gardez des unités cohérentes : le calculateur convertit chaque entrée depuis l'unité choisie, de sorte que les unités mélangées (par exemple objet en cm, image en pouces) sont correctement traitées.
Pour d'autres outils de physique, essayez notre solveur d'équations cinématiques ou le calculateur de conservation de l'énergie.
Questions fréquentes
Comment calculer le grandissement à la main, sans calculateur ?
Divisez la hauteur de l'image par la hauteur de l'objet : \(m = h'/h\). Par exemple, une image de 2 cm d'un objet de 4 cm donne \(m = 0,5\) — l'image est deux fois plus petite que l'objet. Si vous ne connaissez que les distances, utilisez \(m = -v/u\) (convention « le réel est positif »). Conservez le signe de la hauteur de l'image : saisissez-la en négatif lorsque l'image est à l'envers, sinon vous perdrez l'information d'orientation.
Que signifie un grandissement négatif ?
Un grandissement négatif signifie que l'image est renversée (à l'envers) par rapport à l'objet. La valeur absolue donne toujours le rapport des tailles : \(m = -2\) signifie que l'image est deux fois plus haute et inversée. Pour une seule lentille mince ou un miroir sphérique, un \(m\) négatif indique aussi une image réelle qui peut être projetée sur un écran. Un \(m\) positif signifie une image droite, qui est virtuelle pour un seul élément.
Le grandissement a-t-il des unités ? Puis-je mélanger cm et pouces ?
Non — le grandissement est un rapport de deux longueurs, il est donc sans dimension ; \(m = 3\) signifie simplement trois fois plus grand. En revanche, lorsqu'on calcule une hauteur d'image avec \(h' = m \cdot h\), les unités du résultat sont celles de la hauteur de l'objet. Ce calculateur convertit chaque entrée (mm, cm, m, in, ft) en interne, vous pouvez donc saisir l'objet en pouces et l'image en centimètres sans convertir à la main.
Pourquoi la formule de mon manuel n'a-t-elle pas de signe moins ?
Il existe deux conventions de signe courantes. La convention « le réel est positif » utilisée ici donne \(m = -v/u\). La convention cartésienne, répandue dans de nombreux manuels de physique, mesure les distances depuis la lentille avec des signes basés sur la direction et écrit directement \(m = v/u\). Les deux donnent la même réponse physique lorsqu'elles sont appliquées de manière cohérente. Avant de comparer des résultats, vérifiez la convention utilisée par votre cours — un écart de signe est la source de confusion la plus fréquente.
Quelle est la différence entre grandissement linéaire et angulaire ?
Le grandissement linéaire (transversal) compare des hauteurs réelles, \(m = h'/h\), et s'applique aux images d'objets étendus sur des écrans ou des capteurs. Le grandissement angulaire compare l'angle sous lequel l'objet est vu à l'œil nu et à travers l'instrument — c'est ce que signifie le « 10× » sur des jumelles ou un oculaire de microscope. Les deux nombres sont différents : ne comparez donc pas la valeur angulaire d'un télescope avec un \(m\) linéaire issu de ce calculateur.
Que se passe-t-il si le grandissement vaut 1 ou 0 ?
\(m = 1\) signifie que l'image a exactement la même taille que l'objet ; pour un seul élément, cela se produit quand l'objet est placé à deux fois la distance focale. \(m = -1\) donne une image de même taille mais renversée, utilisée dans certains montages optiques. Un grandissement proche de zéro signifie que l'image est minuscule — comme lorsque l'objet est très éloigné — et \(m = 0\) exactement correspond à un objet à l'infini, imagé comme un point dans le plan focal.
Puis-je utiliser ce calculateur pour deux lentilles ou un système composé ?
Seulement avec précaution. La formule \(m = -v/u\) est établie pour une seule lentille mince ou un seul miroir sphérique. Pour plusieurs éléments, calculez chaque étape séparément : l'image de la première lentille devient l'objet de la deuxième, et le grandissement total est le produit \(m_{total} = m_1 \cdot m_2 \cdot ...\). Notez aussi que dans les systèmes composés, une image renversée n'est pas nécessairement réelle, de sorte que les règles de signe simples d'un seul élément ne s'appliquent plus.