Calculateur de pendule simple
Calculez la période d'un pendule simple à partir de sa longueur et de la gravité, ou trouvez la longueur nécessaire pour une période donnée. Entrez la valeur connue et obtenez la période, la fréquence et le nombre d'oscillations par minute.
Trouver la période d'un pendule à partir de sa longueur
Formule du pendule simple
Où :
- \(T\) — période d'une oscillation complète (s)
- \(L\) — longueur du pendule, du point d'attache au centre de la masselotte (m)
- \(g\) — accélération de la pesanteur (m/s², 9,81 sur Terre)
- \(f\) — fréquence en hertz (Hz), le nombre d'oscillations par seconde
La première formule donne la période à partir de la longueur ; la seconde est la même équation réarrangée pour trouver la longueur nécessaire à une période souhaitée. Remarquez que la masse de la masselotte n'apparaît pas du tout — elle n'a aucun effet sur la période d'un pendule idéal.
Pendule simple – Exemple de calcul
Exemple : un pendule doté d'un fil de 1 m oscille sur Terre, où \(g = 9.81\ \text{m/s}^2\). Quelle est sa période ?
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9.81}} = 2\pi \times 0.3193 \approx 2.006\ \text{s} \]
Résultat : le pendule effectue un aller-retour complet toutes les 2,006 s, ce qui correspond à une fréquence de \(f = 1/T \approx 0.4985\ \text{Hz}\), soit environ 29,9 oscillations par minute.
Dans l'autre sens : pour construire un pendule de période exactement égale à 2 s sur Terre, il faudrait une longueur de \(L = 9.81\,(2/2\pi)^2 \approx 0.994\ \text{m}\).
Comment utiliser le calculateur
- Dans le menu déroulant Calculer à partir de, choisissez Longueur du pendule (L) si vous connaissez la longueur et cherchez la période, ou Période d'oscillation (T) si vous voulez trouver la longueur nécessaire pour une période cible.
- Entrez la valeur connue : soit la Longueur du pendule (L) avec son unité (m, cm, pi ou po), soit la Période d'oscillation (T) en secondes. Le calculateur n'affiche automatiquement que le champ pertinent.
- Entrez éventuellement la Masse de la masselotte (m) en kg, g ou lb. La masse ne modifie pas la période ; elle est simplement rappelée dans les résultats pour que vous ayez une fiche complète de votre pendule.
- Vérifiez la Gravité (g). La valeur par défaut de 9,81 m/s² est la valeur standard sur Terre ; entrez 1,62 pour la Lune ou 3,72 pour Mars pour voir comment le même pendule se comporte ailleurs. Vous pouvez aussi changer l'unité en ft/s².
- Lisez les résultats : la période en secondes, la fréquence en Hz, la pulsation \(\omega\), le nombre d'oscillations par minute et la longueur convertie en m, cm, pi et po.
Qu'est-ce qu'un pendule simple ?
Un pendule simple est un système idéalisé : une masse ponctuelle (la masselotte) suspendue à un fil de masse nulle et inextensible, attaché à un point d'attache fixe. Lorsqu'on écarte la masselotte puis qu'on la lâche, elle oscille de part et d'autre sous l'effet de la gravité. Chaque cycle complet — d'un côté, retour au milieu, de l'autre côté, puis retour au point de départ — constitue une oscillation, dont la durée est la période \(T\).
L'essentiel de la formule du pendule tient à ce qu'elle ne contient pas. Il n'y a ni terme de masse, ni terme d'amplitude. Une masselotte de 10 g et une de 10 kg au bout d'un fil de 1 m oscillent avec exactement la même période, et un petit angle et un angle un peu plus grand (mais toujours petit) prennent le même temps. C'est pourquoi le pendule est devenu pendant des siècles le cœur des horloges mécaniques : son tic-tac reste remarquablement régulier à mesure que le ressort se détend et que l'amplitude diminue progressivement.
La période croît comme la racine carrée de la longueur : quadrupler la longueur double seulement la période. Elle diminue aussi quand la gravité augmente — le même pendule de 1 m qui met environ 2 s sur Terre n'atteindrait une période de 4,94 s que sous une gravité bien plus faible : sur la Lune, sa période s'étire à environ 4,93 s car \(g\) y vaut seulement 1,62 m/s². Si vous voulez explorer le côté énergétique du mouvement — comment l'énergie potentielle au sommet de l'oscillation se convertit en énergie cinétique au point bas — essayez les calculateurs Conservation de l'énergie et Énergie cinétique.
Hypothèses et limites
- Petites amplitudes uniquement. La formule suppose que l'angle d'oscillation reste inférieur à environ 15° par rapport à la verticale. À 15°, la vraie période est déjà environ 0,5 % plus longue que ne le prédit la formule ; à 60°, l'erreur dépasse 18 %. En règle générale, gardez des amplitudes faibles pour une précision de type horloge.
- Fil et point d'attache idéaux. Le fil est considéré comme sans masse et parfaitement souple, et le point d'attache comme sans frottement. En réalité, un fil lourd, une tige rigide ou le frottement au point d'attache décalent légèrement la période.
- Pas de résistance de l'air ni d'amortissement. Les pendules réels perdent un peu d'énergie à chaque oscillation, ce qui réduit surtout l'amplitude au fil du temps ; la période change très peu au début.
- Masselotte ponctuelle. \(L\) se mesure jusqu'au centre de masse de la masselotte, pas jusqu'à son bord supérieur ou inférieur.
- Gravité uniforme. \(g\) est considérée comme constante sur toute la plage de mouvement du pendule. Sur Terre, \(g\) varie légèrement avec la latitude et l'altitude (d'environ 9,78 à 9,83 m/s²), ce qui modifie la période d'un long pendule de façon mesurable.
Périodes typiques d'un pendule sur Terre (g = 9,81 m/s²)
| Longueur L | Période T | Oscillations par minute |
|---|---|---|
| 0,25 m | 1,00 s | 59,7 |
| 0,5 m | 1,42 s | 42,3 |
| 1 m | 2,01 s | 29,9 |
| 1,5 m | 2,46 s | 24,4 |
| 2 m | 2,84 s | 21,2 |
| 4 m | 4,01 s | 14,9 |
Conseils pratiques
Pour concevoir une horloge à pendule dont chaque demi-oscillation dure exactement 1 s (le classique « pendule à secondes »), visez une période complète de 2 s, ce qui exige une longueur d'environ 0,994 m sur Terre. Comme la période varie comme \(\sqrt{L}\), de fins réglages de la longueur donnent un contrôle encore plus fin du rythme : raccourcir le fil de 1 % ne réduit la période que de 0,5 %.
Le pendule est aussi un outil classique pour mesurer la gravité locale. Chronométrez 20 oscillations complètes ou plus, divisez pour obtenir \(T\), mesurez \(L\) avec soin jusqu'au centre de la masselotte, puis réarrangez la formule en \(g = 4\pi^2 L / T^2\). Chronométrer de nombreuses oscillations plutôt qu'une seule répartit votre erreur de temps de réaction sur l'ensemble de la série et rend le résultat bien plus précis. Pour d'autres problèmes de mécanique, consultez les calculateurs Machine d'Atwood et Tension dans les cordes.
Questions fréquentes
Comment calculer la période d'un pendule à la main ?
Divisez la longueur en mètres par 9,81, prenez la racine carrée, puis multipliez par \( 2\pi \) (environ 6,283). Pour un pendule de 2 m : \( 2/9.81 \approx 0.204 \), \( \sqrt{0.204} \approx 0.452 \), et \( 6.283 \times 0.452 \approx 2.84 \) s. Si votre longueur est en centimètres ou en pieds, convertissez-la d'abord en mètres : 1 pi = 0,3048 m, 1 po = 0,0254 m, 1 cm = 0,01 m.
Faut-il chronométrer un aller-retour complet ou un seul trajet pour la période ?
La période \( T \) est la durée d'une oscillation complète : d'une extrémité, en passant par le milieu, jusqu'à l'autre extrémité, puis le retour complet. Si vous chronométrez uniquement le trajet d'un côté jusqu'au retour au même côté, c'est la période complète ; le trajet jusqu'au côté opposé en est la moitié. Une erreur fréquente consiste à chronométrer des demi-oscillations et à les comparer à la formule, ce qui fait paraître le pendule deux fois plus rapide qu'il ne l'est.
Pourquoi ma période mesurée diffère-t-elle légèrement du résultat du calculateur ?
Les pendules réels s'écartent de la formule idéale pour plusieurs raisons : l'angle d'oscillation peut dépasser 15°, le fil possède une certaine masse et raideur, le point d'attache crée du frottement et la résistance de l'air ralentit la masselotte. Vérifiez aussi votre mesure de la longueur — elle doit aller du point d'attache jusqu'au centre de la masselotte, pas jusqu'à son sommet ou sa base. Les petites erreurs de chronométrage s'additionnent aussi : chronométrez 20 oscillations ou plus et divisez.
La formule reste-t-elle exacte pour de grands angles d'oscillation ?
Non — la formule de base suppose de petites amplitudes. Une meilleure approximation ajoute un terme correctif : \( T \approx T_0 \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right) \), où \( \theta_0 \) est l'angle de lâcher en radians. À 10°, la correction est inférieure à 0,2 % ; à 30°, elle est d'environ 1,7 % ; et à 60°, la vraie période est à peu près 18 % plus longue que ne le prédit la formule simple. Gardez des oscillations inférieures à environ 15° pour une précision de niveau horloger.
Quelle est la différence entre un pendule simple et un pendule réel monté sur tige ?
Le pendule simple est une idéalisation : une masse ponctuelle au bout d'un fil sans masse. Un pendule réel oscillant sur une tige rigide avec une masse répartie est un pendule physique, dont la période est \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \), où \( I \) est le moment d'inertie et \( d \) la distance du point d'attache au centre de masse. Les horloges à pendule utilisent des pendules physiques, c'est pourquoi leur longueur effective diffère de la prédiction de la formule simple.
Pourquoi une masselotte plus lourde n'oscille-t-elle pas plus lentement ?
La gravité tire plus fort sur une masselotte plus lourde, mais une masselotte plus lourde est aussi plus difficile à accélérer — les deux effets s'annulent exactement. Doubler la masse double à la fois la force gravitationnelle et l'inertie, donc leur rapport, et par conséquent la période, reste le même. Ce n'est vrai qu'en l'absence de résistance de l'air : avec des masselottes très légères comme en mousse ou en papier, la traînée devient perceptible et le mouvement ralentit et s'éteint plus vite.
Comment utiliser ce pendule pour mesurer moi-même la gravité ?
Réarrangez la formule en \( g = 4\pi^2 L / T^2 \). Suspendez une masselotte dense et compacte à un fin fil d'au moins 1 m, mesurez \( L \) du point d'attache au centre de la masselotte avec un mètre ruban, puis chronométrez 30 à 50 oscillations complètes et divisez pour trouver \( T \). Chronométrer de nombreuses oscillations répartit votre erreur de temps de réaction, et vous devriez obtenir \( g \) à 1–2 % près de 9,81 m/s². Gardez un angle de lâcher inférieur à 10°.