Kalkulator prawa Malusa
Oblicz, ile światła spolaryzowanego liniowo przejdzie przez polaryzator, korzystając z prawa Malusa. Podaj natężenie padające i kąt między kierunkiem polaryzacji a osią analizatora.
Oblicz, ile światła spolaryzowanego przechodzi przez analizator
Wzór na prawo Malusa
gdzie:
- \(I_0\) — natężenie światła spolaryzowanego liniowo padającego na analizator (W/m²)
- \(I\) — natężenie światła przechodzącego przez analizator (W/m²)
- \(\theta\) — kąt między kierunkiem polaryzacji światła a osią transmisji analizatora
Prawo to mówi, że polaryzator przepuszcza tylko składową pola elektrycznego równoległą do swojej osi transmisji, dlatego natężenie światła wychodzącego zależy od kwadratu cosinusa kąta między tymi dwoma kierunkami.
Prawo Malusa – przykład obliczenia
Przykład: światło spolaryzowane liniowo o natężeniu 100 W/m² przechodzi przez analizator, którego oś transmisji jest obrócona o 30° względem kierunku polaryzacji światła.
\[ I = I_0 \cos^2\theta = 100 \times \cos^2(30^\circ) \]
\[ \cos(30^\circ) \approx 0{,}8660, \quad \cos^2(30^\circ) = 0{,}75 \]
\[ I = 100 \times 0{,}75 = 75 \; \text{W/m}^2 \]
Wynik: analizator przepuszcza 75 W/m², czyli 75 % światła padającego; pozostałe 25 W/m² zostaje pochłonięte lub zablokowane.
Jak korzystać z kalkulatora
- Wpisz Natężenie padające (I₀) — natężenie światła spolaryzowanego liniowo przed analizatorem — i wybierz jednostkę: W/m², mW/cm² lub W/cm².
- Wpisz Kąt między osiami (θ) — kąt między kierunkiem polaryzacji światła a osią transmisji analizatora — w stopniach lub radianach. Możesz podać wartości ujemne lub większe niż 360°; liczy się wyłącznie wartość cosinusa.
- Odczytaj Natężenie światła przechodzącego, podane we wszystkich trzech jednostkach, oraz Współczynnik transmisji i szczegóły, w tym cos θ, cos²θ i natężenie zablokowane.
Czym jest prawo Malusa?
Prawo Malusa, opublikowane przez Étienne'a-Louisa Malusa w 1809 roku, opisuje, jaka część światła spolaryzowanego liniowo przechodzi przez filtr polaryzacyjny (nazywany często analizatorem, gdy służy do badania światła spolaryzowanego). Światło jest falą elektromagnetyczną, a jego pole elektryczne drga w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. W świetle spolaryzowanym liniowo drgania te odbywają się w jednej ustalonej płaszczyźnie.
Polaryzator przepuszcza wyłącznie składową pola elektrycznego leżącą wzdłuż jego osi transmisji. Jeśli kierunek polaryzacji światła tworzy z tą osią kąt θ, przetrwa składowa pola o wartości \(E_0 \cos\theta\). Ponieważ natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy pola, natężenie przechodzące wynosi \(I_0 \cos^2\theta\) — i tym właśnie jest prawo Malusa.
Zależność od kąta ma kilka ważnych przypadków szczególnych. Przy θ = 0° osie są równoległe i światło przechodzi w całości. Przy θ = 90° polaryzatory są skrzyżowane i — w idealnym przypadku — nie przechodzi żadne światło; na tej zasadzie działają przyciemniane okulary z regulacją i ciekłokrystaliczne zasłony (LCD). Przy θ = 45° przechodzi dokładnie połowa natężenia. Dzięki kwadratowi cosinusa transmisja jest też okresowa z okresem 180°, więc kąty 30° i 150° dają ten sam wynik.
Prawo Malusa to fundament optyki polaryzacyjnej i pojawia się na zajęciach z fizyki obok innych zjawisk falowych, takich jak interferencja na dwóch szczelinach czy siatka dyfrakcyjna. Jeśli pracujesz z natężeniem w skali logarytmicznej, pokrewny kalkulator poziomu natężenia dźwięku przelicza stosunki natężeń na decybele i odwrotnie.
Założenia, ograniczenia i praktyczne wskazówki
- Polaryzator idealny: prawo zakłada idealny analizator, który przepuszcza 100 % światła spolaryzowanego wzdłuż jego osi i blokuje 100 % światła spolaryzowanego prostopadle. Rzeczywiste polaryzatory pochłaniają 10–20 % składowej równoległej, więc wartości zmierzone są nieco niższe od wyniku idealnego.
- Światło w pełni spolaryzowane: światło padające musi być spolaryzowane liniowo. Jeśli na polaryzator pada światło niespolaryzowane o natężeniu \(I_0\), średnio przechodzi dokładnie połowa (\(I = I_0/2\)), niezależnie od kąta — do światła wychodzącego z pierwszego polaryzatora można wtedy zastosować prawo Malusa.
- Zasada zachowania energii: zablokowana składowa nie znika — zamienia się w ciepło (jak w folii Polaroid) albo zostaje odbita w inną stronę (jak w polaryzacyjnych rozdzielaczach wiązki). Kalkulator podaje to zablokowane natężenie jako \(I_0 - I\).
- Okresowość kąta: ponieważ \(\cos^2\theta\) ma okres 180°, każdy kąt można zredukować modulo 180° bez zmiany wyniku. Kąty powyżej 90° dają tę samą transmisję co ich kąt przyległy (np. 120° zachowuje się jak 60°).
- Polaryzacja częściowa: światło częściowo spolaryzowane traktuj jako sumę części spolaryzowanej (która podlega prawu Malusa) i części niespolaryzowanej (która zawsze wnosi połowę swojego natężenia).
Tabela: transmisja w zależności od kąta
| Kąt θ (stopnie) | cos²θ | Ułamek przechodzący |
|---|---|---|
| 0° | 1,000 | 100 % |
| 15° | 0,933 | 93,3 % |
| 30° | 0,750 | 75 % |
| 45° | 0,500 | 50 % |
| 60° | 0,250 | 25 % |
| 75° | 0,067 | 6,7 % |
| 90° | 0,000 | 0 % |
Skorzystaj z tej tabeli, aby sprawdzić, czy dane wpisane do kalkulatora mają sens: ułamek przechodzący powinien płynnie maleć od 100 % do 0 %, gdy θ rośnie od 0° do 90°.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć prawo Malusa ręcznie, bez kalkulatora?
Najpierw, jeśli trzeba, zamień kąt na stopnie, potem oblicz cosinus, podnieś go do kwadratu i pomnóż przez natężenie padające: \(I = I_0 \cos^2\theta\). Dla typowych kątów trygonometria w ogóle nie jest potrzebna: \(\cos^2(0°)=1\), \(\cos^2(30°)=3/4\), \(\cos^2(45°)=1/2\), \(\cos^2(60°)=1/4\), \(\cos^2(90°)=0\). Zatem 100 W/m² przy kącie 60° daje \(100 \times 0{,}25 = 25\) W/m².
Dlaczego wynik jest błędny, gdy podam kąt w radianach?
Najczęstszy błąd to pomylenie jednostek kąta. Jeśli kalkulator lub program działa w trybie radianów, a wpiszesz 30 (mając na myśli stopnie), obliczysz \(\cos^2(30 \text{ rad})\) zamiast \(\cos^2(30°)\), co daje około 0,75 % zamiast 75 %. Zawsze sprawdź, którą jednostkę wybrałeś: \(30° = \pi/6 \approx 0{,}5236\) radianów, a \(90° = \pi/2 \approx 1{,}5708\) radianów.
Co się dzieje, gdy światło niespolaryzowane przechodzi przez dwa polaryzatory?
Światło niespolaryzowane o natężeniu \(I_0\) przez pierwszy polaryzator zawsze przechodzi dokładnie połowa: \(I_1 = I_0/2\), niezależnie od jego orientacji. Następnie do światła już spolaryzowanego stosujesz prawo Malusa z drugim polaryzatorem: \(I_2 = (I_0/2)\cos^2\theta\). Na przykład niespolaryzowane 100 W/m² przez dwa polaryzatory ustawione pod kątem 45° daje \(50 \times 0{,}5 = 25\) W/m².
Czy światło może przejść przez trzy polaryzatory, jeśli pierwszy i ostatni są skrzyżowane?
Tak — to klasyczna zagadka fizyczna. Przy pierwszym i trzecim polaryzatorze ustawionych pod kątem 90° wstawienie środkowego polaryzatora pod kątem 45° do pierwszego przepuszcza \(I = I_0 \cos^2(45°)\cos^2(45°) = I_0/4\), mimo że dwa same skrzyżowane polaryzatory blokują wszystko. Dzieje się tak, ponieważ każdy polaryzator rzutuje pole na własną oś, zmieniając kierunek polaryzacji. Pokazuje to, że polaryzacja to nie zwykły filtr wycinający promienie.
Dlaczego prawo Malusa nie dotyczy światła spolaryzowanego kołowo lub eliptycznie?
Prawo Malusa zakłada, że światło padające jest spolaryzowane liniowo, czyli że pole elektryczne drga w jednym ustalonym kierunku. Przy polaryzacji kołowej lub eliptycznej pole się obraca, więc natężenie przechodzące przez liniowy analizator pozostaje stałe (lub prawie stałe) podczas jego obrotu. Światło spolaryzowane kołowo o natężeniu \(I_0\) zawsze przechodzi przez liniowy polaryzator w ilości \(I_0/2\), dokładnie tak samo jak światło niespolaryzowane.
Jak przeliczać między W/m², mW/cm² i W/cm²?
Ponieważ 1 m² = 10 000 cm², z mW/cm² na W/m² mnożysz przez 10: 1 mW/cm² = 10 W/m². Analogicznie 1 W/cm² = 10 000 W/m² (1 × 10⁴). W drugą stronę dzielisz przez te same liczby: 1 W/m² = 0,1 mW/cm² = 0,0001 W/cm². Ten kalkulator przelicza automatycznie i pokazuje wynik we wszystkich trzech jednostkach, więc możesz go sprawdzić na kilka sposobów.
Czy prawo Malusa obowiązuje dla rzeczywistych polaryzatorów, np. filtrów Polaroid?
Tylko w przybliżeniu. Rzeczywiste polaryzatory mają wady: pochłaniają 10–20 % składowej równoległej (więc nawet przy θ = 0° przechodzi mniej niż 100 %) i przepuszczają niewielką część światła przy θ = 90°, zamiast nie przepuszczać niczego. Lepiej wypadają polaryzacyjne rozdzielacze wiązki, bo zablokowaną składową kierują w inną stronę zamiast ją pochłaniać. W pracy precyzyjnej pomnóż idealny wynik przez zmierzone współczynniki transmisji danego polaryzatora dla składowej równoległej i prostopadłej.