Kalkulator rzędnej punktu krzywej pionowej
Oblicz rzędną w dowolnym punkcie parabolicznej krzywej pionowej. Podaj odległość od punktu PVC, pochylenie początkowe i końcowe, długość krzywej oraz rzędną punktu PVC, aby otrzymać dokładną rzędną y w stopach.
Oblicz rzędną na pionowej krzywej parabolicznej
Wzór na rzędną krzywej pionowej
Gdzie:
- \(y\) — rzędna krzywej w odległości \(x\) od punktu PVC (ft)
- \(EPVC\) — rzędna w punkcie rozpoczęcia krzywej pionowej (PVC), czyli na początku krzywej (ft)
- \(g_1\) — pochylenie początkowe w postaci dziesiętnej (np. 0,03 dla +3%)
- \(g_2\) — pochylenie końcowe w postaci dziesiętnej (np. -0,01 dla -1%)
- \(x\) — odległość pozioma od punktu PVC do badanego punktu (ft)
- \(L\) — całkowita długość krzywej pionowej, mierzona poziomo (ft)
Jest to standardowe równanie paraboli stosowane w projektowaniu tras drogowych i kolejowych. Dwa pierwsze wyrazy dają rzędną linii stycznej przedłużonej od punktu PVC; wyraz kwadratowy wprowadza krzywiznę, która stopniowo obraca pochylenie od \(g_1\) do \(g_2\) na całej długości krzywej.
Rzędna punktu krzywej pionowej — przykład obliczenia
Przykład: wypukła (grzbietowa) krzywa pionowa rozpoczyna się na rzędnej 100 ft przy pochyleniu początkowym +3% i pochyleniu końcowym -1%. Krzywa ma długość 200 ft. Oblicz rzędną w odległości 50 ft od punktu PVC.
\[ y = 100 + (0.03)(50) + \frac{(-0.01 - 0.03)(50)^2}{2(200)} \]
\[ y = 100 + 1.5 + \frac{(-0.04)(2500)}{400} = 100 + 1.5 - 0.25 \]
Wynik: \(y = 101.25\) ft. Punkt leży 0,25 ft poniżej przedłużonej stycznej o pochyleniu +3%, co jest oczekiwane na krzywej wypukłej.
Jak korzystać z kalkulatora
- Wprowadź odległość \(x\) od punktu rozpoczęcia krzywej pionowej (PVC) do punktu, w którym potrzebujesz rzędnej, w stopach. Musi mieścić się w przedziale od 0 do długości krzywej.
- Wprowadź pochylenie początkowe \(g_1\) w postaci dziesiętnej: 3% to 0,03, a pochylenie w dół jest ujemne.
- Wprowadź pochylenie końcowe \(g_2\) analogicznie, jako ujemne dla pochylenia w dół.
- Wprowadź długość krzywej pionowej \(L\) w stopach. Jest to długość pozioma od punktu PVC do punktu PVT, a nie długość łuku.
- Wprowadź rzędną początkową EPVC — rzędną drogi w punkcie PVC, w stopach.
- Odczytaj wynik: rzędna y to rzędna krzywej w wybranej odległości, w stopach.
Czym jest rzędna punktu krzywej pionowej?
Gdy droga lub linia kolejowa przechodzi z jednego pochylenia w inne, obie styczne są łączone krzywą pionową — we współczesnym projektowaniu niemal zawsze parabolą. Krzywa rozpoczyna się w punkcie rozpoczęcia krzywej pionowej (PVC) i kończy w punkcie zakończenia krzywej pionowej (PVT), a punkt przecięcia pochyleń (PVI) to miejsce, w którym obie linie pochylenia by się spotkały. Kształt paraboliczny daje stałą szybkość zmiany pochylenia, co zapewnia płynną i komfortową jazdę, niemożliwą przy prostym załamaniu trasy.
<Ponieważ krzywa odchyla się od prostych linii pochylenia, rzędna w dowolnym punkcie krzywej nie jest taka sama jak rzędna którejkolwiek ze stycznych. Równanie stosowane w tym kalkulatorze dodaje paraboliczny wyraz korekcyjny \(\frac{(g_2 - g_1)x^2}{2L}\) do rzędnej stycznej \(EPVC + g_1 x\). Przy \(x = 0\) poprawka wynosi zero (krzywa pokrywa się z pochyleniem wlotowym), a przy \(x = L\) krzywa wychodzi na pochylenie wylotowe \(g_2\), dzięki czemu geometria domyka się idealnie na obu końcach.
Wynik mówi projektantowi lub wykonawcy dokładnie, na jakiej wysokości powinna znajdować się ukończona nawierzchnia, szyna lub kanał drenażowy w danym punkcie. Jest to niezbędne do wytyczania punktów budowlanych, sprawdzania objętości robót ziemnych, weryfikacji prześwitów nad uzbrojeniem terenu i odwodnieniem oraz potwierdzania spełnienia kryteriów widoczności w światłach reflektorów i widoczności do zatrzymania na krzywych wypukłych i wklęsłych.
Znak wyrazu korekcyjnego jest zgodny ze znakiem \(g_2 - g_1\). Na krzywej wypukłej (pochylenie przechodzące z dodatniego na ujemne, czyli malejące) korekta jest ujemna i krzywa leży poniżej stycznych. Na krzywej wklęsłej (pochylenie rosnące) korekta jest dodatnia i krzywa leży powyżej stycznych. W powyższym przykładzie obliczeniowym krzywa jest wypukła, dlatego rzędna w odległości 50 ft jest nieco niższa niż przedłużona styczna.
Założenia, ograniczenia i wskazówki praktyczne
- Pochylenia muszą być podane dziesiętnie, nie w procentach. Wpisz 0,03 dla +3% i -0,01 dla -1%. Mieszanie wartości procentowych ze stopami da bezsensowne wyniki.
- Odległości są poziome. Zarówno \(x\), jak i \(L\) mierzy się poziomo — tak definiuje się krzywe pionowe w praktyce projektowania dróg.
- \(x\) powinno mieścić się między 0 a \(L\). W tym zakresie równanie opisuje rzeczywistą krzywą. Poza nim wzór nadal obliczy wartość, ale ekstrapoluje parabolę poza rzeczywistą krzywą, co nie jest prawidłową rzędną projektową.
- Kalkulator zakłada symetryczną parabolę o równych stycznych. Przyjmuje się, że punkty PVC i PVT są równo oddalone od punktu PVI. Krzywe o nierównych stycznych wymagają zmodyfikowanego wzoru z różnymi odchyłkami po obu stronach PVI.
- Jednostki muszą być spójne. Ten kalkulator działa w stopach; jeśli projekt jest metryczny, użyj metrów dla wszystkich długości i rzędnych, a wynik będzie w metrach.
- Aby znaleźć najwyższy (lub najniższy) punkt krzywej, przyrównaj pierwszą pochodną do zera: \(x_{max} = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}\) dla krzywej wypukłej. W tym miejscu pochylenie przechodzi przez zero, co przydaje się przy sprawdzaniu odwodnienia lub linii widoczności.
- Jeśli szacujesz także ilości materiałów w projekcie, nasze kalkulatory Powierzchni przekroju poprzecznego robót ziemnych i Objętości przekroju poprzecznego robót ziemnych można stosować razem z niniejszym do bilansowania wykopów i nasypów, a kalkulator Ilości betonu pomoże przy betonowaniu nawierzchni lub obiektów.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć rzędną krzywej pionowej ręcznie, bez kalkulatora?
Najpierw przelicz oba pochylenia na postać dziesiętną (3% = 0,03, -2% = -0,02). Następnie wykonaj trzy kroki: pomnóż pochylenie początkowe przez odległość, podnieś odległość do kwadratu i pomnóż przez \(\frac{g_2 - g_1}{2L}\), a potem dodaj oba wyniki do rzędnej punktu PVC. Pilnuj uważnie jednostek — stopy razy pochylenie dziesiętne dają stopy, więc każdy wyraz można bezpośrednio dodać do rzędnej.
Czy mogę używać punktów kilometrażowych zamiast odległości od punktu PVC?
Tak, ale najpierw przelicz. Odejmij punkt PVC od punktu docelowego, aby otrzymać \(x\). Na przykład jeśli punkt PVC leży na kilometrażu 12+00, a rzędna jest potrzebna na 12+75, to \(x = 75\) ft. Upewnij się, że \(x\) nie przekracza \(L\); jeśli długość krzywej podano w pełnych punktach kilometrażowych (np. L = 2 punkty = 200 ft), przed podstawieniem przelicz ją na stopy.
Dlaczego moja rzędna wychodzi błędna lub bezsensowna?
Najczęstszy błąd to wpisanie pochyleń w procentach (3 zamiast 0,03), co zawyża wyraz styczny stukrotnie. Inne częste pomyłki to użycie rzędnej punktu PVI zamiast rzędnej punktu PVC, mierzenie \(x\) od punktu PVI zamiast od PVC oraz mieszanie stóp z metrami. Sprawdź ponownie, czy pochylenia w dół mają znaki ujemne i czy \(x\) mieści się między 0 a \(L\).
Jak znaleźć rzędną w punkcie PVI?
Dla krzywej o równych stycznych punkt PVI leży w połowie długości krzywej, przy \(x = L/2\). Podstaw to do tego samego równania: \(y = EPVC + g_1 \frac{L}{2} + \frac{(g_2 - g_1)L}{8}\). Rzędna krzywej w punkcie PVI jest niższa niż rzędna samego punktu PVI na krzywej wypukłej i wyższa na krzywej wklęsłej, ponieważ parabola odchyla się od przecinających się linii pochylenia.
Czy ten wzór działa dla krzywych wklęsłych tak samo jak dla wypukłych?
Tak, to samo równanie dotyczy obu. Jedyna różnica to znak wyrazu korekcyjnego. Na krzywej wklęsłej pochylenie rośnie, więc \(g_2 - g_1\) jest dodatnie i krzywa leży powyżej linii stycznych. Na krzywej wypukłej \(g_2 - g_1\) jest ujemne i krzywa leży poniżej nich. Nie trzeba zmieniać wzoru — wystarczy poprawnie zachować znaki pochyleń.
Co zrobić, gdy moja krzywa ma różne długości stycznych po obu stronach punktu PVI?
Ten wzór zakłada, że punkty PVC i PVT są równo oddalone od punktu PVI. Przy nierównych stycznych parabola nadal istnieje, ale odchyłki trzeba obliczyć oddzielnie dla każdej strony, używając odpowiednich długości stycznych. Zastosowanie standardowego równania do krzywej o nierównych stycznych da błędne rzędne, dlatego w takim przypadku zajrzyj do podręcznika projektowania dróg lub użyj wyspecjalizowanego wzoru dla krzywych o nierównych stycznych.
Jak przeliczyć wynik na metry lub liczyć w jednostkach metrycznych?
Równanie jest niezależne od jednostek: jeśli wprowadzisz \(x\), \(L\) i rzędne w metrach, wynik będzie w metrach, a pochylenia pozostają liczbami bezwymiarowymi w postaci dziesiętnej. Aby przeliczyć pojedynczy wynik, pomnóż stopy przez 0,3048, aby otrzymać metry, albo podziel metry przez 0,3048, aby otrzymać stopy. Nigdy nie mieszaj jednostek w jednym obliczeniu — przelicz wszystko na jeden system przed wprowadzeniem wartości.