Kalkulatory algebraiczne: równania, wielomiany i pierwiastki

Korzystaj z tych kalkulatorów algebraicznych, aby rozwiązywać równania, rozwijać wyrażenia, operować na liczbach zespolonych oraz badać ciągi i nierówności. Kalkulatory Równanie kwadratowe i Równanie sześcienne pomagają znajdować pierwiastki, natomiast FOIL i Mnożenie dwumianów ułatwiają mnożenie wielomianów. Wypróbuj Metodę eliminacji dla układów równań, Liczba zespolona na postać trygonometryczną do przeliczeń lub Ciąg geometryczny do zadań z ciągami.Te narzędzia są przeznaczone dla uczniów sprawdzających prace domowe, nauczycieli przygotowujących przykłady oraz wszystkich, którzy chcą zweryfikować wyniki algebraiczne — od podstawowych proporcji po równania czwartego stopnia.

Potęgowanie

Oblicz potęgę o zadanej podstawie i wykładniku albo znajdź brakującą podstawę lub wykładnik. Wybierz, co chcesz obliczyć, a następnie wpisz dwie znane wartości.

Logarytm

Oblicz logarytm dowolnej liczby dodatniej przy dowolnej podstawie — 2, 10, e (logarytm naturalny) albo podstawie własnej. Wpisz liczbę, wybierz podstawę i otrzymaj wynik wraz ze sprawdzeniem oraz logarytmami dziesiętnym, naturalnym i dwójkowym do porównania.

Pierwiastek liczby zespolonej

Znajdź wszystkie n pierwiastków dowolnej liczby zespolonej a + bi. Wprowadź część rzeczywistą, część urojoną i stopień pierwiastka, a kalkulator zwróci każdy pierwiastek n-tego stopnia w postaci algebraicznej (a + bi), korzystając ze wzoru de Moivre'a.

Ciąg geometryczny

Natychmiast znajdź n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Wpisz pierwszy wyraz, iloraz i numer wyrazu, a kalkulator zwróci wartość aₙ według wzoru aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹.

Pierwiastek czwartego stopnia

Wpisz dowolną liczbę nieujemną i natychmiast oblicz jej pierwiastek czwartego stopnia — wartość, która podniesiona do czwartej potęgi daje wyjściową liczbę. Wyniki są zaokrąglane do trzech miejsc po przecinku.

Liczby zespolone

Wykonuj mnożenie, dzielenie lub pierwiastkowanie liczb zespolonych w postaci a + bi. Wpisz część rzeczywistą i urojoną każdej liczby i natychmiast otrzymaj wynik z obiema składowymi.

Liczba zespolona w postaci trygonometrycznej

Przelicz liczbę zespoloną z postaci algebraicznej (a + bi) na postać trygonometryczną. Podaj część rzeczywistą a i część urojoną b, a otrzymasz moduł r oraz argument θ w stopniach, wyświetlane jako r ∠ θ° lub r(cosθ + i·sinθ).

Reguła znaków Kartezjusza

Oszacuj liczbę pierwiastków dodatnich, ujemnych i niezerowych (zespolonych) wielomianu za pomocą reguły znaków Kartezjusza. Wprowadź współczynniki w kolejności malejących potęg, aby zobaczyć wszystkie możliwe liczby pierwiastków.

Współczynnik dwumianowy

Oblicz współczynnik dwumianowy C(n, k) — liczbę sposobów wyboru k elementów z n bez uwzględniania kolejności. Wpisz n i k i otrzymaj natychmiastowy wynik wraz ze wzorem oraz przykładem.

Delta równania kwadratowego

Wprowadź współczynniki a, b i c równania kwadratowego ax² + bx + c = 0, aby obliczyć jego wyróżnik (deltę) Δ = b² − 4ac i od razu sprawdzić, czy równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, jeden podwójny, czy dwa pierwiastki zespolone.

Metoda FOIL

Rozwijaj iloczyn dwóch dwumianów metodą FOIL (First, Outer, Inner, Last). Wprowadź wyrażenia takie jak x + 2 i x + 3, a natychmiast otrzymasz uproszczony trójmian kwadratowy.

Nierówność liniowa

Ten kalkulator nierówności liniowych pokazuje, co się dzieje, gdy dodamy, odejmiemy, pomnożymy lub podzielimy obie strony nierówności. Wprowadź działanie oraz trzy wartości X, Y i Z, aby zobaczyć pierwotną nierówność, przekształcenie i wynik krok po kroku.

Proporcjonalność prosta

Znajdź współczynnik proporcjonalności k oraz równanie proporcjonalności prostej y = kx na podstawie jednej pary wartości x i y. Wprowadź znane wartości i otrzymaj k, równanie oraz objaśnienie stosunku.

Równanie kwadratowe

Rozwiąż natychmiast dowolne równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Wprowadź współczynniki a, b i c, a kalkulator wyznaczy oba pierwiastki rzeczywiste lub zespolone, korzystając ze wzoru kwadratowego i wyróżnika.

Metoda eliminacji

Rozwiąż układ dwóch równań liniowych metodą eliminacji. Wprowadź sześć współczynników a1, b1, c1, a2, b2, c2 i otrzymaj wartości x i y albo komunikat, gdy układ nie ma dokładnie jednego rozwiązania.

Mnożenie dwumianów

Pomnóż dwa dwumiany postaci (ax + b)(cx + d) i natychmiast otrzymaj rozwinięty trójmian kwadratowy. Wprowadź współczynniki przy x i wyrazy wolne każdego dwumianu, a kalkulator zastosuje własność rozdzielności (metodę FOIL) i wyświetli uproszczony wynik.

Liniowe równanie diofantyczne

Rozwiązuje liniowe równanie diofantyczne ax + by = c w liczbach całkowitych. Wpisz współczynniki a, b i c, aby sprawdzić, czy rozwiązania istnieją, otrzymać jedno rozwiązanie szczególne oraz pełną rodzinę x = x₀ + (b/g)t, y = y₀ − (a/g)t.

Nierówność Bernoulliego

Sprawdź natychmiast nierówność Bernoulliego: wprowadź wartość x (x ≥ −1) oraz wykładnik r, a kalkulator porówna (1 + x)^r z 1 + rx i pokaże, która strona jest większa.

Pisemne dzielenie wielomianów

Podziel jeden wielomian przez drugi krok po kroku. Wpisz współczynniki dzielnej i dzielnika (od najwyższej potęgi, wraz z zerami), a otrzymasz iloraz, resztę i wszystkie kroki dzielenia.

Współczynnik kierunkowy

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty. Podaj współrzędne x i y obu punktów, a otrzymasz współczynnik kierunkowy, rodzaj prostej, kąt nachylenia i pełne równanie prostej.

Mnożenie dwumianów

Wpisz dwa dwumiany, np. x + 3 i x + 5, a kalkulator pomnoży je, stosując własność rozdzielności (metodę FOIL), i zwróci w pełni rozwinięte oraz uproszczone wyrażenie.

Proporcja

Ten kalkulator proporcji znajduje brakującą wartość w proporcji postaci A/B = C/D. Wpisz trzy znane wartości (A, B, C), a obliczy czwartą (D) metodą mnożenia krzyżowego.

Równanie czwartego stopnia

Wpisz współczynniki a, b, c, d i e, aby rozwiązać dowolne równanie czwartego stopnia ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Kalkulator znajduje wszystkie cztery pierwiastki, rzeczywiste lub zespolone, metodą Ferrariego.

Stosunek

Rozwiąż proporcję A : B = C : D dla dowolnego brakującego wyrazu, skróć stosunek o 2–4 wyrazach do najprostszej postaci liczb całkowitych albo przeskaluj go o zadany mnożnik, do zadanej wartości wyrazu lub do zadanej sumy. Wpisz dane, a wynik pojawi się natychmiast.

Ciąg Fibonacciego

Wygeneruj ciąg Fibonacciego do dowolnego n-tego wyrazu i natychmiast otrzymaj sumę wszystkich wyrazów. Wprowadź n, a kalkulator wypisze wyrazy od F(0) do F(n) zgodnie z zależnością rekurencyjną F(n) = F(n-1) + F(n-2).

Liczba sprzężona

Wpisz część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej, aby natychmiast znaleźć jej sprzężenie (a - bi) oraz wartość bezwzględną |a + bi|. Działa z wartościami ujemnymi i pokazuje wynik krok po kroku.

Moduł liczby zespolonej

Oblicz natychmiast moduł (wartość bezwzględną) liczby zespolonej z = a + bi. Wprowadź część rzeczywistą i urojoną, a kalkulator zwróci |z| = sqrt(a² + b²), czyli wielkość liczby na płaszczyźnie zespolonej.

Wyróżnik równania kwadratowego

Wprowadź współczynniki a, b i c równania kwadratowego ax² + bx + c = 0, aby natychmiast obliczyć jego wyróżnik Δ = b² − 4ac i dowiedzieć się, ile pierwiastków rzeczywistych lub zespolonych ma równanie.

Pierwiastek sześcienny

Oblicz przesuniętą zmienną xₙ = yₙ − b/(3a) — kluczowe podstawienie, które usuwa wyraz kwadratowy z równania sześciennego ax³ + bx² + cx + d = 0. Wpisz yₙ oraz stałe b i a, aby natychmiast otrzymać dokładny wynik.

Równanie prostej

Wpisz współrzędne dwóch punktów i natychmiast otrzymasz równanie przechodzącej przez nie proste w postaci kierunkowej (y = mx + b) i ogólnej (Ax + By = C), wraz ze współczynnikiem kierunkowym i obliczeniami krok po kroku.

Równanie trzeciego stopnia

Wpisz współczynniki a, b, c i d, aby rozwiązać dowolne równanie trzeciego stopnia postaci ax³ + bx² + cx + d = 0. Kalkulator znajduje wszystkie pierwiastki rzeczywiste metodą Cardano i wskazuje, gdy pozostałe pierwiastki są zespolone.

Różnica sześcianów

Szybko oblicz różnicę dwóch sześcianów A³ − B³. Wpisz dowolne dwie liczby i otrzymaj A³, B³ oraz ich różnicę, wraz z objaśnieniem wzoru (A − B)(A² + AB + B²).

Suma sześcianów

Natychmiast oblicz a³ + b³ dla dowolnych dwóch liczb. Wprowadź wartości a i b, a kalkulator pokaże oba sześciany oraz ich sumę, wraz ze wzorem na rozkład a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

Równanie sześcienne

Rozwiązuje dowolne równanie sześcienne ax³ + bx² + cx + d = 0 metodą Cardana. Wprowadź cztery współczynniki, a kalkulator zwróci pierwiastki rzeczywiste, oznaczy zespolone i wykryje pierwiastki wielokrotne.