Calculadora de Variância
Introduza um conjunto de dados e escolha variância amostral ou populacional para obter a variância, o desvio padrão, a média e uma análise completa dos passos do cálculo.
Calcular a variância
Fórmula da variância
Onde:
- \(s^2\) — variância amostral
- \(\sigma^2\) — variância populacional
- \(x_i\) — cada valor do conjunto de dados
- \(\bar{x}\) / \(\mu\) — a média dos dados
- \(n\) / \(N\) — o número de observações
A variância mede a distância quadrática média entre os pontos de dados e a sua média. A versão amostral divide por \(n - 1\) (correção de Bessel) para fornecer uma estimativa não enviesada quando os seus dados são apenas uma amostra de uma população maior.
Variância – Exemplo de cálculo
Exemplo: o conjunto de dados 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 com o tipo de variância definido como Amostral.
\[ n = 8, \quad \sum x_i = 144, \quad \bar{x} = \frac{144}{8} = 18 \]
\[ \sum (x_i - \bar{x})^2 = 64 + 36 + 25 + 25 + 4 + 25 + 9 + 4 = 192 \]
\[ s^2 = \frac{192}{8 - 1} = \frac{192}{7} \approx 27.43 \]
Resultado: a variância amostral é \(s^2 \approx 27.43\), o desvio padrão é \(s \approx 5.24\), a média é \(18\) e existem \(8\) pontos de dados. Para comparação, a variância populacional dos mesmos dados seria \(\sigma^2 = 192/8 = 24\).
Como utilizar a calculadora
- Digite ou cole os seus números no campo Conjunto de dados. Separe-os com vírgulas, espaços, ponto e vírgula ou novas linhas — separadores mistos são aceites.
- Escolha o Tipo de variância: Amostral (dividir por n − 1) se os seus dados são uma amostra retirada de uma população maior, ou Populacional (dividir por N) se tem todos os valores do grupo que está a descrever.
- Leia o resultado da Variância, juntamente com o Desvio padrão, a Média e o Número de pontos de dados.
- Consulte a tabela de Comparação para ver os dois tipos de variância, a soma \(\Sigma x\) e a soma dos desvios quadráticos \(\Sigma(x_i - \bar{x})^2\) lado a lado, para poder verificar o cálculo à mão.
O que é a variância?
A variância é uma das medidas de dispersão mais comuns: indica quão espalhados estão os valores de um conjunto de dados em torno da sua média. Uma variância de (ou próxima de) zero significa que todos os valores são praticamente idênticos; uma variância grande significa que os valores estão muito dispersos. Por ser construída a partir de distâncias ao quadrado, a variância é sempre não negativa e é expressa em unidades quadradas — se os seus dados estão em dólares, a variância está em dólares ao quadrado.
Para voltar às unidades originais, extraia a raiz quadrada da variância: esse é o desvio padrão, que a calculadora também apresenta. O desvio padrão é geralmente mais fácil de interpretar («os valores desviam-se tipicamente cerca de 5,24 unidades da média»), enquanto a variância é a grandeza que aparece diretamente nas fórmulas estatísticas, da teoria das probabilidades à ANOVA e à regressão.
A calculadora computa a variância em três passos: encontra a média, soma os desvios quadráticos de cada ponto em relação a essa média e divide o total por \(n - 1\) (amostral) ou \(N\) (populacional). A tabela de comparação mostra cada um destes valores intermédios, para que possa rastrear exatamente como o número final foi obtido.
Variância amostral ou populacional?
A escolha do divisor é importante. Utilize a variância populacional quando o seu conjunto de dados contém todos os membros do grupo em que está interessado — por exemplo, as idades de todos os alunos de uma turma específica. Utilize a variância amostral quando os seus dados são uma amostra retirada de uma população maior e quer estimar a variância dessa população — por exemplo, medir um lote de peças para estimar a variabilidade de uma linha de produção.
Dividir por \(n - 1\) em vez de \(n\) (correção de Bessel) compensa o facto de uma amostra tender a subestimar a dispersão da população: a média amostral é ela própria ajustada à amostra, pelo que os desvios parecem menores do que realmente são. Com os dados do exemplo acima, a variância amostral (27,43) é claramente maior do que a variância populacional (24), e a diferença diminui à medida que o conjunto de dados cresce.
Limitações e dicas práticas
- A variância é sensível a valores atípicos: um único valor extremo contribui com a sua distância ao quadrado, o que pode dominar o resultado. Verifique se há erros de digitação nos dados antes de tirar conclusões.
- A variância amostral exige pelo menos 2 pontos de dados; com um único valor não há dispersão a medir e a calculadora mostrará um erro.
- As unidades são quadráticas. Se precisar de uma medida de dispersão nas mesmas unidades dos seus dados, utilize o desvio padrão apresentado em vez da própria variância.
- São aceites números decimais e negativos, por isso dados de medição como temperaturas funcionam sem problemas.
- Uma variância próxima de zero não significa que os dados são «bons» ou «maus» — apenas significa que os valores são consistentes. Se isso é desejável depende do que está a medir.
Perguntas frequentes
Como calcular a variância passo a passo à mão?
Primeiro encontre a média: some todos os valores e divida pela quantidade. Em seguida, subtraia a média de cada valor e eleve cada resultado ao quadrado. Some esses desvios quadráticos. Por fim, divida o total por \(n - 1\) para a variância amostral ou por \(n\) para a variância populacional. Para os dados 2, 4, 6: a média é 4, os desvios quadráticos são 4, 0 e 4, a sua soma é 8, logo a variância amostral é \(8 / 2 = 4\).
Qual é um valor de variância bom ou normal?
Não existe um valor «bom» universal — depende inteiramente da escala dos seus dados e do contexto. Uma variância de 25 é minúscula para rendimentos familiares em dólares, mas enorme para diâmetros de parafusos em milímetros. Para avaliar a dispersão de forma independente da escala, compare o desvio padrão com a média (o coeficiente de variação, \(s / \bar{x}\)). Como regra aproximada, em dados aproximadamente normais, a maioria dos valores situa-se a dois desvios padrão da média.
A variância pode alguma vez ser negativa?
Não, a variância é sempre zero ou positiva. É calculada a partir de desvios quadráticos, e quadrados nunca podem ser negativos. O menor valor possível é exatamente 0, o que acontece apenas quando todos os pontos de dados são iguais à média, ou seja, todos os valores são idênticos. Se obtiver um resultado negativo numa folha de cálculo ou à mão, isso indica um erro na fórmula, um intervalo de células errado ou que calculou acidentalmente outra coisa que não a variância.
Que função do Excel corresponde a esta calculadora?
A variância amostral corresponde a VAR.S no Excel (ou VAR nas versões mais antigas), e a variância populacional corresponde a VAR.P (anteriormente VARP). O Google Sheets usa os mesmos nomes de funções. Portanto, se colou uma amostra nesta calculadora, compare o resultado com VAR.S; se introduziu uma população inteira, compare com VAR.P. Uma divergência significa geralmente que as duas ferramentas usam divisores diferentes, e não que algum dos cálculos esteja errado.
Porque é que a variância eleva os desvios ao quadrado em vez de usar valores absolutos?
O quadrado faz duas coisas: torna todos os desvios positivos e penaliza fortemente os desvios grandes, fazendo com que os valores atípicos se destaquem. Matematicamente, os desvios quadráticos tornam a variância diferenciável, razão pela qual ela aparece em toda a estatística — na regressão (mínimos quadrados), na ANOVA, nos intervalos de confiança e na teoria das probabilidades. A abordagem do desvio médio absoluto também existe, mas carece destas propriedades matemáticas convenientes, pelo que a variância e o desvio padrão dominam.
Como converter a variância para unidades diferentes?
A variância escala com o quadrado do fator de conversão de unidades, porque é construída a partir de distâncias ao quadrado. Se os seus dados estão em centímetros e a variância é \(9\ \text{cm}^2\), então em metros é \(9 / 100^2 = 0.0009\ \text{m}^2\). Multiplicar todos os valores dos dados por uma constante \(c\) multiplica a variância por \(c^2\), enquanto somar uma constante desloca os dados mas deixa a variância inalterada. Se precisar da dispersão nas unidades originais, basta usar o desvio padrão.
Posso usar esta calculadora com uma tabela de frequências ou dados agrupados?
Esta calculadora espera uma lista simples de valores individuais, portanto, com uma tabela de frequências, deve repetir cada valor tantas vezes quanto a sua frequência — por exemplo, a tabela \(5 \times 3,\ 7 \times 2\) torna-se 5, 5, 5, 7, 7. Para dados agrupados em intervalos de classe, seriam necessários os pontos médios das classes, o que fornece apenas uma aproximação. Para resultados exatos, prefira sempre as observações originais quando estiverem disponíveis.