Калькулятор точного критерію Фішера
Введіть чотири частоти таблиці спряженості 2×2 і отримайте точне p-значення за точним критерієм Фішера (двобічне та однобічне), а також вибіркове відношення шансів і інтерпретацію на рівні 0,05.
Перевірка зв’язку в таблиці 2×2
Формула точного критерію Фішера
Де:
- \(a, b, c, d\) — чотири частоти клітинок таблиці 2×2 (\(a\) та \(b\) — перший рядок, \(c\) та \(d\) — другий)
- \(r_1 = a+b\) — сумарна частота першого рядка; \(r_2 = c+d\), \(c_1 = a+c\), \(c_2 = b+d\) — решта граничних сум
- \(n = r_1+r_2\) — загальна кількість спостережень
- \(X\) — значення клітинки \(a\) у випадковій таблиці з тими самими фіксованими граничними сумами; воно має гіпергеометричний розподіл
За умови фіксованих сум рядків і стовпців ймовірність кожної можливої таблиці точно задається гіпергеометричною формулою — наближення для великих вибірок тут не використовується взагалі. Двобічне p-значення — це сума ймовірностей усіх таблиць, які не є більш імовірними за спостережувану (домовленість, яку застосовує функція fisher.test у R). Однобічні p-значення: \(p_- = P(X \le a)\), коли відношення шансів < 1, та \(p_+ = P(X \ge a)\), коли відношення шансів > 1. Вибіркове відношення шансів дорівнює \(OR = (a\,d)/(b\,c)\).
Точний критерій Фішера — приклад обчислення
Приклад: дослідження порівнює дві групи по 10 осіб. У групі 1 результат 1 спостерігається у 8 осіб, а результат 2 — у 2; у групі 2 — відповідно 1 і 9. Отже, \(a=8\), \(b=2\), \(c=1\), \(d=9\), з граничними сумами \(r_1=r_2=10\), \(c_1=9\), \(c_2=11\), \(n=20\).
\[ P(X=8)=\frac{\binom{9}{8}\binom{11}{2}}{\binom{20}{10}}=\frac{9\cdot 55}{184\,756}=\frac{495}{184\,756}\approx 0.002679 \]
Таблиці, що не є імовірнішими за спостережувану, — це \(x=0,1,8,9\) з ймовірностями \(0.0000595,\ 0.002679,\ 0.002679,\ 0.0000595\). Їх сума:
\[ p_{\text{двоб}}=2\,(0.0000595+0.002679)\approx 0.005477 \]
\[ OR=\frac{a\,d}{b\,c}=\frac{8\cdot 9}{2\cdot 1}=36 \]
Результат: двобічне точне p-значення ≈ 0,00548, однобічне p (OR > 1) ≈ 0,00274, однобічне p (OR < 1) ≈ 0,99994, вибіркове відношення шансів = 36. Зв’язок є статистично значущим на рівні 0,05.
Як користуватися калькулятором
- Введіть частоту для першої групи і першого результату у поле Результат 1 у групі Група 1 (рядок 1) — це клітинка \(a\).
- Введіть частоту для першої групи і другого результату у поле Результат 2 у групі Група 1 (рядок 1) — клітинка \(b\).
- Заповніть Результат 1 і Результат 2 для Групи 2 (рядок 2) — клітинки \(c\) і \(d\).
- Виберіть Альтернативну гіпотезу: двобічну для виявлення зв’язку будь-якого напрямку (стандартний вибір) або однобічну, якщо напрямок було визначено до збирання даних.
- Зчитайте результати: двобічне точне p-значення, обидва однобічні p-значення, вибіркове відношення шансів та блок інтерпретації, який також показує найменшу очікувану частоту клітинки і чи можна було б застосувати наближення хі-квадрат.
Що таке точний критерій Фішера
Точний критерій Фішера перевіряє, чи пов’язані дві категоріальні змінні — зазвичай групувальна (лікування проти контролю, експоновані проти неекспонованих) і бінарний результат, — виходячи з частот таблиці спряженості 2×2. Він відповідає на питання: якби суми рядків і стовпців були фіксованими, а змінні насправді були незалежними, наскільки ймовірно отримати таблицю принаймні настільки ж крайню, як спостережувана?
Слово точний — це головна відмінність від критерію хі-квадрат. Критерій хі-квадрат спирається на наближення для великих вибірок, яке стає ненадійним, коли очікувані частоти в клітинках малі (класичне емпіричне правило застерігає при значеннях нижчих за 5). Критерій Фішера натомість обчислює ймовірності безпосередньо з гіпергеометричного розподілу, тому p-значення є чинним за будь-якого розміру вибірки, зокрема для таблиць із дуже малими частотами або нульовими клітинками.
P-значення — це ймовірність за нульової гіпотези про відсутність зв’язку отримати таблицю принаймні настільки ж крайню, як спостережувана. Мале p-значення (за усталеною домовленістю ≤ 0,05) означає, що така нерівномірна таблиця навряд чи виникла б випадково, тож дані свідчать про наявність зв’язку. Велике p-значення означає, що дані узгоджуються з відсутністю зв’язку, а не те, що нульову гіпотезу доведено. Щоб оцінити силу зв’язку, а не лише статистичну значущість, дивіться на відношення шансів, яке цей калькулятор показує разом із p-значеннями; докладніше — у калькуляторі відношення шансів і відносного ризику.
Вибір альтернативи має значення. Двобічний критерій перевіряє зв’язок у будь-якому напрямку й є типовим у більшості програм. Однобічний критерій потужніший для виявлення ефекту в одному конкретному напрямку, але напрямок слід визначити до перегляду даних — перехід до однобічної перевірки після побаченого результату завищує частоту хибнопозитивних результатів.
Припущення, обмеження та практичні поради
- Частоти, а не відсотки. Клітинки мають містити сирі частоти незалежних спостережень. Ніколи не вводьте темпи, частки чи відсотки — критерій буде некоректним.
- Незалежні спостереження. Кожен учасник має потрапити рівно в одну клітинку. Парний чи збігаючий дизайн, як-от вимірювання «до/після» на одних і тих самих людях, це порушує; у такому разі слід застосувати критерій Макнемара.
- Фіксовані граничні суми. Точне p-значення обчислюється за умови спостережуваних сум рядків і стовпців. Це класична постановка, і саме її показують R і більшість програм.
- Нульові клітинки. Критерій без проблем працює з нульовими клітинками. Вибіркове відношення шансів, утім, стає 0 або нескінченним, коли \(b\,c = 0\); у такому разі калькулятор також показує оцінку з поправкою 0,5: \((a+0.5)(d+0.5)/((b+0.5)(c+0.5))\).
- Значущість — це не розмір ефекту. Дуже мале p-значення за великої вибірки може відповідати слабкому зв’язку. Завжди інтерпретуйте p-значення разом із відношенням шансів — а звітуючи про результати, розгляньте також довірчий інтервал для розміру ефекту.
- Коли критерій хі-квадрат доречний. Якщо всі очікувані частоти не менші за 5, обидва критерії дають схожі відповіді, а поширеною альтернативою є хі-квадрат із поправкою Єйтса на неперервність. Блок інтерпретації калькулятора показує найменшу очікувану частоту, тож ви можете оцінити це одразу.
- Один розмір таблиці. Цей калькулятор працює лише з таблицями 2×2. Більші таблиці потребують узагальненого критерію Фішера — Фрімена — Гелтона або точної процедури хі-квадрат у статистичному програмному забезпеченні.
Довідка: чотири p-значення, які ви можете побачити
| Величина | Визначення | Коли використовувати |
|---|---|---|
| Двобічне p | Сума ймовірностей усіх таблиць, не імовірніших за спостережувану | Типовий вибір; зв’язок у будь-якому напрямку |
| Однобічне p (OR > 1) | \(P(X \ge a)\) | Напрямок (вищі шанси в групі 1) визначено заздалегідь |
| Однобічне p (OR < 1) | \(P(X \le a)\) | Напрямок (нижчі шанси в групі 1) визначено заздалегідь |
| Відношення шансів | \((a\,d)/(b\,c)\) | Розмір ефекту, а не p-значення; інтерпретуйте разом із критерієм |
Часті запитання
Коли слід застосовувати точний критерій Фішера замість критерію хі-квадрат?
Застосовуйте точний критерій Фішера щоразу, коли якась очікувана частота в клітинці менша, ніж приблизно 5, коли загальна вибірка мала або коли клітинка містить нуль — тобто в ситуаціях, де наближення хі-квадрат не працює. За великих вибірок, коли всі очікувані частоти становлять 5 і більше, обидва критерії дають дуже схожі результати, і можна користуватися будь-яким із них. Цей калькулятор показує вашу найменшу очікувану частоту, тож ви одразу бачите, у якій ситуації перебуваєте.
Чому різні програми дають різні двобічні p-значення для тієї самої таблиці?
Існує кілька домовленостей для двобічної перевірки. Цей калькулятор використовує найпоширенішу, як і fisher.test у R: він сумує ймовірності всіх таблиць, які не є більш імовірними за спостережувану. Серед альтернатив — подвоєння меншого однобічного p-значення або підсумовування таблиць, у яких відношення шансів віддалене від 1 принаймні настільки ж, як у спостережуваній. Невеликі числові розбіжності — нормальне явище, і вони рідко змінюють висновок на рівні 0,05.
Як обчислити точний критерій Фішера вручну?
Спершу обчисліть ймовірність вашої спостережуваної таблиці за гіпергеометричним розподілом: \(P = \binom{a+c}{a}\binom{b+d}{b} / \binom{n}{a+b}\), використовуючи факторіали для біноміальних коефіцієнтів. Потім переберіть усі можливі таблиці з тими самими сумами рядків і стовпців, обчисліть ймовірність кожної так само і підсумуйте ймовірності всіх таблиць, що не є імовірнішими за вашу, — ця сума і є двобічним p-значенням. За дуже малих граничних сум це реально зробити вручну; в інших випадках значно безпечніше скористатися програмою.
Яке p-значення вважається хорошим або нормальним?
«Нормального» p-значення не існує — все залежить від ваших даних. За домовленістю p ≤ 0,05 вважають статистично значущим доказом зв’язку, p ≤ 0,01 — сильнішим доказом, а p > 0,05 означає, що дані узгоджуються з відсутністю зв’язку. Незначущий результат не доводить відсутність ефекту, особливо за малих вибірок. Завжди розглядайте p-значення разом із відношенням шансів, щоб оцінити силу зв’язку.
Чи можна застосовувати цей критерій за нульових клітинок або дуже малих вибірок?
Так — саме в таких випадках точний критерій і є найкращим. Нульові клітинки не створюють проблем для p-значення, адже гіпергеометрична формула залишається чинною. Проблему створює лише вибіркове відношення шансів: якщо нуль потрапляє в добуток у знаменнику \(b\,c\), воно стає 0 або нескінченним, і натомість використовується оцінка з поправкою 0,5. Навіть таблиця із загальною кількістю спостережень 4 дає коректне точне p-значення.
Які найпоширеніші помилки під час користування цим калькулятором?
Найбільша — вводити відсотки, частки або темпи замість сирих частот: критерій коректний лише для цілих частот незалежних спостережень. Інші часті помилки: використання для парних даних чи даних «до/після» на одних і тих самих учасниках (там правильний критерій Макнемара) та перехід до однобічної перевірки після перегляду результату, що завищує частоту хибнопозитивних результатів. Також не переставляйте рядки і стовпці заднім числом, щоб зменшити p-значення.
Чи є точний критерій Фішера консервативним, і чи це важливо?
Він може бути дещо консервативним, бо p-значення обчислюється в припущенні, що фіксовані і суми рядків, і суми стовпців, тоді як у реальних дослідженнях зазвичай справді фіксовані лише суми рядків (розміри груп). Через це критерій трохи частіше пропускає справжній ефект, ніж свідчить його номінальний рівень похібки 5%. Цей ефект зазвичай малий, і критерій залишається загальновизнаним; альтернативи, як-от точні критерії Бошлу або Барнарда, менш консервативні, але менш усталені.