Калькулятор площі правильного багатокутника
Обчисліть площу будь-якого правильного багатокутника за довжиною сторони, апофемою або радіусом описаного кола. Вкажіть кількість сторін і одну відому величину — і отримайте площу, периметр та кути.
Площа правильного многокутника
Площа правильного багатокутника
Де:
- \(n\) — кількість сторін (\(n \ge 3\))
- \(s\) — довжина однієї сторони
- \(a\) — апофема (відстань від центра до середини сторони, тобто радіус вписаного кола)
- \(R\) — радіус описаного кола (відстань від центра до вершини)
- \(P = n \cdot s\) — периметр
- \(\pi \approx 3.14159\)
Усі три вирази дають ту саму площу — обирайте той, який відповідає відомій вам величині. Середня формула, \(A = \tfrac{1}{2}Pa\), — це класичний результат, який отримують, розбивши багатокутник на \(n\) однакових трикутників із основою \(s\) і висотою \(a\).
Площа правильного багатокутника — приклад обчислення
Приклад: правильний шестикутник зі стороною 10 см.
\[ a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)} = \frac{10}{2\tan(\pi/6)} = \frac{10}{2 \cdot 0.5774} \approx 8.660 \text{ см} \]
\[ P = n \cdot s = 6 \cdot 10 = 60 \text{ см} \]
\[ A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2} \cdot 60 \cdot 8.660 \approx 259.81 \text{ см}^2 \]
Результат: площа становить приблизно 259,81 см². Калькулятор також показує радіус описаного кола \(R = 10\) см і внутрішній кут 120°.
Як користуватися калькулятором
- Введіть Кількість сторін (n) — будь-яке ціле число від 3 (трикутник) до 10 000.
- У випадному списку Відома величина оберіть ту, яку ви знаєте: Довжина сторони (s), Апофема (a) або Радіус описаного кола (R). Видимим залишиться лише відповідне поле введення.
- Введіть значення в поле, що з’явилося, — Довжина сторони (s), Апофема (a) або Радіус описаного кола (R) — і виберіть одиницю вимірювання (м, см, мм, фут або дюйм).
- Ознайомтеся з результатами: Площа (у квадратних одиницях, що відповідають вашим), а також Периметр, Довжина сторони, Апофема, Радіус описаного кола, Внутрішній кут і покрокове розв’язання.
Що таке правильний багатокутник?
Правильний багатокутник — це замкнена фігура з прямими сторонами, у якій усі сторони мають однакову довжину, а всі внутрішні кути рівні між собою. Відомі приклади — рівносторонній трикутник (\(n=3\)), квадрат (\(n=4\)), правильний п’ятикутник (\(n=5\)) і правильний шестикутник (\(n=6\)). Оскільки всі сторони й кути однакові, правильний багатокутник повністю визначається лише двома числами: кількістю сторін і однією лінійною величиною.
Формула площі працює так: багатокутник розрізають на \(n\) рівних трикутників, що сходяться в центрі. Кожен трикутник має основу \(s\) (одну зі сторін багатокутника) і висоту \(a\) (апофему), тож його площа дорівнює \(\tfrac{1}{2}sa\). Помноживши на \(n\) сторін, отримуємо \(A = \tfrac{1}{2}na s = \tfrac{1}{2}Pa\). Це та сама логіка, якою знаходять площу кола в границі: коли \(n\) стає дуже великим, багатокутник вже не відрізнити від кола радіуса \(R\), і формула наближається до \(\pi R^2\).
Варто розібратися у двох похідних величинах. Апофема — це радіус вписаного кола, тобто найбільшого кола, що вміщується в багатокутник і торкається кожної сторони в її середині. Радіус описаного кола — радіус кола, що проходить через усі вершини. Ці три величини пов’язані співвідношеннями \(s = 2a\tan(\pi/n) = 2R\sin(\pi/n)\) та \(a = R\cos(\pi/n)\), саме тому калькулятор може обчислити їх усі з будь-якої однієї.
Внутрішній кут, який показано в результатах, обчислюється за формулою \(\alpha = (n-2) \cdot 180°/n\). Це корисно в будівництві, укладанні плитки та столярній справі: наприклад, у шестикутника кути по 120°, тож дошки для з’єднання підрізують під кутом 60°.
Припущення, обмеження та поради
- Лише правильні багатокутники. Формули спираються на рівність усіх сторін і кутів. Якщо багатокутник неправильний, розбийте його на трикутники або трапеції та складіть їхні площі.
- Одиниці мають бути узгодженими. Випадний список одиниць автоматично конвертує введене значення, а площа повертається у відповідній квадратній одиниці (наприклад, см → см²). Якщо рахуєте вручну, усі довжини мають бути в одній одиниці до застосування формули.
- Обирайте величину, яку ви справді виміряли. На практиці часто відома відстань між паралельними гранями (подвоєна апофема за парного \(n\)) або радіус кола, на якому розміщені отвори (радіус описаного кола), а не сторона — оберіть саме цей варіант, щоб уникнути похибок округлення під час проміжного перерахунку.
- Великі \(n\). Приймаються значення до 10 000; для таких фігур результат фактично дорівнює площі кола радіуса \(R\), адже \(A \to \pi R^2\) при \(n \to \infty\).
- Округлення. Результати показуються з трьома знаками після коми. Проміжні значення у кроках розв’язання округлюються для відображення, тож перевірка вручну може відрізнятися в останній цифрі.
Часті запитання
Як знайти площу, якщо відомий лише периметр?
Комбінуйте формули: оскільки \(s = P/n\), площа дорівнює \(A = P^2 / (4n\tan(\pi/n))\). Наприклад, для правильного п’ятикутника з периметром 50 см отримаємо \(A = 2500 / (20\tan 36°) \approx 172.05\text{ см}^2\). Введіть у калькулятор довжину сторони \(s = P/n\) — і отримаєте той самий результат разом з апофемою та кутами.
Чому моя ручна перевірка дає інший результат?
Найпоширеніша помилка — використання градусів там, де потрібні радіани (або навпаки). Формула \(A = ns^2/(4\tan(\pi/n))\) передбачає, що тангенс обчислюється для кута в радіанах. Якщо ваш калькулятор у режимі градусів, використайте \(\tan(180°/n)\). Також перевірте, чи не переплутані місцями кількість сторін і довжина сторони, та чи всі довжини в одній одиниці перед обчисленням.
Як використати відстань між паралельними гранями, наприклад, у шестигранній гайці?
Відстань між паралельними гранями — це подвоєна апофема для багатокутників із парною кількістю сторін. Виміряйте її, поділіть на 2 і введіть це значення як апофему \(a\). Для шестикутника з відстанню 20 мм між гранями апофема становить 10 мм, і калькулятор поверне площу близько 259,81 мм². Використання величини, яку ви безпосередньо виміряли, уникає похибок округлення від самостійного перерахунку в довжину сторони.
Чи є простіші формули для поширених фігур?
Так. Правильний шестикутник зі стороною \(s\) має площу \(\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2 \approx 2.598\,s^2\). Правильний восьмикутник — \(2(1+\sqrt{2})\,s^2 \approx 4.828\,s^2\). Квадрат — просто \(s^2\), а рівносторонній трикутник — \(\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 \approx 0.433\,s^2\). Усі вони — окремі випадки загальної формули, тому вони зручні для швидкої перевірки результату.
Чи правильний багатокутник має найбільшу площу за заданого периметра?
Серед усіх багатокутників з однаковою кількістю сторін і однаковим периметром — так, саме правильний має максимальну площу. Тому формула дає верхню межу: будь-який неправильний багатокутник з тими самими \(n\) і периметром матиме меншу площу. У границі, зі зростанням кількості сторін, правильний багатокутник наближається до кола — найбільш «економної» за площею фігури з усіх.
Чи можна цим калькулятором користуватися для неправильних багатокутників або кіл?
Ні — формули діють лише за умови, що всі сторони й кути рівні. Для неправильного багатокутника розбийте його на трикутники або прямокутники, обчисліть кожну площу окремо й складіть їх; підійде й формула шнурків за координатами вершин. Для кола скористайтеся формулою \(A = \pi r^2\) безпосередньо. Правильний багатокутник із дуже великою кількістю сторін майже збігається з колом, тож введення великого \(n\) дасть його наближене значення.
Як перевірити правдоподібність результату?
Порівняйте площу багатокутника з двома орієнтирами: вписане коло \(\pi a^2\) завжди трохи менше, а описане коло \(\pi R^2\) — завжди трохи більше. Ваш результат має лежати між ними й наближатися до обох зі зростанням \(n\). Також перевірте внутрішній кут: він мусить бути меншим за 180° і дорівнювати \((n-2)\cdot 180°/n\) — наприклад, 108° для п’ятикутника і 135° для восьмикутника.